বায়েশীয় সম্ভাবনার দৃষ্টিকোণ থেকে, 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানে 95% সম্ভাব্যতা সহ সত্য পরামিতিটি কেন থাকে না?

14

আত্মবিশ্বাসের বিরতিতে উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠা থেকে :

... যদি পুনরাবৃত্ত (এবং সম্ভবত পৃথক) বিভিন্ন পরীক্ষার পৃথক পৃথক ডেটা বিশ্লেষণ জুড়ে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানগুলি তৈরি করা হয়, তবে প্যারামিটারের সত্যিকারের মান রয়েছে এমন বিরতিগুলির অনুপাত আত্মবিশ্বাসের স্তরের সাথে মেলে ...

এবং একই পৃষ্ঠা থেকে:

একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানটি ভবিষ্যদ্বাণী করে না যে প্যারামিটারের সত্যিকারের মানটি আসলে প্রাপ্ত ডেটা প্রদত্ত আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানে থাকার বিশেষ সম্ভাবনা থাকে।

যদি আমি এটি সঠিকভাবে বুঝতে পারি, তবে এই শেষ বিবৃতিটি সম্ভাবনার ঘনত্ববাদী ব্যাখ্যার সাথে করা হয়েছে। তবে, বায়সিয়ান সম্ভাব্যতার দৃষ্টিকোণ থেকে, 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানে 95% সম্ভাব্যতা সহ সত্য পরামিতিটি কেন থাকে না? এবং যদি তা না হয় তবে নিম্নলিখিত যুক্তিতে ভুল কী?

যদি আমার এমন একটি প্রক্রিয়া থাকে যা আমি জানি 95% সময়ের একটি সঠিক উত্তর উত্পাদন করে তবে পরবর্তী উত্তরটির সঠিক হওয়ার সম্ভাবনা 0.95 হয় (প্রদত্ত যে প্রক্রিয়াটি সম্পর্কে আমার কোনও অতিরিক্ত তথ্য নেই)। একইভাবে যদি কেউ আমাকে একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান দেখায় যা একটি প্রক্রিয়া দ্বারা তৈরি করা হয় যা 95% সময়ের সত্য পরামিতি ধারণ করে, তবে আমি কি বলব না যে এটিতে 0.95 সম্ভাব্যতা সহ সত্য পরামিতি রয়েছে, আমি কি জানিনা?

এই প্রশ্নটির অনুরূপ, তবে একই নয়, কেন একটি 95% সিআই মানে 95% সম্ভাবনা রয়েছে? এই প্রশ্নের উত্তরগুলি কেন্দ্রীভূত হয়েছে যে একটি 95% সিআই কেন ঘন ঘনবাদী দৃষ্টিকোণ থেকে গড়টি রাখার 95% সুযোগ বোঝায় না? আমার প্রশ্নটি একই, তবে একটি বায়সিয়ান সম্ভাব্যতার দৃষ্টিকোণ থেকে।

bayesian confidence-interval

— রাসমুস বাথ
সূত্র

এটি ভাবার একটি উপায় 95% সিআই হ'ল "দীর্ঘ রান গড়"। আপনার "সংক্ষিপ্ত রান" কেসগুলি বিভক্ত করার এখন অনেক উপায় রয়েছে যাতে মোটামুটি স্বেচ্ছাসেবীর কভারেজ পাওয়া যায় - তবে যখন গড় হয় তখন সামগ্রিকভাবে 95% দেয়। আর একটি, বিমূর্ত উপায় হ'ল

জন্য

এমন যে

। আপনি এটি করতে পারে এমন অসংখ্য সীমাহীন উপায় রয়েছে। এখানে

x_{i} \sim B e r n o u l l i (p_{i})

$x_i\sim Bernoulli (p_i)$

i = 1, 2, \dots

$i=1, 2,\dots$

\sum_{i = 1}^{\infty} p_{i} = 0.95

$\sum_{i=1}^{\infty} p_i=0.95$

x_{i}

$x_i$ ইঙ্গিত হোক বা না হোক সি আই ith ডেটা সেট দিয়ে তৈরি প্যারামিটার আছে, এবং

p_{i}

$p_i$ এই ক্ষেত্রে জন্য কভারেজ সম্ভাব্যতা হয়।

— সম্ভাব্যতা

11

আপডেট : কয়েক বছরের আড়াল দৃষ্টির সুবিধার সাথে, আমি একই ধরণের প্রশ্নের জবাবে মূলত একই উপাদানের আরও সংক্ষিপ্ত চিকিত্সা লিখেছি ।

