আর-তে ইতিবাচক স্থিতিশীল বিতরণ

Question

ইতিবাচক স্থিতিশীল বিতরণগুলি চারটি পরামিতি দ্বারা বর্ণিত: স্কিউনেস প্যারামিটার , স্কেল প্যারামিটার , অবস্থান প্যারামিটার এবং তাই -লগ্ন সূচকের প্যারামিটার যখন শূন্য হয় তখন ডিস্ট্রিবিউশনটি আশেপাশে প্রতিসম হয় , যখন এটি ইতিবাচক হয় (শ্রদ্ধা নেতিবাচক) বন্টনটি ডানদিকে স্কিঙ্ক করা হয় (রেফারেন্স (বাম দিকে)) স্থিতিশীল বিতরণগুলি যখন হ্রাস পায় তখন ফ্যাট লেজের অনুমতি দেয় allow$\beta\in[-1,1]$$\sigma>0$$\mu\in(-\infty,\infty)$$\alpha\in(0,2]$$\beta$$\mu$$\alpha$

যখন একের তুলনায় কঠোরভাবে কম থাকে এবং বিতরণের সমর্থন সীমাবদ্ধ করে ।$\alpha$$\beta=1$$(\mu,\infty)$

ঘনত্ব ফাংশনটির প্যারামিটারগুলির জন্য মানগুলির কয়েকটি নির্দিষ্ট সংমিশ্রণের জন্য কেবল একটি বদ্ধ-ফর্ম এক্সপ্রেশন রয়েছে। যখন , , এবং এটি হয় (সূত্রটি এখানে দেখুন (৪.৪) ):$\mu=0$$\alpha<1$$\beta=1$$\sigma=\alpha$

$f(y) = -\frac{1}{\pi y} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\Gamma(k\alpha+1)}{k!} (-y^{-\alpha})^k \sin(\alpha k \pi)$

এর অসীম গড় এবং বৈচিত্র রয়েছে।

প্রশ্ন

আমি যে ঘনত্বটি আর এ ব্যবহার করতে চাই তা ব্যবহার করতে চাই

> alpha <- ...
> dstable(y, alpha=alpha, beta=1, gamma=alpha, delta=0, pm=1)

যেখানে fBasics প্যাকেজটি নিয়ে অস্থির ফাংশন আসে।

আপনি কি নিশ্চিত করতে পারবেন যে এটি আর এর মধ্যে ঘনত্বের গণনা করার সঠিক উপায়?

তুমাকে অগ্রিম ধন্যবাদ!

সম্পাদনা

আমি সন্দেহজনক হওয়ার একটি কারণ হ'ল আউটপুটে, ডেল্টার মান ইনপুট থেকে আলাদা। উদাহরণ:

> library(fBasics)
> alpha <- 0.4
> dstable(4, alpha=alpha, beta=1, gamma=alpha, delta=0, pm=1)
[1] 0.02700602
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma    delta pm
stable   0.4    1   0.4 0.290617  1

Answer 1

সংক্ষিপ্ত উত্তরটি হ'ল আপনার ভাল, তবে আপনার ভুল। আর-তে আপনার সূত্রের দ্বারা প্রদত্ত ইতিবাচক স্থিতিশীল বন্টন পেতে, আপনাকে $\delta$$\gamma$

$$\gamma = |1 - i \tan \left(\pi \alpha / 2\right)|^{-1/\alpha}.$$

আপনি যে সূত্রটি দিয়েছিলেন তার প্রথমতম উদাহরণটি আমি পেয়েছিলাম (ফিলার, একাত্তর), কিন্তু আমি কেবল বইটি দৈহিক আকারে পেয়েছি। তবে (হুগার্ড, 1986) একই সূত্রটি দেয়, ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম ম্যানুয়ালটি থেকে ( ব্যবহৃত হয়েছে ), প্যারামিটারাইজেশন হ'ল (সামোরোডনিতস্কি এবং টাক্কু, 1994), এর অন্য একটি উত্স যার অনলাইন প্রজনন আমাকে বর্জন করেছে। জন্য তবে (Weron, 2001) Samorodnitsky এবং Taqqu এর একখান মধ্যে চরিত্রগত ফাংশন দেয় হতে

