ভারী লেজ, লগনারমাল বা গামা কোনটি?

(এটি এমন প্রশ্নের ভিত্তিতে যা কেবল ইমেলের মাধ্যমে আমার কাছে এসেছিল; আমি একই ব্যক্তির সাথে আগের সংক্ষিপ্ত কথোপকথন থেকে কিছু প্রসঙ্গ যুক্ত করেছি।)

গত বছর আমাকে বলা হয়েছিল যে গামা বিতরণ লগনরমালের তুলনায় ভারী লেজযুক্ত, এবং তখন থেকেই আমাকে বলা হয়েছে যে এটি ঘটেনি।

কোনটি হয় গুরুতর টেইলড?
সম্পর্কটি অন্বেষণ করতে আমি কীভাবে কিছু সংস্থান ব্যবহার করতে পারি?

— Glen_b
সূত্র

যে ব্যক্তিকে সবেমাত্র ক্ষুণ্ন করা হয়েছে: তার কাছে প্রশ্নটির সাথে অনুভূত সমস্যাটি কী তা জেনে রাখা কার্যকর হবে।

— Glen_b

আমি ছিলাম না, আমি অনেক আগে আগে upvated। তবে আমার সন্দেহ হয় যে এটি বহিরাগতদের উপস্থিতিতে টি-টেস্টিং অনুমানের প্রসঙ্গে ভারি-লেজু বনাম কুর্তোসিসের ইউটিলিটি সম্পর্কে ছিল, যা আপনি যা চেয়েছিলেন তার সাথে একেবারেই কিছুই করার নেই। ডাউনভোটিং, আইএমএইচও, সমস্যাযুক্ত ।

— কার্ল

উত্তর:

একটি বিতরণের (ডান) লেজটি বড় মূল্যবোধে এর আচরণ বর্ণনা করে। অধ্যয়নের জন্য সঠিক অবজেক্টটি তার ঘনত্ব নয় - যা অনেকগুলি ব্যবহারিক ক্ষেত্রে বিদ্যমান নেই - বরং এর বিতরণ ফাংশন । আরও সুনির্দিষ্টভাবে, যেহেতু বড় আর্গুমেন্ট জন্য অবশ্যই তাত্পর্যপূর্ণভাবে উঠতে হবে (মোট সম্ভাব্যতার আইন অনুসারে), আমরা কতটা দ্রুত সেই অ্যাসিমেটোটের কাছে পৌঁছাতে আগ্রহী: আমাদের এর বেঁচে থাকার ক্রিয়াকলাপের আচরণ তদন্ত করতে হবে যেমন । $F$ $F$ $1$ $x$ $1- F(x)$ $x \to \infty$

বিশেষ করে, এক বন্টন একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের জন্য "গুরুতর" অন্য এক চেয়ে প্রদান করা অবশেষে চেয়ে বড় মান আরও সম্ভাবনা আছে । এটি আনুষ্ঠানিকভাবে করা যেতে পারে: এখানে অবশ্যই একটি সীমাবদ্ধ নম্বর থাকতে হবে যেমন সমস্ত , $F$ $X$ $G$ $F$ $G$ $x_0$ $x \gt x_0$

{Pr}_{F} (X > x) = 1 - F (x) > 1 - G (x) = {Pr}_{G} (X > x) .

${\Pr}_F(X\gt x) = 1 - F(x) \gt 1 - G(x) = {\Pr}_G(X\gt x).$

ব্যক্তিত্ব

এই চিত্রের লাল বক্ররেখা কোনও পোইসন বিতরণের জন্য বেঁচে থাকার ফাংশন । নীল বক্ররেখা গামা বিতরণের জন্য, যার একই বৈকল্পিক রয়েছে। অবশেষে নীল বক্ররেখা সর্বদা লাল বক্ররেখাকে ছাড়িয়ে যায়, যা দেখায় যে এই গামা বন্টন এই পোইসন বিতরণের চেয়ে আরও ভারী লেজ রয়েছে। এই বিতরণগুলি সহজেই ঘনত্ব ব্যবহার করে তুলনা করা যায় না, কারণ পাইসন বিতরণের কোনও ঘনত্ব নেই। $(3)$ $(3)$

এটি সত্য যে যখন ঘনত্বগুলি এবং বিদ্যমান থাকে এবং জন্য তখন চেয়ে ভারী-লেজযুক্ত হয় । তবে, কনভার্সটি মিথ্যা - এবং ঘনত্বগুলির চেয়ে টেলগুলির ভারীকরণের সংজ্ঞাটি ঘনত্বের চেয়ে বেঁচে থাকার কার্যকারণের উপর ভিত্তি করে গড়ে তোলার এক বাধ্য কারণ, $f$ $g$ $f(x) \gt g(x)$ $x \gt x_0$ $F$ $G$

