আসল মান শূন্য হলে আপেক্ষিক ত্রুটি কীভাবে গণনা করা যায়?

32

আসল মান শূন্য হলে আমি কীভাবে আপেক্ষিক ত্রুটি গণনা করব?

আমি বলুন এবং । যদি আমি আপেক্ষিক ত্রুটিটিকে এই হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি: $x_{true} = 0$ $x_{test}$

$\text{relative error} = \frac{x_{true}-x_{test}}{x_{true}}$

তারপরে আপেক্ষিক ত্রুটি সর্বদা অপরিজ্ঞাত। পরিবর্তে যদি আমি সংজ্ঞাটি ব্যবহার করি:

$\text{relative error} = \frac{x_{true}-x_{test}}{x_{test}}$

তাহলে আপেক্ষিক ত্রুটি সর্বদা 100% থাকে। দুটি পদ্ধতিই অকেজো বলে মনে হচ্ছে। অন্য কোন বিকল্প আছে?

error measurement-error

— okj
সূত্র

আপনার প্রথম সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে মন্টে কার্লো সিমুলেশনে প্যারামিটার পক্ষপাত সম্পর্কে আমার ঠিক একই প্রশ্ন ছিল। আমার প্যারামিটারের মানগুলির মধ্যে 0 ছিল, তাই আমি এই নির্দিষ্ট প্যারামিটারের জন্য প্যারামিটার পক্ষপাত গণনা করি নি ...

— প্যাট্রিক কৌলম্ব

2

সমাধানটি এই ক্ষেত্রে আপেক্ষিক ত্রুটি ব্যবহার না করা।

— মার্ক ক্লেসেন

2

একটি বিকল্প, যা আপনার প্রশ্নের অক্ষর না হলে অভিপ্রায়টির প্রতিক্রিয়া জানায়, এটি হ'ল কিছু ভিন্ন পরিমাপ ব্যবহার করা যা আপেক্ষিক ত্রুটির সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্মত হয় যেমন । (ব্যবহারের যখন ।) এই নির্দিষ্ট সমাধান এটা পরিমাপের একক পরিবর্তন অধীনে পরিবর্তিত যে সার্বজনীন (কারণ এটা কোন অবাধ ধ্রুবক জড়িত)।

2 (x_{true} - x_{test}) / (| x_{true} | + | x_{test} |)

$2(x_\text{true} - x_\text{test}) / (|x_\text{true}| + |x_\text{test}|)$

0

$0$

x_{true} = x_{test} = 0

$x_\text{true}=x_\text{test}=0$

— হোয়বার

@ যাকে আমি মনে করি আপনার মন্তব্যটি উত্তর হিসাবে পোস্ট করা বিবেচনা করা উচিত, যেহেতু এটি বিদ্যমান মন্তব্যগুলির চেয়ে উচ্চতর বলে মনে হচ্ছে।

— সিলভারফিশ

@ সিলভার আপনি ঠিক বলেছেন - আমি মন্তব্য হিসাবে উত্তর পোস্ট করার জন্য ক্ষমা চাইছি। তাই আমি এই মন্তব্যে কিছুটা উত্তর দিয়ে প্রসারিত করেছি।

— হোয়বার

39

উদ্দেশ্য অনুসারে অনেকগুলি বিকল্প রয়েছে।

একটি সাধারণ হ'ল "আপেক্ষিক শতাংশ পার্থক্য," বা আরপিডি, যা পরীক্ষাগারের মান নিয়ন্ত্রণের পদ্ধতিতে ব্যবহৃত হয়। যদিও আপনি অনেকগুলি আপাতদৃষ্টিতে পৃথক সূত্রগুলি খুঁজে পেতে পারেন তবে সেগুলি দুটি মানের পার্থক্যকে তাদের গড় মাত্রার সাথে তুলনা করতে নেমে আসে:

d_{1} (x, y) = \frac{x - y}{(| x | + | y |) / 2} = 2 \frac{x - y}{| x | + | y |} .