$$\mathrm{L}(s) = \mathrm{E}\left[\exp(-sX)\right] = \exp\left(-s^\alpha\right).$$ stablediststabledistfBasicspm=1$\alpha \neq 1$ $$\varphi(t) = \mathrm{E}\left[\exp(i t X) \right] = \exp\left[i \delta t - \gamma^\alpha |t|^\alpha \left(1 - i \beta \mathrm{sign}(t) \tan{\frac{\pi \alpha}{2}} \right) \right].$$ আমরা ব্যবহার করছি এমন স্বরলিপি সহ আমি ওয়ারেনের কাগজ থেকে কিছু প্যারামিটারের নামকরণ করেছি কয়েনসাইডে। তিনি ব্যবহার জন্য এবং জন্য । যাই হোক না কেন, এবং আমরা get $\mu$$\delta$$\sigma$$\gamma$$\beta=1$$\delta=0$ $$\varphi(t) = \exp\left[-\gamma^\alpha |t|^\alpha \left(1 - i \mathrm{sign}(t) \tan \frac{\pi \alpha}{2} \right) \right].$$

দ্রষ্টব্য জন্য এবং যে । সাধারণত, , তাই মধ্যে আমরা পেতে একটি আকর্ষণীয় বিষয় লক্ষণীয় হ'ল যা যায় তাও , সুতরাং আপনি যদি বা$(1 - i \tan (\pi \alpha / 2)) / |1 - i \tan(\pi \alpha / 2)| = \exp(-i \pi \alpha / 2)$$\alpha \in (0, 1)$$i^\alpha = \exp(i \pi \alpha / 2)$$\mathrm{L}(s)=\varphi(is)$$\gamma = |1 - i \tan \left(\pi \alpha / 2\right)|^{-1/\alpha}$$\varphi(t)$

$$\varphi(is) = \exp\left(-s^\alpha\right) = \mathrm{L}(s).$$ $\gamma$$\alpha=1/2$$1/2$$\gamma=\alpha$$\gamma=1-\alpha$, যা আসলে কোনও খারাপ অনুমান নয়, আপনি জন্য ঠিক ঠিক শেষ করেছেন ।$\alpha=1/2$

নির্ভুলতা যাচাইয়ের জন্য এখানে আর এর একটি উদাহরণ রয়েছে:

library(stabledist)

# Series representation of the density
PSf <- function(x, alpha, K) {
  k <- 1:K
  return(
    -1 / (pi * x) * sum(
      gamma(k * alpha + 1) / factorial(k) * 
        (-x ^ (-alpha)) ^ k * sin(alpha * k * pi)
    )
  )
}

# Derived expression for gamma
g <- function(a) {
  iu <- complex(real=0, imaginary=1)
  return(abs(1 - iu * tan(pi * a / 2)) ^ (-1 / a))
}

x=(1:100)/100
plot(0, xlim=c(0, 1), ylim=c(0, 2), pch='', 
     xlab='x', ylab='f(x)', main="Density Comparison")
legend('topright', legend=c('Series', 'gamma=g(alpha)'),
       lty=c(1, 2), col=c('gray', 'black'),
       lwd=c(5, 2))
text(x=c(0.1, 0.25, 0.7), y=c(1.4, 1.1, 0.7), 
     labels=c(expression(paste(alpha, " = 0.4")),
              expression(paste(alpha, " = 0.5")),
              expression(paste(alpha, " = 0.6"))))

for(a in seq(0.4, 0.6, by=0.1)) {
  y <- vapply(x, PSf, FUN.VALUE=1, alpha=a, K=100)
  lines(x, y, col="gray", lwd=5, lty=1)
  lines(x, dstable(x, alpha=a, beta=1, gamma=g(a), delta=0, pm=1), 
        col="black", lwd=2, lty=2)
}

$\hskip1in$

1. ফেলার, ডাব্লু। সম্ভাবনা তত্ত্ব এবং এর প্রয়োগগুলির একটি ভূমিকা , ২ , ২ য় সংস্করণ। নিউ ইয়র্ক: উইলে
2. হুগার্ড, পি। (1986)। অবিচ্ছিন্ন জনসংখ্যার জন্য বেঁচে থাকার মডেলগুলি স্থিতিশীল বিতরণ থেকে প্রাপ্ত , বায়োমেটিকার 73 , 387-396।
3. সামোরোডনিতস্কি, জি।, টাক্কু, এমএস (1994)। স্থিতিশীল অ-গাউশিয়ান এলোমেলো প্রক্রিয়া , চ্যাপম্যান এবং হল, নিউ ইয়র্ক, 1994।
4. ওয়ারন, আর। (2001) লেভি-স্থিতিশীল বিতরণগুলি পুনরায় পর্যালোচনা করা হয়েছে: লেজ-সূচী> 2 লেভি-স্থিতিশীল শাসনব্যবস্থা , আন্তর্জাতিক জার্নাল অফ মডার্ন ফিজিক্স সি, 2001, 12 (2), 209-223 বাদ দেয় না।

