কোয়ান্টাইল রিগ্রেশন অনুমানের সূত্র

কোয়ান্টাইল রিগ্রেশন এস্টিমেটারের দুটি ভিন্ন উপস্থাপনা আমি দেখেছি

প্রশ্নঃ (β_{কুই}) = Σ_{আমি : Y_{আমি} \geq {এক্স}_{আমি}^{'} β}^{এন} কুই | Y_{আমি} - {এক্স}_{আমি}^{'} β_{কুই} | + + Σ_{আমি : Y_{আমি} < {এক্স}_{আমি}^{'} β}^{এন} (1 - কুই) | Y_{আমি} - {এক্স}_{আমি}^{'} β_{কুই} |

$Q(\beta_{q}) = \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta} q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta} (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid$

এবং

প্রশ্নঃ (β_{কুই}) = Σ_{আমি = 1}^{এন} ρ_{কুই} (Y_{আমি} - {এক্স}_{আমি}^{'} β_{কুই}), ρ_{কুই} (তোমার দর্শন লগ করা) = {তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি} (কুই - 1 ({তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি} < 0))

$Q(\beta_q) = \sum^{n}_{i=1} \rho_q (y_i - x'_i \beta_q), \hspace{1cm} \rho_q(u) = u_i(q - 1(u_i < 0 ))$

যেখানে । কেউ আমাকে বলতে পারেন কীভাবে এই দুটি এক্সপ্রেশনটির সমতা দেখানো যায়? দ্বিতীয় প্রকাশ থেকে শুরু করে আমি এখন পর্যন্ত যা চেষ্টা করেছি তা এখানে। $u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} প্রশ্নঃ (β_{কুই}) & = Σ_{আমি = 1}^{এন} {তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি} (কুই - 1 ({তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি} < 0)) (Y_{আমি} - {এক্স}_{আমি}^{'} β_{কুই}) \\ = Σ_{আমি = 1}^{এন} (Y_{আমি} - {এক্স}_{আমি}^{'} β_{কুই}) (কুই - 1 (Y_{আমি} - {এক্স}_{আমি}^{'} β_{কুই} < 0)) (Y_{আমি} - {এক্স}_{আমি}^{'} β_{কুই}) \\ = [Σ_{আমি : Y_{আমি} \geq {এক্স}_{আমি}^{'} β}^{এন} (কুই (Y_{আমি} - {এক্স}_{আমি}^{'} β_{কুই})) + + Σ_{আমি : Y_{আমি} < {এক্স}_{আমি}^{'} β}^{এন} (কুই (Y_{আমি} - {এক্স}_{আমি}^{'} β_{কুই}) - (Y_{আমি} - {এক্স}_{আমি}^{'} β_{কুই}))] (Y_{আমি} - {এক্স}_{আমি}^{'} β_{কুই}) \end{aligned}

$\begin{align} Q(\beta_q) &= \sum^{n}_{i=1} u_i(q - 1(u_i < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i \beta_q)(q - 1(y_i - x'_i \beta_q < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &=\left[ \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)) + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)-(y_i - x'_i\beta_q)) \right](y_i - x'_i\beta_q) \end{align}$ তবে থেকে আমি কীভাবে এগিয়ে যাব তাতে আটকে গেলাম। দয়া করে মনে করবেন না যে এটি কোনও হোম ওয়ার্ক বা অ্যাসাইনমেন্ট প্রশ্ন নয়। অনেক ধন্যবাদ.