কাউন্টার-উদাহরণগুলি ইতিবাচক সীমাহীন সমর্থন একটি স্বতন্ত্র বিতরণ গ্রহণ করে নির্মিত যেতে পারে যে তবুও চেয়ে কোনও ভারী-লেজ নেই (বিচক্ষণ কৌশলটি করবে)। এটিকে এর প্রতিটি সমর্থন পয়েন্ট , লিখিত , (বলে) দ্বারা একটি উপযুক্ত বিভাজন বিতরণ করে উপযুক্ত ব্যবধানে সমর্থন সহ একটি বিচ্ছিন্ন বিটা বিতরণ করে এর সম্ভাব্যতা ভরকে প্রতিস্থাপন করে এটিকে অবিচ্ছিন্ন বিতরণে পরিণত করুন এবং দ্বারা পরিমেয় । প্রদত্ত একটি ছোট ধনাত্মক সংখ্যা চয়ন $H$ $G$ $G$ $H$ $k$ $h(k)$ $(2,2)$ $[k-\varepsilon(k), k+\varepsilon(k)]$ $h(k)$ $\delta,$ $\varepsilon(k)$ এই ছোট আকারের বিটা বিতরণের সর্বোচ্চ ঘনত্ব ছাড়িয়েছে তা নিশ্চিত করার জন্য যথেষ্ট ছোট । নির্মাণ করে, মিশ্রণ একটি অবিচ্ছিন্ন বিতরণ যার লেজটি মতো দেখায় (এটি একটি পরিমাণে- দ্বারা সমানভাবে একটি ছোট্ট বিট কম ) তবে এর স্পাইকগুলি রয়েছে এর সমর্থনে ঘনত্ব এবং এই সমস্ত স্পাইকগুলির পয়েন্ট রয়েছে যেখানে এর ঘনত্বের চেয়ে বেশি । সুতরাং চেয়ে হালকা লেজযুক্ত তবে আমরা যে লেজটিতে যতদূর যেতে পারি সেখানে পয়েন্ট থাকবে যেখানে এর ঘনত্ব চেয়ে বেশি হবে । $f(k)/\delta$ $\delta H + (1-\delta )G$ $G^\prime$ $G$ $\delta$ $H$ $f$ $G^\prime$ $F$ $F$

ব্যক্তিত্ব

লাল বক্ররেখা একটি গামা বিতরণ এর পিডিএফ, স্বর্ণের বক্ররেখা একটি লগনরমাল ডিস্ট্রিবিউশন এর পিডিএফ , এবং নীল বক্ররেখা (স্পাইক সহ) মিশ্রিত প্রাইমারের কাউন্টারিটেক্সামের মতো পিডিএফ । (লগারিদমিক ঘনত্বের অক্ষটি লক্ষ্য করুন।) বেঁচে থাকার কাজটি গামা বিতরণের সাথে সাথে (দ্রুত ক্ষয়কারী উইগলসের সাথে): এটি শেষ পর্যন্ত চেয়ে কম বৃদ্ধি পাবে , যদিও এর পিডিএফ সর্বদা এর উপরে স্পাইক করে থাকবে এর কোন ব্যাপার কতদূর মুদ্রার উলটা পিঠ ছড়িয়ে আমরা দেখুন। $G$ $F$ $G^\prime$ $G^\prime$ $F$ $F$

আলোচনা

ঘটনাক্রমে, আমরা লগনরমাল এবং গামা বিতরণের বেঁচে থাকার কাজগুলিতে সরাসরি এই বিশ্লেষণটি সম্পাদন করতে পারি, তাদের অ্যাসিপোটোটিক আচরণটি খুঁজে পেতে চারপাশে প্রসারিত করতে পারি এবং এই সিদ্ধান্তে পৌঁছতে পারি যে সমস্ত লগনরমালগুলিতে সমস্ত গামার চেয়ে ভারী লেজ রয়েছে। তবে, কারণ এই বিতরণগুলিতে "দুর্দান্ত" ঘনত্ব রয়েছে, যথেষ্ট পরিমাণ বড় , লগমনাল ঘনত্ব গামা ঘনত্বকে ছাড়িয়ে গেছে বলে বিশ্লেষণটি আরও সহজেই সম্পন্ন করা হয় । যাইহোক, আমরা এই বিশ্লেষণমূলক সুবিধাকে একটি ভারী লেজের অর্থের সাথে বিভ্রান্ত করি না । $x=\infty$ $x$