কীভাবে একটি আত্মবিশ্বাস অঞ্চল তৈরি করবেন

আসুন আমরা আত্মবিশ্বাসের অঞ্চলগুলি তৈরির জন্য একটি সাধারণ পদ্ধতি দিয়ে শুরু করি। এটি একটি একক প্যারামিটারে প্রয়োগ করা যেতে পারে, একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান বা বিরতিগুলির সেট সরবরাহ করতে; এবং এটি দুটি বা ততোধিক পরামিতিগুলিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে, উচ্চতর মাত্রিক আত্মবিশ্বাসের অঞ্চল অর্জন করতে।

আমরা দাবী করে যে, পর্যবেক্ষিত পরিসংখ্যান $D$ একটি বিতরণ থেকে উদ্ভূত পরামিতি সঙ্গে $\theta$ , যথা স্যাম্পলিং বন্টন $s(d|\theta)$ উপর সম্ভাব্য পরিসংখ্যান $d$ , এবং জন্য একটি কনফিডেন্স অঞ্চল চাইতে $\theta$ সম্ভব মূল্যবোধের সেটে $\Theta$ । একটি সর্বোচ্চ ঘনত্ব অঞ্চল (এই HDR) নির্ধারণ করুন: $h$ একটি PDF এর -HDR তার ডোমেন সমর্থন সম্ভাব্যতা ক্ষুদ্রতম উপসেট $h$ । বোঝাতে $h$ এর -HDR $s(d|\psi)$ যেমন $H_\psi$ , কোন $\psi \in \Theta$ । তারপর, $h$ জন্য আস্থা অঞ্চল $\theta$ , ডাটা দেওয়া $D$ , সেট $C_D = \{ \phi : D \in H_\phi \}$ । $h$ একটি সাধারণ মান0.95 হবে।

একটি ফ্রিকোয়েন্সিস্ট ব্যাখ্যা

একটি কনফিডেন্স অঞ্চলের পূর্ববর্তী সংজ্ঞা অনুসরণ করে থেকে

d \in H_{ψ} ⟷ ψ \in C_{d}

$d \in H_\psi \longleftrightarrow \psi \in C_d$ সঙ্গে

C_{d} = {ϕ : d \in H_{ϕ}}

$C_d = \{ \phi : d \in H_\phi \}$ । নাও (বৃহৎ সেট কল্পনা কাল্পনিক ) পর্যবেক্ষণ

{D_{i}}

$\{D_i\}$ , এর অনুরূপ পরিস্থিতিতে গৃহীত চিত্র

D

$D$ । অর্থাত্ সেগুলি

s (d | θ)

$s(d|\theta)$ এর নমুনা । যেহেতু

H_{θ}

$H_\theta$ সমর্থন সম্ভাব্যতা ভর

h

$h$ PDF এর

s (d | θ)

$s(d|\theta)$ ,

P (D_{i} \in H_{θ}) = h

$P(D_i \in H_\theta) = h$ for all

i

$i$ । অতএব, ভগ্নাংশ

{D_{i}}

$\{D_i\}$ , যার জন্য

D_{i} \in H_{θ}

$D_i \in H_\theta$ হল

h

$h$ । এবং তাই, উপরে সমানতা ব্যবহার করে, ভগ্নাংশ

{D_{i}}

$\{D_i\}$ , যার জন্য

θ \in C_{D_{i}}

$\theta \in C_{D_i}$ হয়

h

$h$ ।

এই তারপর, কি জন্য frequentist দাবি $h$ জন্য আস্থা অঞ্চল $\theta$ পরিমাণ:

কাল্পনিক পর্যবেক্ষণ সংখ্যক নিন $\{D_i\}$ স্যাম্পলিং বন্টন থেকে $s(d|\theta)$ যে পর্যবেক্ষিত পরিসংখ্যান বৃদ্ধি দিয়েছেন $D$ । তারপর, $\theta$ ভগ্নাংশ মধ্যে সবচেয়ে গুরত্বপূর্ণ $h$ অনুরূপ কিন্তু কাল্পনিক আস্থা অঞ্চলের $\{C_{D_i}\}$ ।

