কেন

Question

একটি সমস্যায় সেট করে আমি এই "লেমা" প্রমাণ করেছি, যার ফলাফল আমার কাছে স্বজ্ঞাত নয়। $Z$ হ'ল একটি সেন্সর করা মডেলের একটি সাধারণ বন্টন।

আনুষ্ঠানিকভাবে, $Z^* \sim Norm(0, \sigma^2)$ , এবং $Z = max(Z^*, c)$ । তারপরে,

$$\begin{align} E[Z|Z>c] &= \int_c^\infty z_i \phi({z_i})\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_c^\infty z_i \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}z_i^2\bigg)\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}c^2\bigg) \quad\quad\quad\quad\text{ (Integration by substitution)}\\ &= \phi(c) \end{align}$$ সুতরাং একটি কাটা ডোমেনের উপর প্রত্যাশা সূত্র এবং কাটা বিন্দুতে ঘনত্বের মধ্যে কিছু ধরণের সংযোগ রয়েছে$(c)$। এর পিছনে অন্তর্দৃষ্টি কি কেউ ব্যাখ্যা করতে পারে?

Comments

$z$

$\int_c^\infty \left(-\frac{d}{dz}\log(f(z))\right) f(z) dz = -\int_c^\infty f^\prime(z)dz = f(c)$$f$$F.$

$z$$E(Z|Z>c)$

$E(g(Z)|Z>c)$$g=-\frac{d}{dz}log f$

$Z \sim N(0,1)$$Z > c$$\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\mathbf 1_{\{z\colon z > c\}}$ $$E[Z\mid Z > c] = \int_c^{\infty}z\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\,\mathrm dz = \frac{1}{1-\Phi(c)}\int_c^{\infty}z\phi(z)\,\mathrm dz$$

Answer 1

ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য আপনার জন্য স্বজ্ঞাত হিসাবে কাজ করবে?

$\phi(x)$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\phi(x) = -x\phi(x)$

$$\phi(x) = \int_{-\infty}^x -t\phi(t)\,\mathrm dt = \int_{-x}^\infty u\phi(u)\,\mathrm du = \int_x^\infty u\phi(u)\,\mathrm du$$ $u = -t$$\phi(-u) = \phi(u)$$\phi(-x) = \phi(x)$$-x$$+x$$+x$$\infty$$-x$$+x$$0$