একইভাবে, উচ্চতর মুহুর্তগুলি এবং তাদের রূপগুলি (যেমন স্কিউনেস এবং কুর্তোসিস) লেজগুলি সম্পর্কে কিছুটা বলে, তারা পর্যাপ্ত তথ্য সরবরাহ করে না। একটি সাধারণ উদাহরণ হিসাবে, আমরা যেকোন লগমনরমাল বিতরণকে এত বড় মূল্যে ছাঁটাই করতে পারি যে এর প্রদত্ত যে কোনও মুহুর্তের সংখ্যা খুব কমই বদলে যাবে - তবে এটি করার ফলে আমরা এর লেজটি পুরোপুরি সরিয়ে ফেলব, আনবাউন্ডেড কোনও বিতরণের চেয়ে হালকা-লেজযুক্ত করে তুলব সমর্থন (যেমন গামা)

এই গাণিতিক সংকোচনের বিষয়ে একটি ন্যায্য আপত্তিটি উল্লেখ করা উচিত যে লেজটির এতদূর পর্যন্ত আচরণের কোনও ব্যবহারিক প্রয়োগ নেই, কারণ কেউ কখনও বিশ্বাস করবে না যে কোনও বিতরণকারী মডেল এই ধরনের চূড়ান্ত (সম্ভবত শারীরিকভাবে অপ্রয়োগযোগ্য) মূল্যবোধে বৈধ হবে। তবে এটি দেখায় যে অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে লেজের কোন অংশটি উদ্বেগের তা চিহ্নিত করার জন্য আমাদের কিছুটা যত্ন নেওয়া উচিত এবং তদনুসারে এটি বিশ্লেষণ করা উচিত। (উদাহরণস্বরূপ, বন্যা পুনরাবৃত্তি বারগুলি এই অর্থে বোঝা যায়: 10-বন্যা, 100-বন্যা এবং 1000-বন্যা বন্যার বিতরণের লেজের নির্দিষ্ট অংশকে চিহ্নিত করে)) একই নীতিগুলি প্রয়োগ হয়, যদিও: বিশ্লেষণের এখানে মৌলিক বিষয় হ'ল বিতরণ ফাংশন এবং এর ঘনত্ব নয়।

— whuber
সূত্র

এটি বেঁচে থাকা ক্রিয়াকলাপের ভিত্তিতে কেন করা উচিত তার সম্পর্কে +1 দুর্দান্ত আলোচনা। আমি প্রশ্নের মূল উত্সকে প্রস্তাব দিয়েছি যে তাদের আপনার প্রতিক্রিয়াটি দেখে নেওয়া উচিত।

— গ্লেন_বি

(+1) কীভাবে বেঁচে থাকার ফাংশনটি ব্যাখ্যা করতে হবে তার ভাল সম্ভাব্য আলোচনার জন্য।

ভারী লেজের এই সংজ্ঞাটি একটি সংজ্ঞা হিসাবে ঠিক আছে । তবে এতে মারাত্মক সমস্যা রয়েছে। বিশেষত, সীমাবদ্ধ বিতরণগুলি রয়েছে যাতে যুক্তিযুক্তভাবে ভারী লেজ থাকে যেমন একটি .9999 * ইউ (-1,1) + .0001 * ইউ (-1000,1000) বিতরণ। প্রদত্ত "সংজ্ঞা" দ্বারা, এন (0,1) বিতরণে .9999 * ইউ (-1,1) + .0001 * ইউ (-1000,1000) বিতরণের চেয়ে ভারী লেজ রয়েছে। এটা অবশ্যই নির্বোধ। আসুন এটির মুখোমুখি হোন: বন্টনের লেজুলতা পরিমাপের অসীম অনেক উপায় রয়েছে।

— পিটার ওয়েস্টফল

@ পিটার "নির্বিকারতা" উত্থাপিত হয়েছে কারণ আপনি মনে করেন যে আপনি ধারনাগুলি পিছনে পেয়েছেন। আপনার উদাহরণগুলির কোনওটিরই কোনও অর্থেই "ভারী" লেজ নেই, কারণ সেগুলি আবদ্ধ। উভয় বেঁচে থাকার কাজগুলি শেষ পর্যন্ত ঠিক শূন্য এবং সুতরাং উভয় লেজ সমানভাবে হালকা।

— হোবার

@ পিটারওয়েস্টফল আপনার অসীম সমর্থনের সাথে লেজযুক্ত সমর্থনগুলির লেজকে তুলনা করেছেন, যেন তা অর্থবোধক। অনেকগুলি প্রসঙ্গ বিদ্যমান যার মধ্যে এটি অপ্রয়োজনীয়, নির্বোধ এমনকি হবে। সেই প্রসঙ্গে যেগুলির সাথে তাদের তুলনা করা উচিত তাদের একটি পরিমাণের পার্থক্য অনুপাত উপযুক্ত হতে পারে। এর বাইরে অনেকগুলি প্রসঙ্গ নেই এবং আপনি যদি একটি সম্পর্কে ভাবতে পারেন তবে বলুন।