আস্থা অঞ্চল $C_D$ অতএব যে সম্ভাব্যতা সম্পর্কে কোনো দাবি না $\theta$ মিথ্যা কোথাও! কারণ fomulation যা আমাদের উপর একটি সম্ভাব্যতা বিতরণের তো দূরের কথা দেয় কিছুই নেই সহজভাবে হয় $\theta$ । ব্যাখ্যাটি কেবল বিস্তৃত সুপারস্ট্রাকচার, যা বেসের উন্নতি করে না। বেস শুধুমাত্র $s(d | \theta)$ এবং $D$ , যেখানে $\theta$ একটি বিতরণ পরিমাণ হিসাবে প্রদর্শিত না, এবং কোন তথ্য আমরা ঐ ঠিকানায় ব্যবহার করতে পারেন আছে। $\theta$ বেশি বন্টন পাওয়ার জন্য দুটি উপায় রয়েছে :

হাতের তথ্য থেকে সরাসরি একটি বিতরণ বরাদ্দ করুন: $p(\theta | I)$ ।
সম্পর্কযুক্ত $\theta$ অন্য বিতরণ পরিমাণ হবে: $p(\theta | I) = \int p(\theta x | I) dx = \int p(\theta | x I) p(x | I) dx$ ।

উভয় ক্ষেত্রেই $\theta$ অবশ্যই কোথাও বাম দিকে উপস্থিত হবে। ঘনঘনবাদীরা কোনও পদ্ধতিই ব্যবহার করতে পারে না, কারণ তাদের উভয়েরই একটি ধর্মীয় পূর্বের প্রয়োজন।

একটি বায়েশিয়ান ভিউ

সবচেয়ে একটি Bayesian এর তুলতে পারে $h$ আস্থা অঞ্চল $C_D$ , যোগ্যতা ছাড়াই দেওয়া, সহজভাবে সরাসরি ব্যাখ্যা হল: যে এটা সেট $\phi$ , যার জন্য $D$ পড়ে $h$ -HDR $H_\phi$ স্যাম্পলিং বিতরণের $s(d|\phi)$ । এটি অগত্যা $\theta$ সম্পর্কে আমাদের বেশি কিছু বলে না এবং কেন এটি।

সম্ভাব্যতা যে $\theta \in C_D$ দেওয়া $D$ এবং ব্যাকগ্রাউন্ড তথ্য $I$ , হল:

\begin{aligned} P (θ \in C_{D} | D I) & = \int_{C_{D}} p (θ | D I) d θ \\ = \int_{C_{D}} \frac{p (D | θ I) p (θ | I)}{p (D | I)} d θ \end{aligned}

$\begin{align*} P(\theta \in C_D | DI) &= \int_{C_D} p(\theta | DI) d\theta \\ &= \int_{C_D} \frac{p(D | \theta I) p(\theta | I)}{p(D | I)} d\theta \end{align*}$ নোটিশ যে frequentist ব্যাখ্যা অসদৃশ, আমরা অবিলম্বে উপর একটি বিতরণ দাবি

θ

$\theta$ । পটভূমির তথ্য

I

$I$ আমাদের বলে, যেমন আগে, যে স্যাম্পলিং বন্টন হয়

s (d | θ)

$s(d | \theta)$ :

\begin{aligned} P (θ \in C_{D} | D I) & = \int_{C_{D}} \frac{s (D | θ) p (θ | I)}{p (D | I)} d θ \\ = \frac{\int_{C_{D}} s (D | θ) p (θ | I) d θ}{p (D | I)} \\ i.e. P (θ \in C_{D} | D I) & = \frac{\int_{C_{D}} s (D | θ) p (θ | I) d θ}{\int s (D | θ) p (θ | I) d θ} \end{aligned}