$d_1(x,y) = \frac{x - y}{(|x| + |y|)/2} = 2\frac{x - y}{|x| + |y|}.$

এই হল স্বাক্ষরিত অভিব্যক্তি, ইতিবাচক যখন ছাড়িয়ে গেছে যখন ও নেতিবাচক ছাড়িয়ে গেছে । এর মান সর্বদা এবং । ডিনোমিনেটরে পরম মান ব্যবহার করে এটি যুক্তিসঙ্গত উপায়ে নেতিবাচক সংখ্যাগুলি পরিচালনা করে। নিউ জার্সি ডিইপি সাইট রেমিডিয়েশন প্রোগ্রাম ডেটা কোয়ালিটি অ্যাসেসমেন্ট এবং ডেটা ইউজিবিলিটি মূল্যায়ন প্রযুক্তিগত গাইডেন্সের মতো আমি বেশিরভাগ রেফারেন্স পাই, এর পরম মানটি ব্যবহার করি কারণ তারা কেবল আপেক্ষিক ত্রুটির মাত্রায় আগ্রহী। $x$ $y$ $y$ $x$ $-2$ $2$ $d_1$

আপেক্ষিক পরিবর্তন এবং পার্থক্য সম্পর্কিত একটি উইকিপিডিয়া নিবন্ধ এটি পর্যবেক্ষণ করে

d_{\infty} (x, y) = \frac{| x - y |}{max (| x |, | y |)}

$d_\infty(x,y) = \frac{|x - y|}{\max(|x|, |y|)}$

ভাসমান পয়েন্ট সংখ্যার আলগোরিদিমগুলিতে প্রায়শই আপেক্ষিক সহনশীলতা পরীক্ষা হিসাবে ব্যবহৃত হয়। একই প্রবন্ধে এছাড়াও যে পয়েন্ট আউট মত সূত্র এবং প্রয়োগ করা যেতে পারে $d_1$ $d_\infty$

ঘ_{চ} (এক্স, Y) = \frac{এক্স - Y}{চ (এক্স, Y)}

$d_f(x,y) = \frac{x - y}{f(x,y)}$

যেখানে ফাংশনটি সরাসরি এবং এর উপর নির্ভর করে (সাধারণত ধরে নেওয়া হয় যে এবং ধনাত্মক)। উদাহরণ এটা (এবং পরম মান গ্রহণ ছাড়াই তাদের সর্বোচ্চ, কমপক্ষে, এবং গাণিতিক গড় উপলব্ধ করা হয় এবং নিজেদের), কিন্তু এক ধরনের জ্যামিতিক গড় হিসাবে গড় অন্যান্য প্রকারের ভাবা পারে $f$ $x$ $y$ $x$ $y$ $x$ $y$ , সুরেলা মানেএবংঅর্থ। (সাথে সঙ্গতিপূর্ণএবংঅনুরূপ যেমন সীমা $\sqrt{|x y|}$ $2/(1/|x| + 1/|y|)$ $L^p$ $((|x|^p + |y|^p)/2)^{1/p}$ $d_1$ $p=1$ $d_\infty$ ।) এক একটি চয়ন করতে পারে প্রত্যাশিত পরিসংখ্যানগত আচরণের উপর ভিত্তি করে এবং । উদাহরণস্বরূপ, আনুমানিক লগনরমাল বিতরণগুলির সাথে জ্যামিতিক গড়টি জন্য আকর্ষণীয় পছন্দহবে কারণ এটি সেই পরিস্থিতিতে একটি অর্থবহ গড়। $p\to \infty$ $f$ $x$ $y$ $f$

ডিনোমিনেটর শূন্যের সমান হলে এই সূত্রগুলির বেশিরভাগটি অসুবিধাতে চলে আসে। অনেকগুলি অ্যাপ্লিকেশনে যা হয় সম্ভব নয় বা হলে পার্থক্যটি শূন্যে সেট করা নিরীহ । $x=y=0$

লক্ষ্য করুন সব এই সংজ্ঞা একটি মৌলিক invariance সম্পত্তি ভাগ করে নিন: যাই হোক না কেন আপেক্ষিক পার্থক্য ফাংশন হতে পারে, এটা পরিবর্তন করে না যখন আর্গুমেন্ট অবিশেষে দ্বারা rescaled হয় : $d$ $\lambda \gt 0$

d (x, y) = d (λ x, λ y) .