— কার্ল

গামা এবং লগনরমাল উভয়ই ডান স্কিউ, ধ্রুবক-গুণফলের-বৈচিত্র্য বিতরণ এবং এগুলি প্রায়শই নির্দিষ্ট ধরণের ঘটনার জন্য "প্রতিযোগিতামূলক" মডেলগুলির ভিত্তি হয়। $(0,\infty)$

একটি লেজের ভারাক্রান্ততা সংজ্ঞায়নের বিভিন্ন উপায় রয়েছে তবে এই ক্ষেত্রে আমি মনে করি যে সমস্ত স্বাভাবিকগুলি দেখায় যে লগন্যরাল ভারী। (প্রথম ব্যক্তিটি যা সম্পর্কে সম্ভবত কথা বলছিলেন তা হ'ল দূরবর্তী লেজের দিকে নয়, তবে মোডের ডানদিকে কিছুটা বলুন), নীচের প্রথম প্লটে 75 তম পার্সেন্টাইলের কাছাকাছি, যা লগনরমালটির জন্য ঠিক 5 এর নীচে রয়েছে এবং গামা ঠিক উপরে 5)

যাইহোক, আসুন শুরু করার খুব সহজ উপায়ে প্রশ্নটি ঘুরে দেখি।

নীচে গড় 4 এবং ভেরিয়েন্স 4 (শীর্ষ চক্রান্ত - গামা গা dark় সবুজ, লগনরমাল নীল) এর সাথে গামা এবং লগনারাল ঘনত্বগুলি রয়েছে এবং তারপরে ঘনত্বের লগ (নীচে) হয়, সুতরাং আপনি লেজগুলির প্রবণতাগুলি তুলনা করতে পারেন:

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

শীর্ষ চক্রান্তটিতে আরও বিশদটি দেখা শক্ত, কারণ সমস্ত ক্রিয়াটি 10 এর ডানদিকে রয়েছে তবে এটি দ্বিতীয় চক্রান্তে বেশ স্পষ্ট, যেখানে গামা লগমনরমালের চেয়ে অনেক দ্রুত নিচে চলেছে।

সম্পর্কটি অন্বেষণ করার আরেকটি উপায় হ'ল লগগুলির ঘনত্বের দিকে নজর দেওয়া, যেমন এখানে দেওয়া উত্তরে ; আমরা দেখতে পাই যে লগনরমালের জন্য লগগুলির ঘনত্ব একসম্মত (এটি সাধারণ!), এবং গামার পক্ষে ডানদিকে হালকা লেজযুক্ত বাম-স্কু থাকে।

আমরা এটি বীজগণিতভাবে করতে পারি, যেখানে আমরা ঘনত্বের অনুপাতটি (বা অনুপাতের লগ) হিসাবে দেখতে পারি। যাক একটি গামা ঘনত্ব এবং হতে lognormal: $x\rightarrow\infty$ $g$ $f$

\log (g (x) / f (x)) = \log (g (x)) - \log (f (x))

$\log(g(x)/f(x)) = \log(g(x)) - \log(f(x))$

= \log (\frac{1}{Γ (α) β^{α}} x^{α - 1} e^{- x / β}) - \log (\frac{1}{\sqrt{2 π} σ x} e^{- \frac{(\log (x) - μ)^{2}}{2 σ^{2}}})

$=\log\left(\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}\right)-\log\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{(\log(x)-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right)$

= - k_{1} - (α - 1) \log (x) - x / β - (- k_{2} - \log (x) - \frac{(\log (x) - μ)^{2}}{2 σ^{2}})

$=-k_1-(\alpha-1)\log(x)-x/\beta - (-k_2-\log(x)-\frac{(\log(x)-\mu)^2}{2\sigma^2})$

= [c - (α - 2) \log (x) + \frac{(\log (x) - μ)^{2}}{2 σ^{2}}] - x / β

$=\left[c-(\alpha-2)\log(x)+\frac{(\log(x)-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]-x/\beta$