$\begin{align*} P(\theta \in C_D | DI) &= \int_{C_D} \frac{s(D | \theta) p(\theta | I)}{p(D | I)} d \theta \\ &= \frac{\int_{C_D} s(D | \theta) p(\theta | I) d\theta}{p(D | I)} \\ \text{i.e.} \quad\quad P(\theta \in C_D | DI) &= \frac{\int_{C_D} s(D | \theta) p(\theta | I) d\theta}{\int s(D | \theta) p(\theta | I) d\theta} \end{align*}$ এখন এই অভিব্যক্তি সাধারণ মূল্যায়ন মধ্যে নেই

h

$h$ , যা বলতে হয়,

h

$h$ আস্থা অঞ্চল

C_{D}

$C_D$ সবসময় ধারণ করে না

θ

$\theta$ সম্ভাব্যতা সঙ্গে

h

$h$ । আসলে এটি

h

$h$ থেকে একেবারে আলাদা হতে পারে। আছে, তবে, অনেক সাধারণ পরিস্থিতিতে যেখানে এটিনেইনির্ণয়

h

$h$ , যে কারণে আস্থা অঞ্চলে প্রায়ই আমাদের সম্ভাব্য intuitions সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়।

উদাহরণস্বরূপ, ধরুন যে $d$ এবং $\theta$ এর পূর্বের যৌথ সেই $p_{d,\theta}(d,\theta | I) = p_{d,\theta}(\theta,d | I)$ প্রতিসাম্যিক । (স্পষ্টত এই অনুমান একই ডোমেইন উপর পিডিএফ রেঞ্জ যে জড়িত থাকে $d$ এবং $\theta$ এর পরে, পূর্বে হলে।) $p(\theta | I) = f(\theta)$ , আমরা $s(D | \theta) p(\theta | I) = s(D | \theta) f(\theta) = s(\theta | D) f(D)$ . Hence

\begin{aligned} P (θ \in C_{D} | D I) & = \frac{\int_{C_{D}} s (θ | D) d θ}{\int s (θ | D) d θ} \\ i.e. P (θ \in C_{D} | D I) & = \int_{C_{D}} s (θ | D) d θ \end{aligned}

$\begin{align*} P(\theta \in C_D | DI) &= \frac{\int_{C_D} s(\theta | D) d\theta}{\int s(\theta | D) d\theta} \\ \text{i.e.} \quad\quad P(\theta \in C_D | DI) &= \int_{C_D} s(\theta | D) d\theta \end{align*}$ From the definition of an HDR we know that for any

ψ \in Θ

$\psi \in \Theta$

\begin{aligned} \int_{H_{ψ}} s (d | ψ) d d & = h \\ and therefore that \int_{H_{D}} s (d | D) d d & = h \\ or equivalently \int_{H_{D}} s (θ | D) d θ & = h \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{H_\psi} s(d | \psi) dd &= h \\ \text{and therefore that} \quad\quad \int_{H_D} s(d | D) dd &= h \\ \text{or equivalently} \quad\quad \int_{H_D} s(\theta | D) d\theta &= h \end{align*}$ Therefore, given that

s (d | θ) f (θ) = s (θ | d) f (d)

$s(d | \theta) f(\theta) = s(\theta | d) f(d)$ ,

C_{D} = H_{D}

$C_D = H_D$ implies

P (θ \in C_{D} | D I) = h

$P(\theta \in C_D | DI) = h$ . The antecedent satisfies

C_{D} = H_{D} ⟷ \forall ψ [ψ \in C_{D} \leftrightarrow ψ \in H_{D}]

$C_D = H_D \longleftrightarrow \forall \psi \; [ \psi \in C_D \leftrightarrow \psi \in H_D ]$ Applying the equivalence near the top:

C_{D} = H_{D} ⟷ \forall ψ [D \in H_{ψ} \leftrightarrow ψ \in H_{D}]

$C_D = H_D \longleftrightarrow \forall \psi \; [ D \in H_\psi \leftrightarrow \psi \in H_D ]$ Thus, the confidence region

C_{D}

$C_D$ contains

θ

$\theta$ with probability

h

$h$ if for all possible values

ψ

$\psi$ of

θ

$\theta$ , the

h

$h$ -HDR of

s (d | ψ)

$s(d | \psi)$ contains

D

$D$ if and only if the

h

$h$ -HDR of

s (d | D)

$s(d | D)$ contains

ψ

$\psi$ .