proof quantile-regression equivalence

— AlexH
সূত্র

যদি আপনি মনে রাখেন, ওএলএস স্কোয়ারের অবশিষ্টাংশের যোগফলকে ছোট করে তবে মধ্যস্থতা প্রতিরোধের পরম অবশিষ্টাংশের যোগফলকে ছোট করে দেয় । । মিডিয়ান বা কমপক্ষে পরম বিচ্যুতির (এলএডি) অনুমানকটি কোয়ান্টাইল রিগ্রেশন-এর একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যার মধ্যে আপনার । কোয়ান্টাইল রিগ্রেশনে আমরা পরিপূর্ণ ত্রুটিগুলির পরিমাণকে হ্রাস করি যা অতিরিক্ত অনুমানের অ্যাসিমেট্রিক ওজন এবং আন্ডারপ্রেডিকশনের জন্য । আপনি LAD উপস্থাপনা থেকে শুরু করতে পারেন এবং তথ্য যার দ্বারা পরিমেয় হয় ভগ্নাংশ এর সমষ্টি হিসাবে এই প্রসারিত এবং তাদের মান দেওয়া , এবং এটি কাজ নিম্নরূপ: $\sum_i u_{i}^{2}$ $\sum_i \mid u_i \mid$ $q = .5$ $(1-q)$ $q$ $q$ $(1-q)$ $u_i$

\begin{aligned} ρ_{কুই} (তোমার দর্শন লগ করা) & = 1 ({তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি} > 0) কুই | {তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি} | + + 1 ({তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি} \leq 0) (1 - কুই) | {তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি} | \\ = 1 (Y_{আমি} - {এক্স}_{আমি}^{'} β_{কুই} > 0) কুই | Y_{আমি} - {এক্স}_{আমি}^{'} β_{কুই} | + + 1 (Y_{আমি} - {এক্স}_{আমি}^{'} β_{কুই} \leq 0) (1 - কুই) | Y_{আমি} - {এক্স}_{আমি}^{'} β_{কুই} | \end{aligned}

$\begin{align} \rho_q(u) &= 1(u_i>0) \, q\mid u_i\mid + 1(u_i\leq 0) \, (1-q)\mid u_i \mid \newline &= 1(y_i - x'_i \beta_q > 0) \, q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + 1(y_i - x'_i\beta_q \leq 0) \, (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid \end{align}$ এটি কেবল এই সত্যটি ব্যবহার করে যে এবং তারপরে আপনি সূচক ফাংশনটিকে পর্যবেক্ষণের পরিমাণ হিসাবে আবার লিখতে পারেন যা সূচকগুলির শর্ত পূরণ করে । এটি কোয়ান্টাইল রিগ্রেশন অনুমানকারীটির জন্য আপনি যে প্রথম প্রকাশ লিখেছেন তা দেবে।

u_{i} = y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} = \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} q ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (1 - q) ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ \\ = q \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + (1 - q) \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ \\ = q \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) - (1 - q) \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = q \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) - \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) + q \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = q \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) - \sum_{i = 1}^{n} 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} \leq 0) (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (q - 1 (u_{i} \leq 0)) u_{i} \end{aligned}

$\begin{align} &= \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}q\mid y_i - x'_i\beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (1-q) \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid + (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} ( y_i - x'_i\beta_q ) \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) + q \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) \newline &= q \sum^{n}_{i=1} (y_i - x'_i \beta_q) - \sum^{n}_{i=1}1(y_i - x'_i\beta_q\leq 0)(y_i - x'_i\beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(q - 1(u_i \leq 0))u_i \end{align}$

দ্বিতীয় লাইনটি সংক্ষেপগুলি থেকে ওজন নিয়ে যায় out তৃতীয় লাইন পরম মানগুলি থেকে মুক্তি পায় এবং তাদের প্রকৃত মান দ্বারা প্রতিস্থাপন করে। সংজ্ঞা অনুসারে যখনই নেতিবাচক , তাই এই লাইনে সাইন পরিবর্তন। চতুর্থ লাইনটি গুণিত হয় । তারপরে আপনি বুঝতে পেরেছেন যে এবং সংশ্লিষ্ট সূচক দ্বারা চতুর্থ লাইনে মধ্যমেয়াদির প্রতিস্থাপন করে আপনি পঞ্চম লাইনে পৌঁছেছেন। ফ্যাক্টরিজিং এবং তারপরে প্রতিস্থাপন $y_i - x'_i\beta_q$ $y_i < x'_i\beta_q$ $(1-q)$

q \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) + q \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q})

$q\sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) + q\sum^{n}_{i:y_i \leq x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) = \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i\beta_q)$

y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$y_i - x'_i\beta_q$

u_{i}

$u_i$
এটি দেখায় যে দুটি এক্সপ্রেশন কীভাবে সমান।

— অ্যান্ডি
সূত্র