শব্দটি [] একটি দ্বিঘাত হয় বাকি মেয়াদে সুসংগত কমছে, । যাই হোক না কেন, প্যারামিটারের মানগুলি নির্বিশেষে যে চতুর্ভুজ বাড়ানোর চেয়ে দ্রুত গতিতে নামবে । হিসাবে সীমাতে , ঘনত্বের অনুপাতের লগটি হ্রাস , যার অর্থ গামা পিডিএফ লগমনাল পিডিএফের তুলনায় অবশেষে অনেক ছোট এবং এটি তুলনামূলকভাবে কমতে থাকে। আপনি যদি অনুপাতটিকে অন্য উপায়ে নেন (উপরে লগনরমাল সহ), অবশেষে এটি অবশ্যই কোনও সীমা ছাড়িয়েই বাড়তে হবে। $\log(x)$ $x$ $-x/\beta$ $x\rightarrow\infty$ $-\infty$

অর্থাৎ যেকোনো দেওয়া lognormal অবশেষে গুরুতর চেয়ে টেইলড হয় কোনো গামা।

ভারী হওয়ার অন্যান্য সংজ্ঞা:

কিছু লোক ডান লেজের ভারীত্ব পরিমাপ করতে স্কিউনেস বা কুর্তোসিসে আগ্রহী। প্রকরণের একটি প্রদত্ত সহগ এ lognormal উভয় আরো স্কিউ এবং বেশী সূঁচালতা হয়েছে গামা । **

উদাহরণস্বরূপ, স্কিউনেসের সাথে , গামার 2CV এর স্কিউনেস থাকে যখন লগনরমাল 3CV + সিভি । $^3$

লেজগুলি এখানে কতটা ভারী রয়েছে তার বিভিন্ন ব্যবস্থার কিছু প্রযুক্তিগত সংজ্ঞা রয়েছে । আপনি এই দুটি বিতরণ সহ কিছু চেষ্টা করতে পারেন try লগনরমালটি প্রথম সংজ্ঞায় একটি আকর্ষণীয় বিশেষ কেস - এর সমস্ত মুহুর্ত বিদ্যমান, তবে এর এমজিএফ 0 এর উপরে রূপান্তরিত হয় না, যখন গামার জন্য এমজিএফ শূন্যের আশেপাশে একটি স্থানান্তরিত করে।

** নিক কক্স যেমন নীচে উল্লেখ করেছেন, গামা, উইলসন-হিলফের্তির রূপান্তর রূপান্তরিত গামার জন্য আনুমানিক স্বাভাবিকতায় স্বাভাবিক রূপান্তরটি লগের চেয়ে দুর্বল - এটি একটি ঘনক্ষেত্রের মূল রূপান্তর। আকারের প্যারামিটারের ছোট মানগুলিতে, চতুর্থ মূলটি উল্লিখিত হয়েছে পরিবর্তে এই উত্তরে আলোচনাটি দেখুন , তবে উভয় ক্ষেত্রেই এটি নিকৃষ্ট-স্বাভাবিকতা অর্জনের জন্য একটি দুর্বল রূপান্তর।

Skewness (বা কুর্তোসিস) এর তুলনা চরম লেজের কোনও প্রয়োজনীয় সম্পর্কের পরামর্শ দেয় না - পরিবর্তে এটি আমাদের গড় আচরণ সম্পর্কে কিছু বলে; তবে মূল কারণটি চূড়ান্ত লেজ সম্পর্কে তৈরি করা না হলে এটি আরও ভাল কাজ করতে পারে।

সংস্থানসমূহ : আর বা মিনিট্যাব বা মতলব বা এক্সেল বা আপনি ঘনত্ব এবং লগ-ঘনত্ব এবং ঘনত্বের অনুপাতের লগগুলি আঁকতে পছন্দ করেন এমন কিছু প্রোগ্রাম ব্যবহার করা সহজ ... এবং কীভাবে বিশেষ ক্ষেত্রে কীভাবে জিনিস হয় তা দেখতে। আমি এটিই শুরু করার পরামর্শ দেব।

— Glen_b
সূত্র

প্রকৃতপক্ষে এটি এটিকে বোঝায় যে, তবে শিখরতা, ভারী-লেজুভাব এবং কুর্তোসিসের মধ্যে কোনও প্রয়োজনীয় সম্পর্ক নেই; এই ধরনের প্রত্যাশার পাল্টা উদাহরণ রয়েছে, তাই আমাদের অবশ্যই সাবধান হওয়া উচিত। দ্বিতীয় প্লট সন্দেহের সত্যতা নিশ্চিত করেছে।

— গ্লেন_বি

এখানে একটি ওয়ান লাইনার এটি একটি সংজ্ঞা যে লগ সাধারনত স্বাভাবিক করার জন্য লগ রূপান্তর প্রয়োজন; এটি একটি ভাল অনুমান যা একটি ঘনক রুট একটি গামা স্বাভাবিক করে তোলে (উইলসন-হিলফার্টি জ্ঞানীদের পক্ষে দুটি শব্দ); বিতরণটিকে শক্তিশালী রূপান্তরকরণের প্রয়োজন সাধারণ বা গাউসিয়ান থেকে "আরও"।