Now the symmetric relation $D \in H_\psi \leftrightarrow \psi \in H_D$ is satisfied for all $\psi$ when $s(\psi + \delta | \psi) = s(D - \delta | D)$ for all $\delta$ that span the support of $s(d | D)$ and $s(d | \psi)$ . We can therefore form the following argument:

$s(d | \theta) f(\theta) = s(\theta | d) f(d)$ (premise)
$\forall \psi \; \forall \delta \; [ s(\psi + \delta | \psi) = s(D - \delta | D) ]$ (premise)
$\forall \psi \; \forall \delta \; [ s(\psi + \delta | \psi) = s(D - \delta | D) ] \longrightarrow \forall \psi \; [ D \in H_\psi \leftrightarrow \psi \in H_D ]$
$\therefore \quad \forall \psi \; [ D \in H_\psi \leftrightarrow \psi \in H_D ]$
$\forall \psi \; [ D \in H_\psi \leftrightarrow \psi \in H_D ] \longrightarrow C_D = H_D$
$\therefore \quad C_D = H_D$
$[s(d | \theta) f(\theta) = s(\theta | d) f(d) \wedge C_D = H_D] \longrightarrow P(\theta \in C_D | DI) = h$
$\therefore \quad P(\theta \in C_D | DI) = h$

Let's apply the argument to a confidence interval on the mean of a 1-D normal distribution $(\mu, \sigma)$ , given a sample mean $\bar{x}$ from $n$ measurements. We have $\theta = \mu$ and $d = \bar{x}$ , so that the sampling distribution is

s (d | θ) = \frac{\sqrt{n}}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{n}{2 σ^{2}} {(d - θ)}^{2}}

$s(d | \theta) = \frac{\sqrt{n}}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{n}{2 \sigma^2} { \left( d - \theta \right) }^2 }$ Suppose also that we know nothing about

θ

$\theta$ before taking the data (except that it's a location parameter) and therefore assign a uniform prior:

f (θ) = k

$f(\theta) = k$ . Clearly we now have

s (d | θ) f (θ) = s (θ | d) f (d)

$s(d | \theta) f(\theta) = s(\theta | d) f(d)$ , so the first premise is satisfied. Let

s (d | θ) = g ((d - θ)^{2})

$s(d | \theta) = g\left( (d - \theta)^2 \right)$ . (i.e. It can be written in that form.) Then

\begin{matrix} s (ψ + δ | ψ) = g ((ψ + δ - ψ)^{2}) = g (δ^{2}) \\ and s (D - δ | D) = g ((D - δ - D)^{2}) = g (δ^{2}) \\ so that \forall ψ \forall δ [s (ψ + δ | ψ) = s (D - δ | D)] \end{matrix}

$\begin{gather*} s(\psi + \delta | \psi) = g \left( (\psi + \delta - \psi)^2 \right) = g(\delta^2) \\ \text{and} \quad\quad s(D - \delta | D) = g \left( (D - \delta - D)^2 \right) = g(\delta^2) \\ \text{so that} \quad\quad \forall \psi \; \forall \delta \; [s(\psi + \delta | \psi) = s(D - \delta | D)] \end{gather*}$ whereupon the second premise is satisfied. Both premises being true, the eight-point argument leads us to conclude that the probability that

θ

$\theta$ lies in the confidence interval

C_{D}

$C_D$ is

h

$h$ !

We therefore have an amusing irony:

The frequentist who assigns the $h$ confidence interval cannot say that $P(\theta \in C_D) = h$ , no matter how innocently uniform $\theta$ looks before incorporating the data.
The Bayesian who would not assign an $h$ confidence interval in that way knows anyhow that $P(\theta \in C_D | DI) = h$ .

Final Remarks

We have identified conditions (i.e. the two premises) under which the $h$ confidence region does indeed yield probability $h$ that $\theta \in C_D$ . A frequentist will baulk at the first premise, because it involves a prior on $\theta$ , and this sort of deal-breaker is inescapable on the route to a probability. But for a Bayesian, it is acceptable---nay, essential. These conditions are sufficient but not necessary, so there are many other circumstances under which the Bayesian $P(\theta \in C_D | DI)$ equals $h$ . Equally though, there are many circumstances in which $P(\theta \in C_D | DI) \ne h$ , especially when the prior information is significant.

We have applied a Bayesian analysis just as a consistent Bayesian would, given the information at hand, including statistics $D$ . But a Bayesian, if he possibly can, will apply his methods to the raw measurements instead---to the $\{x_i\}$ , rather than $\bar{x}$ . Oftentimes, collapsing the raw data into summary statistics $D$ destroys information in the data; and then the summary statistics are incapable of speaking as eloquently as the original data about the parameters $\theta$ .