Comments

আমার আনন্দ. ইতিবাচক স্থিতিশীল প্যারামিটারাইজেশনের বিষয়টি এই বছরের শুরুর দিকে আমার জন্য অনেক মাথাব্যথার কারণ হয়ে দাঁড়িয়েছিল (এটি সত্যিই একটি গোলমাল), তাই আমি কী নিয়ে এসেছি তা পোস্ট করছি। এই নির্দিষ্ট ফর্মটি বেঁচে থাকার বিশ্লেষণে দরকারী কারণ ল্যাপল্যাসিয়ান ফর্মটি ইতিবাচক স্থিতিশীল বিতরণের পরে যখন কোনও ভ্রান্ত শব্দ থাকে তখন অনুপাতমূলক বিপদগুলির মডেলগুলিতে শর্তাধীন এবং প্রান্তিক রিগ্রেশন পরামিতিগুলির মধ্যে একটি সহজ সম্পর্কের অনুমতি দেয় (হুগার্ডের কাগজটি দেখুন)।

— পি শ্নেল

Answer 2

আমার মনে হয় যা ঘটছে তা হ'ল আউটপুটে deltaকোনও অভ্যন্তরীণ অবস্থানের মানের প্রতিবেদন করা হতে পারে, যখন ইনপুটে deltaশিফটটি বর্ণনা করা হচ্ছে। [ gammaকখন একই ধরণের সমস্যা রয়েছে বলে মনে হচ্ছে pm=2]] তাই আপনি যদি শিফ্টটি ২-এ বাড়ানোর চেষ্টা করেন

> dstable(4, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=2, pm=1)
[1] 0.06569375
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma    delta pm
 stable   0.4    1   0.4 2.290617  1

তারপরে আপনি অবস্থানের মানটিতে 2 যুক্ত করুন।

সঙ্গে beta=1এবং pm=1আপনি একটি ডিস্ট্রিবিউশনের সাথে একটি ইতিবাচক দৈব চলক 0 এ আবদ্ধ নিম্ন আছে।

> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0, pm=1))
[1] 0.002666507

2 দ্বারা শিফট এবং নিম্ন সীমাটি একই পরিমাণে বৃদ্ধি পায়

> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=2, pm=1))
[1] 2.003286

তবে আপনি যদি চাইছেন যে deltaইনপুটটি শিফট বা লোয়ার বাউন্ডের পরিবর্তে অভ্যন্তরীণ অবস্থানের মান হতে পারে তবে আপনাকে পরামিতিগুলির জন্য আলাদা স্পেসিফিকেশন ব্যবহার করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি নিম্নলিখিতগুলি চেষ্টা করে দেখেন ( pm=3এবং চেষ্টা করে delta=0যা delta=0.290617আগে পেয়েছিলেন) তবে আপনি একই রকম deltaহয়ে উঠবেন বলে মনে হয় । এর সাথে pm=3এবং delta=0.290617আপনি একই ঘনত্ব 0.02700602 পেয়েছেন যা আপনি আগে পেয়েছিলেন এবং নীচে একটি নীচে 0 এ পেয়েছেন pm=3এবং delta=0আপনি একটি নেতিবাচক নিম্ন সীমা পেয়েছেন (বাস্তবে -0.290617)।

> dstable(4, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0, pm=3)
[1] 0.02464434
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma delta pm
 stable   0.4    1   0.4     0  3
> dstable(4, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0.290617, pm=3)
[1] 0.02700602
attr(,"control")
   dist alpha beta gamma    delta pm
 stable   0.4    1   0.4 0.290617  3
> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0, pm=3))
[1] -0.2876658
> min(rstable(100000, alpha=0.4, beta=1, gamma=0.4, delta=0.290617, pm=3))
[1] 0.004303485

deltaআউটপুটে আপনাকে এড়ানো সহজতর হতে পারে এবং আপনি যতক্ষণ beta=1ইনপুটটিতে pm=1অর্থ ব্যবহার করছেন তা হ'ল deltaবিতরণটি হ'ল বিতরণ, যা মনে হয় আপনি 0 হতে চান।

Answer 3

এছাড়াও দ্রষ্টব্য: মার্টিন ম্যাচলার কেবল স্থিতিশীল বিতরণের জন্য কোডটি পুনরায় সজ্জিত করেছিলেন এবং কিছু উন্নতি যুক্ত করেছেন।

তার নতুন প্যাকেজ স্টেবলিস্ট এফব্যাসিকগুলিও ব্যবহার করবে, সুতরাং আপনি এটির মতো দেখতেও চাইতে পারেন।