— নিক কক্স

@ গ্লেেন_বি আমি আপনার খুব সুন্দর চেহারার পিষ্টকে সামান্য সাজসজ্জা যুক্ত করছি।

— নিক কক্স

@ নিক কক্স আমি রূপান্তর সম্পর্কিত বিবৃতিতে একমত নই। গাণিতিকভাবে অবৈধ অংশটি আপনি যে উপসংহারটি আঁকতে চান তা হ'ল: একটি লোগারিদম লগনরমালকে সাধারণ করে তোলে এবং ঘনক্ষেত্র একটি গামা প্রায় স্বাভাবিক করে তোলে, আপনি কোনও একটির লেজ সম্পর্কে কোনও সিদ্ধান্তে আঁকতে পারবেন না ।

— হোবার

ধন্যবাদ; আপনার বক্তব্য আমার কাছে আরও স্পষ্ট, তবে আমি আমার "থাম্বের নিয়ম" শব্দের সাথে আঁকড়ে থাকি এবং অভিজ্ঞতাও প্রার্থনা করি। স্পষ্টতই, আমার কোন উপপাদ্য নেই।

— নিক কক্স

যদিও কুর্তোসিসটি লেজগুলির ভারাক্রমে সম্পর্কিত, তবে এটি চর্বিযুক্ত লেজযুক্ত বিতরণের ধারণাকে আরও বেশি অবদান রাখবে , এবং তুলনামূলকভাবে লেজ ভারীকরণের তুলনায় কম, যেমন নীচের উদাহরণটি দেখায়। এখানে, আমি এখন উপরে এবং নীচের পোস্টগুলিতে যা শিখেছি তা পুনরায় সাজিয়ে তুললাম, যা সত্যিই দুর্দান্ত মন্তব্য। প্রথমত, একটি ডান লেজ এলাকা এক্স থেকে এলাকা একটি এর ঘনত্ব ফাংশন, ওরফে বেঁচে থাকার ফাংশন, । লগনরমাল ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য এবং গামা বিতরণ $\infty$ $f(x)$ $1-F(t)$ $\frac{e^{-\frac{(\log (x)-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}}{\sqrt{2 \pi } \sigma x};x\geq 0$ $\frac{\beta ^{\alpha } x^{\alpha -1} e^{-\beta x}}{\Gamma (\alpha )};x\geq 0$ আসুন, আমরা তাদের সম্পর্কিত বেঁচে থাকার ক্রিয়াগুলি compare এবং গ্রাফিক্যালি। এটি করার জন্য, আমি নির্বিঘ্নে তাদের নিজ নিজ প্রকরণগুলি এবং , পাশাপাশি তাদের নিজ নিজ অতিরিক্ত কুর্তোজেস এবং এবং সমাধান করে সমান । এইটা দেখানো $\frac{1}{2} \text{erfc}\left(\frac{ \log (x)-\mu}{\sqrt{2} \sigma}\right)$ $Q(\alpha ,\beta x)=\frac{\Gamma (\alpha , \beta x)}{\Gamma (\alpha )}$ $\left(e^{\sigma ^2}-1\right) e^{2 \mu +\sigma ^2}$ $\frac{\alpha }{\beta ^2}$ $3 e^{2 \sigma ^2}+2 e^{3 \sigma ^2}+e^{4 \sigma ^2}-6$ $\frac{6}{\alpha }$ $\mu =0, \sigma =0.8$ $\alpha \to 0.19128,\beta \to 0.335421$

নীলায় লগনরমাল ডিস্ট্রিবিউশন (এলএনডি) এবং কমলাতে গামা বিতরণ (জিডি) জন্য বেঁচে থাকার কাজ। এটি আমাদের প্রথম সতর্কতার দিকে নিয়ে আসে। এটি হ'ল, যদি এই প্লটটি আমরা যাচাই করে থাকি তবে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে জিএনডিটির জন্য লেজটি এলএনডি-র চেয়ে বেশি ভারী। যে কেসটি নয় এটি প্লটের এক্স-অক্ষের মানগুলি প্রসারিত করে দেখানো হয়েছে