$d(x,y) = d(\lambda x, \lambda y).$

এই সম্পত্তি যা আমাদের কে আপেক্ষিক পার্থক্য হিসাবে বিবেচনা করতে দেয় । সুতরাং, বিশেষত, একটি অ-আক্রমণকারী ফাংশন এর মতো $d$

d (x, y) = ? \frac{| x - y |}{1 + | y |}

$d(x,y) =?\ \frac{|x-y|}{1 + |y|}$

কেবল যোগ্যতা অর্জন করে না। এটিতে যা কিছু গুণ থাকতে পারে তা আপেক্ষিক পার্থক্য প্রকাশ করে না ।

গল্প এখানেই শেষ নয়। এমনকি আমরা আরও কিছুটা চালচক্রের প্রভাবকে ধাক্কা দেওয়া ফলদায়ক মনে করতে পারি।

সমস্ত সংখ্যার সংখ্যার সেট যেখানে হ'ল হ'ল বাস্তব প্রজেক্টিভ লাইন । টপোলজিক্যাল অর্থে এবং বীজগণিত উভয় অর্থে, একটি বৃত্ত। যে কোনও $(x,y)\ne (0,0)$ $(x,y)$ $(\lambda x, \lambda y)$ $\mathbb{RP}^1$ $\mathbb{RP}^1$ $(x,y)\ne (0,0)$ মূল মাধ্যমে একটি অনন্য লাইন নির্ধারণ করে । যখন এর ; অন্যথায় আমরা এর opeালটিকে "অসীম" হিসাবে বিবেচনা করতে পারি (এবং তা নেতিবাচক বা ধনাত্মক)। এই উল্লম্ব লাইনের একটি পাড়াতে অত্যন্ত বড় ধনাত্মক বা অত্যন্ত বড় নেতিবাচক withালগুলি সহ লাইন থাকে। আমরা তাদের কোণ পরিপ্রেক্ষিতে এমন সব লাইন parameterize পারে , সঙ্গে $(0,0)$ $x\ne 0$ $y/x$ $\theta = \arctan(y/x)$ $-\pi/2 \lt \theta \le \pi/2$ । এমন প্রত্যেকটি সাথে যুক্ত বৃত্তের ওপর একটা বিন্দু হয়, $\theta$

(ξ, η) = (\cos (2 θ), \sin (2 θ)) = (\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}, \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}) .

$(\xi, \eta) = (\cos(2\theta), \sin(2\theta)) = \left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, \frac{2xy}{x^2+y^2}\right).$

চেনাশোনাতে সংজ্ঞায়িত যে কোনও দূরত্ব তাই আপেক্ষিক পার্থক্য নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

এটি যেখানে নেতৃত্ব দিতে পারে তার উদাহরণ হিসাবে, বৃত্তের স্বাভাবিক (ইউক্লিডিয়ান) দূরত্বটি বিবেচনা করুন, যার মাধ্যমে দুটি পয়েন্টের মধ্যকার দূরত্বটি তাদের মধ্যবর্তী কোণের আকার। (বা যখন এবং বিপরীত চিহ্ন থাকে) এর সাথে সম্পর্কিত হয় তখন এর তুলনামূলক পার্থক্য least এই দৃষ্টিকোণ থেকে ধনাত্মক সংখ্যা এবং জন্য প্রাকৃতিক আপেক্ষিক পার্থক্যটি এই কোণটির দূরত্ব হবে: $x=y$ $2\theta = \pi/2$ $2\theta = -3\pi/2$ $x$ $y$ $x$ $y$

d_{S} (x, y) = | 2 \arctan (\frac{y}{x}) - π / 2 | .

$d_S(x,y) = \left|2\arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi/2\right|.$

প্রথম আদেশ করতে, এই আপেক্ষিক দূরত্ব - তবে থাকলেও এটি কাজ করে । তাছাড়া, এটা উড়িয়ে না, কিন্তু এর পরিবর্তে (ক স্বাক্ষরিত দূরত্ব হিসাবে) মধ্যে সীমাবদ্ধ এবং , যেমন এই গ্রাফ ইঙ্গিত: $|x-y|/|y|$ $y=0$ $-\pi/2$ $\pi/2$

আপেক্ষিক পার্থক্য পরিমাপ করার উপায় নির্বাচন করার সময় পছন্দগুলি কতটা নমনীয় তা ইঙ্গিত দেয়।