$\lim_{x\to \infty } \, \frac{S(\text{LND},x)}{S(\text{GD},x)}$ $\lim_{x\to \infty } \, \frac{F(x)}{G(x)}=1$ $F(x)$ $G(x)$ পরস্পর asympotic হতে। এই ফাংশনগুলি সন্ধানের জন্য যথাযথ যত্ন সহকারে, এটি বেঁচে থাকার ক্রিয়াগুলির চেয়ে সহজ ফাংশনগুলির একটি উপসর্গ সনাক্ত করার সম্ভাবনা রাখে, যা একাধিক ঘনত্বের ক্রিয়াকলাপের সাথে ভাগ করা বা সাধারণভাবে রাখা যায়, উদাহরণস্বরূপ, দুটি পৃথক ঘনত্বের ক্রিয়াগুলি ভাগ করতে পারে একটি সীমাবদ্ধ ঘনিষ্ঠ লেজ। এই পোস্টের পূর্ববর্তী সংস্করণে, এটিই আমি উল্লেখ করেছি "বেঁচে থাকার কার্যকারণের তুলনা করার জটিলতা" " মনে রাখবেন যে, এবং (ঘটনাচক্রে এবং অগত্যা এবং $\lim_{u\to \infty } \, \frac{\text{erfc}(u)}{\frac{e^{-u^2}}{\sqrt{\pi } u}}=1$ $\lim_{u\to \infty } \, \frac{\Gamma (\alpha ,u)}{e^{-u} u^{\alpha -1}}=1$ $\text{erfc}(u)<\frac{e^{-u^2}}{\sqrt{\pi } u}$ $\Gamma (\alpha ,u )<e^{-u} u^{\alpha -1}$ । এটি হ'ল, উপরের বাউন্ড, কেবল একটি অ্যাসিম্পটোটিক ফাংশন) চয়ন করা প্রয়োজন নয়। এখানে আমরা লিখি এবং যেখানে ডান হাতের পদগুলির অনুপাতের সমান সীমা রয়েছে বাম হাত শর্ত হিসাবে ডান হাতের শর্তাদি ফলনের সীমিত অনুপাতকে সরলকরণ $\frac{1}{2} \text{erfc}\left(\frac{\log (x)-\mu }{\sqrt{2} \sigma }\right)<\frac{e^{-\left(\frac{\log (x)-\mu }{\sqrt{2} \sigma }\right)^2}}{\frac{2 \left(\sqrt{\pi } (\log (x)-\mu )\right)}{\sqrt{2} \sigma }}$ $\frac{\Gamma (\alpha ,\beta x)}{\Gamma (\alpha )}<\frac{e^{-\text{$\beta $x}} (\beta x)^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha )}$ $x\to \infty$ $\lim_{x\to \infty } \, \frac{\sigma \Gamma (\alpha ) (\beta x)^{1-\alpha } e^{\beta x-\frac{(\mu -\log (x))^2}{2 \sigma ^2}}}{\sqrt{2 \pi } (\log (x)-\mu )}=\infty$ অর্থ x এর জন্য যথেষ্ট পরিমাণে বড়, এলএনডি লেজের অঞ্চল is প্যারামিটারের মানগুলি নির্বিশেষে আমরা জিডি লেজ অঞ্চলগুলির সাথে তুলনা করে যতটা বড়। এটি অন্য সমস্যাটি নিয়ে আসে, আমাদের কাছে সবসময় এমন সমাধান নেই যা সমস্ত পরামিতি মানগুলির জন্য সত্য, সুতরাং, একা গ্রাফিক চিত্র ব্যবহার করা বিভ্রান্তিকর হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, গামা বন্টন অধিকার লেজ এলাকায় সূচকীয় বণ্টনের এর লেজ এলাকায় তার চেয়ে অনেক বেশী হয় যখন , সূচকীয় কম যখন এবং জিডি ঠিক একটি সূচকীয় বন্টন যখন । $\alpha < 1$ $\alpha >1$ $\alpha =1$

তারপরে বেঁচে থাকার ক্রিয়াগুলির অনুপাতের লগারিদম গ্রহণের কী দরকার, যেহেতু স্পষ্টতই একটি সীমাবদ্ধ অনুপাত খুঁজে পেতে আমাদের লগারিদম গ্রহণের প্রয়োজন নেই? অনেক বিতরণ ফাংশনটিতে ক্ষতিকারক পদ থাকে যা লোগারিদম নেওয়ার সময় সরল দেখায় এবং x অনুপাতের সাথে যদি অনুপাতটি সীমায় অনন্ত হয়ে যায়, তবে লোগারিদমও তাই করবে। আমাদের ক্ষেত্রে এটি আমাদের পরিদর্শন করতে দেয় , যা কিছু লোক দেখতে সহজেই খুঁজে পাবে। শেষ অবধি, যদি বেঁচে থাকার কার্যের অনুপাতটি শূন্যে চলে যায়, তবে সেই অনুপাতের $\lim_{x\to \infty } \, \left(\log \left(\frac{\sigma \Gamma (\alpha ) (\beta x)^{1-\alpha }}{\sqrt{2 \pi } (\log (x)-\mu )}\right)+\beta x-\frac{(\mu -\log (x))^2}{2 \sigma ^2}\right)=\infty$ $-\infty$ , এবং সমস্ত ক্ষেত্রে একটি অনুপাতের লগারিদমের সীমা সন্ধান করার পরে, আমাদের বেঁচে থাকার ক্রিয়াটির সাধারণ অনুপাতের সীমাবদ্ধ মানের সাথে এর সম্পর্কটি বোঝার জন্য সেই মানটির অ্যান্টিএলগারিদম নিতে হবে।