— whuber
সূত্র

বিস্তৃত উত্তরের জন্য ধন্যবাদ, আপনি কি মনে করেন এই রেখার জন্য সর্বোত্তম রেফারেন্স: "ভাসমান পয়েন্ট সংখ্যার আলগোরিদিমগুলিতে প্রায়শই আপেক্ষিক সহনশীলতা পরীক্ষা হিসাবে ব্যবহৃত হয় The একই নিবন্ধে ডি 1 ডি 1 এবং ডিডির মতো সূত্রগুলিও উল্লেখ করা যেতে পারে "

— হাম্মাদ হালিম

1

বিটিডাব্লু, কোন বিষয় নয় আমি এর জন্য একটি একাডেমিক রেফারেন্স খুঁজে পেয়েছি :) tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00031305.1985.10479385

— হামাদ

4

কেন এটি উত্তর হিসাবে নির্বাচন করা হয়নি? (দুঃখিত যদি এটি একটি উপযুক্ত মন্তব্য না হয় তবে এটি এখন পর্যন্ত আরও ভাল উত্তর)

— ব্র্যাশ ভারসাম্য

2

@ ব্রাশ আমি অনুভূতির প্রশংসা করি। স্বীকৃতি হ'ল স্বতন্ত্রভাবে মূল প্রস্তাবকারীর প্রদেশ: কেউই এটিকে ওভাররাইড করতে পারে না (গৃহীত পোস্ট মুছে ফেলা ব্যতীত)। কিছু পরিস্থিতিতে যখন আমি আপনার মত অনুভব করি তখন আমি এমন মন্তব্য পোস্ট করি যা স্পষ্টভাবে উল্লেখ করে যে কীভাবে এবং কেন আমি মনে করি যে কিছু উত্তর অন্যের চেয়ে ভাল বা বেশি লক্ষণীয়। এমনকি যদি এটি কোনও পরিবর্তন করতে ব্যর্থ হয়, তবুও এই জাতীয় মন্তব্যগুলি ভবিষ্যতের পাঠকদের কাছে এই উপাদানটিকে আরও কিছুটা দরকারী বা বোধগম্য করে তুলতে পারে: এবং এটি শেষ পর্যন্ত এই সাইটে আমাদের কাজের মূল বিষয়।

— whuber

1

@ কুটলমিসবি লক্ষ্য করে দেখার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ: "মিনিট" মোটেও এর মধ্যে নেই। দেখে মনে হচ্ছে এটা একটা জটিল সূত্র যে সব সম্ভব লক্ষণ ঘাঁটা একটি চিহ্ন হতে পারে হয়েছে

এবং

যে আমি পরে সরলীকৃত। আমি এটি সরিয়েছি।

x

$x$

y

$y$

— শুক্র

11

প্রথম, নোট করুন যে আপনি সাধারণত আপেক্ষিক ত্রুটি গণনা করতে পরম মান গ্রহণ করেন।

সমস্যার সাধারণ সমাধান হ'ল গণনা করা

relative error = \frac{| x_{true} - x_{test} |}{1 + | x_{true} |} .

$\text{relative error}=\frac{\left| x_{\text{true}}- x_{\text{test}} \right|}{1+\left|x_{\text{true}} \right|} .$

— ব্রায়ান বোর্চার্স
সূত্র

3

এটি সমস্যাযুক্ত কারণ এটি মানগুলির জন্য নির্বাচিত পরিমাপের ইউনিটের উপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হয়।

— হোবার

1

একদম সত্য। এই সমস্যার একটি নির্ভুল সমাধান হয় না, কিন্তু এটি একটি প্রচলিত পদ্ধতির যে যুক্তিসঙ্গতভাবে ভাল যখন কাজ করে

ভাল ছোটো করা হয়।

x

$x$

— ব্রায়ান বোর্চারস

"ভালভাবে স্কেলড" বলতে কী বোঝাতে চেয়েছেন আপনি কি নিজের উত্তরে বিস্তারিত বর্ণনা করতে পারেন? উদাহরণস্বরূপ, ধরুন

এবং

মোল / লিটারের মধ্যে ঘনত্বের জন্য ডিজাইন করা জলজ রাসায়নিক পরিমাপ সিস্টেমের ক্রমাঙ্কন থেকে ডেটা উত্থিত হয়েছে যা বলুন, তিনটি উল্লেখযোগ্য সংখ্যার যথার্থতা অর্জন করতে পারে। আপনার "আপেক্ষিক ত্রুটি" স্পষ্টতই ভ্রান্ত পরিমাপ ব্যতীত ক্রমাগত শূন্য হবে। এর আলোকে আপনি কীভাবে এই জাতীয় ডেটা পুনরুদ্ধার করবেন?

0

$0$

0.000001

$0.000001$

— হোয়াট

1

আপনার উদাহরণটি এমন একটি যেখানে ভেরিয়েবলটি ভালভাবে মাপা যায় না। "ওয়েল স্কেলড" দ্বারা, আমি বলতে চাইছি যে পরিবর্তনশীলটি ছোট আকারের (উদাহরণস্বরূপ বিশাল আকারের কয়েক দফার) মূল্য গ্রহণ করে যাতে 1 এর নিকটে আপনার ভেরিয়েবলটি বহু মাত্রার মানকে ধরে রাখে ' আরও গুরুতর স্কেলিংয়ের সমস্যা পেয়েছে এবং এই সহজ পদ্ধতির পর্যাপ্ত হতে যাচ্ছে না।

— ব্রায়ান বোর্চারস 14

2

এই পদ্ধতির জন্য কোন রেফারেন্স? এই পদ্ধতির নাম? ধন্যবাদ.

— ক্রোকো

0

আমি এই নিয়ে কিছুক্ষণ বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছিলাম। শেষ পর্যন্ত, কারণ আপনি যদি শূন্যের সাথে তুলনামূলকভাবে ত্রুটিটি পরিমাপ করার চেষ্টা করছেন তবে আপনি এমন কোনও কিছুকে জোর করার চেষ্টা করছেন যা কেবল অস্তিত্বহীন।

আপনি যদি এটির বিষয়ে চিন্তা করেন তবে আপনি আপেলকে কমলার সাথে তুলনা করছেন যখন আপনি শূন্য থেকে পরিমাপ করা ত্রুটির সাথে তুলনামূলকভাবে ত্রুটি তুলনা করছেন, কারণ শূন্য থেকে পরিমাপ করা ত্রুটি পরিমাপকৃত মানের সমতুল্য (এই কারণেই আপনি যখন ভাগ করে 100% ত্রুটি পান পরীক্ষার নম্বর)।

উদাহরণস্বরূপ, গেজ চাপের পরিমাপের ত্রুটি (বায়ুমণ্ডলীয় থেকে আপেক্ষিক চাপ) বনাম পরম চাপ বিবেচনা করুন। বলুন যে আপনি নিখুঁত বায়ুমণ্ডলীয় পরিস্থিতিতে গেজ চাপ পরিমাপ করতে একটি সরঞ্জাম ব্যবহার করেছেন এবং আপনার ডিভাইসটি বায়ুমণ্ডলীয় চাপের স্থানটি পরিমাপ করেছে যাতে এটি 0% ত্রুটি রেকর্ড করা উচিত। আপনার সরবরাহিত সমীকরণটি ব্যবহার করে এবং প্রথমে ধরে নেওয়া আমরা আপেক্ষিক ত্রুটি গণনা করতে পরিমাপক গেজ চাপটি ব্যবহার করেছি:

relative error = \frac{P_{g a u g e, t r u e} - P_{g a u g e, t e s t}}{P_{g a u g e, t r u e}}

$\text{relative error} = \frac{P_{gauge, true}-P_{gauge, test}}{P_{gauge, true}}$ তারপর

P_{g a u g e, t r u e} = 0

$P_{gauge, true}=0$ এবং

P_{g a u g e, t e s t} = 0

$P_{gauge,test}=0$ এবং আপনি 0% ত্রুটি পাবেন না, পরিবর্তে এটি অনির্ধারিত. এর কারণ হ'ল প্রকৃত শতাংশ ত্রুটিটি এর মতো পরম চাপ মানগুলি ব্যবহার করা উচিত:

relative error = \frac{P_{a b s o l u t e, t r u e} - P_{a b s o l u t e, t e s t}}{P_{a b s o l u t e, t r u e}}