— কার্ল
সূত্র

এক্ষেত্রে (এবং প্রায়শই আগ্রহের ক্ষেত্রে) উচ্চতর কুরটোসিস ভারী লেজের সাথে মিলে যায় তবে সাধারণ প্রস্তাব হিসাবে এটি তেমনটি হয় না - পাল্টা প্রতিস্থাপন করা সহজ।

— Glen_b

1. আমি সাধারণত লেজ তুলনা কম কোন সাধারণ উপায় সম্পর্কে জানি না। ২. এটি আরও জটিল কী? whuber এর উত্তর আমাদের দেখায় যে কেন বেঁচে থাকার কাজটি (ডান লেজের জন্য) ব্যতীত অন্য কিছু দেখার সমস্যা রয়েছে; আপনি কেন পিডিএফসের সাথে তুলনা করতে পারবেন না তা নিয়ে তিনি আলোচনা করেছেন তবে অনুরূপ পয়েন্টগুলি কুরটোসিসের দিকে নিয়ে যায়। আরও, তুলনা কর্টটোসিসের তুলনায় প্রায়শই অনেক কম জটিল। (বাম লেজের মধ্যে আপনি সরাসরি তুলনা করতেন তবে এটি এই প্রশ্নের জন্য কোনও সমস্যা ছিল না))

S (x) = 1 - F (x)

$S(x)=1-F(x)$

F (x)

$F(x)$

— গ্লেন_বি

আমি এটিও নোট করেছি যে আপনি বলেছিলেন "এটির একটি মুহুর্তের উপপাদ্যের সাথে কিছুটা আছে যা বলে যে দুটি বিতরণের মুহুর্তগুলি যদি (সমস্ত?) সমান হয় তবে বিতরণগুলি অভিন্ন হয়। - এমনকি দুটি বিতরণের সমস্ত মুহুর্ত সমান হলেও বিতরণগুলি অভিন্ন নয় arily পাল্টে উদাহরণগুলি সিভিতে বেশ কয়েকটি প্রশ্নের উত্তরে আলোচনা করা হয়। আপনার কাছে সমস্ত মুহুর্তের সমান পরিমাণের চেয়ে বেশি প্রয়োজন - আপনার এমজিএফ 0 এর আশপাশে থাকতে হবে

— Glen_b

@ পিটারওয়েস্টফল অর্ধ-অসীম সমর্থন প্রায়শই ধরে নেওয়া হয়, উদাহরণস্বরূপ, রক্তের রক্তরসের মধ্যে ড্রাগের ঘনত্বের জন্য । সেক্ষেত্রে, লেজ-ভারীতা নির্ধারণ করবে যে দেহে ড্রাগের গড় বাসস্থান সময় কোনও কিছু পরিমাপ করে (উদাহরণস্বরূপ, সূচকীয় বিতরণ) বা না (যেমন, কিছু পেরেটো বিতরণ))

0 \leq t < \infty

$0\leq t< \infty$

— কার্ল

@ পিটারওয়েস্টফল আমি আপনার বক্তব্যটি পাই, nma.berkeley.edu/ark:/28722/bk000471p7j এর অনুরূপ । এটি প্রত্যাহার করার দায়িত্ব নেই যে প্রতিটি বিতরণ বিভিন্ন জিনিসের জন্য বিভিন্ন ব্যবস্থাকে বোঝায়। উদাহরণস্বরূপ, গড় চূড়ান্ত মানটি ইউনিফর্ম বিতরণের অবস্থানের জন্য এমভিইউ হয়, গড়টি নয় এবং মিডিয়ান নয়। এই চূড়ান্ত মানগুলির মধ্যে, লেজগুলি ভারী, তবে এর বাইরে, লেজগুলি জিপ। কুর্তোসিসের মতো উচ্চতর মুহুর্তের সাথে এটি করার কী আছে, যখন প্রথম মুহূর্তটি এমভিইউ না হয় আমি অনুমান করার উদ্যোগ নেব না। কিছু, হতে পারে, কিন্তু কি?

— কার্ল