$\text{relative error} = \frac{P_{absolute, true}-P_{absolute, test}}{P_{absolute, true}}$ এখন

P_{a b s o l u t e, t r u e} = 1 a t m

$P_{absolute, true}=1atm$ এবং

P_{a b s o l u t e, t e s t} = 1 a t m

$P_{absolute,test}=1atm$ এবং আপনি 0% ত্রুটি পান। এটি আপেক্ষিক ত্রুটির যথাযথ প্রয়োগ। আসল অ্যাপ্লিকেশন যা গেজ চাপ ব্যবহার করে তা "আপেক্ষিক মানের তুলনামূলক ত্রুটি" এর মতো ছিল যা "আপেক্ষিক ত্রুটি" এর চেয়ে আলাদা একটি জিনিস। আপেক্ষিক ত্রুটি পরিমাপ করার আগে আপনাকে গেজের চাপকে পরম রূপান্তর করতে হবে।

আপনার প্রশ্নের সমাধান হ'ল আপেক্ষিক ত্রুটি পরিমাপ করার সময় আপনি নিখুঁত মানগুলি নিয়ে কাজ করছেন তা নিশ্চিত করা, যাতে শূন্য কোনও সম্ভাবনা না। তারপরে আপনি আসলে আপেক্ষিক ত্রুটি পেয়ে যাচ্ছেন এবং এটি আপনার বাস্তব শতাংশ ত্রুটির অনিশ্চয়তা বা মেট্রিক হিসাবে ব্যবহার করতে পারেন। আপনার যদি অবশ্যই নিখুঁত ত্রুটিটি ব্যবহার করা উচিত তবে তুলনামূলক মানগুলির সাথে তাল মিলিয়ে চলুন কারণ আপেক্ষিক (শতাংশ) ত্রুটি আপনার রেফারেন্স পয়েন্টের উপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হবে।

0 এর উপর একটি কংক্রিট সংজ্ঞা রাখা শক্ত ... "শূন্য হল 0 হিসাবে চিহ্নিত পূর্ণসংখ্যা যা কোনও গণনা সংখ্যা হিসাবে ব্যবহৃত হলে, এর অর্থ কোনও বস্তু উপস্থিত নেই।" - ওল্ফ্রাম ম্যাথ ওয়ার্ল্ড http://mathworld.wolfram.com/Zero.html

নিট বাছাই করা নির্দ্বিধায়, তবে শূন্যের মূল অর্থ কিছুই নেই, এটি নেই। এ কারণেই আপেক্ষিক ত্রুটির গণনা করার সময় গেজ চাপটি ব্যবহার করার কোনও অর্থ হয় না। গেজ চাপ, দরকারী হলেও, ধরে নিচ্ছে বায়ুমণ্ডলীয় চাপে কিছুই নেই। আমরা জানি এটি যদিও এটি নয়, কারণ এটির উপর এটিএমের একটানা চাপ রয়েছে। সুতরাং, কিছুই সম্মানের সাথে আপেক্ষিক ত্রুটি, কেবল বিদ্যমান নেই, এটি অপরিজ্ঞাত।

এর বিরুদ্ধে তর্ক করতে নিখরচায়, সহজভাবে বলুন: যে কোনও তাত্ক্ষণিক সংশোধন যেমন নীচের মানটিতে একটি যুক্ত করা ত্রুটিযুক্ত এবং সঠিক নয়। আপনি যদি ত্রুটি কমাতে চেষ্টা করেন তবে এগুলি এখনও কার্যকর হতে পারে। আপনি যদি অনিশ্চয়তার সঠিক পরিমাপ করার চেষ্টা করছেন তবে এতটা না ...

— টিম জনসেন
সূত্র

0

ম্যাপ সন্ধান করা,

এটি অত্যন্ত বিতর্কিত বিষয় এবং অনেকগুলি ওপেনসোর্স অবদানকারী উপরোক্ত বিষয়ে আলোচনা করেছেন। এখনও অবধি সবচেয়ে দক্ষ পন্থাটি বিকাশকারীদের দ্বারা অনুসরণ করা হয়। আরও জানার জন্য দয়া করে এই PR টি দেখুন।

— layman_brother
সূত্র