— CarbonFlambe--Reinstate Monica
সূত্র

Would it be correct to say that a Bayesian is committed to take all the available information into account, while interpretation given in the question ignored D in some sense?

— qbolec

Is it a good mental picture to illustrate the situation: imagine a grayscale image, where intensity of pixel x,y is the joint ppb of real param being y and observed stat being x. In each row y, we mark pixels which have 95% mass of the row. For each observed stat x, we define CI(x) to be the set of rows which have marked pixels in column x. Now, if we choose x,y randomly then CI(x) will contain y iff x,y was marked, and mass of marked pixels is 95% for each y. So, frequentists say that keeping y fixed, chance is 95%, OP says, that not fixing y also gives 95%, and bayesians fix y and don't know

— qbolec

@qbolec It is correct to say that in the Bayesian method one cannot arbitrarily ignore some information while taking account of the rest. Frequentists say that for all

y

$y$ the expectation of

y \in C I (x)

$y \in \mathrm{CI}(x)$ (as a Boolean integer) under the sampling distribution

p r o b (x | y, I)

$\mathrm{prob}(x\, |\, y, I)$ is 0.95. The frequentist 0.95 is not a probability but an expectation.

— CarbonFlambe--Reinstate Monica

6

from a Bayesian probability perspective, why doesn't a 95% confidence interval contain the true parameter with 95% probability?

Two answers to this, the first being less helpful than the second

There are no confidence intervals in Bayesian statistics, so the question doesn't pertain.
In Bayesian statistics, there are however credible intervals, which play a similar role to confidence intervals. If you view priors and posteriors in Bayesian statistics as quantifying the reasonable belief that a parameter takes on certain values, then the answer to your question is yes, a 95% credible interval represents an interval within which a parameter is believed to lie with 95% probability.

If I have a process that I know produces a correct answer 95% of the time then the probability of the next answer being correct is 0.95 (given that I don't have any extra information regarding the process).

yes, the process guesses a right answer with 95% probability

Similarly if someone shows me a confidence interval that is created by a process that will contain the true parameter 95% of the time, should I not be right in saying that it contains the true parameter with 0.95 probability, given what I know?

Just the same as your process, the confidence interval guesses the correct answer with 95% probability. We're back in the world of classical statistics here: before you gather the data you can say there's a 95% probability of randomly gathered data determining the bounds of the confidence interval such that the mean is within the bounds.

With your process, after you've gotten your answer, you can't say based on whatever your guess was, that the true answer is the same as your guess with 95% probability. The guess is either right or wrong.

And just the same as your process, in the confidence interval case, after you've gotten the data and have an actual lower and upper bound, the mean is either within those bounds or it isn't, i.e. the chance of the mean being within those particular bounds is either 1 or 0. (Having skimmed the question you refer to it seems this is covered in much more detail there.)

How to interpret a confidence interval given to you if you subscribe to a Bayesian view of probability.

There are a couple of ways of looking at this

Technically, the confidence interval hasn't been produced using a prior and Bayes theorem, so if you had a prior belief about the parameter concerned, there would be no way you could interpret the confidence interval in the Bayesian framework.
Another widely used and respected interpretation of confidence intervals is that they provide a "plausible range" of values for the parameter (see, e.g., here). This de-emphasises the "repeated experiments" interpretation.

Moreover, under certain circumstances, notably when the prior is uninformative (doesn't tell you anything, e.g. flat), confidence intervals can produce exactly the same interval as a credible interval. In these circumstances, as a Bayesianist you could argue that had you taken the Bayesian route you would have gotten exactly the same results and you could interpret the confidence interval in the same way as a credible interval.

— TooTone
সূত্র

but for sure confidence intervals exist even if I subscribe to a bayesian view of probability, they just wont dissapear, right? :)The situation I was asking about was how to interpret a confidence interval given to you if you subscribe to a Bayesian view of probability.

— Rasmus Bååth

The problem is that confidence intervals aren't produced using a Bayesian methodology. You don't start with a prior. I'll edit the post to add something which might help.

— TooTone

2

I'll give you an extreme example where they are different.

Suppose I create my 95% confidence interval for a parameter $\theta$ as follows. Start by sampling the data. Then generate a random number between $0$ and $1$ . Call this number $u$ . If $u$ is less than $0.95$ then return the interval $(-\infty,\infty)$ . Otherwise return the "null" interval.

Now over continued repititions, 95% of the CIs will be "all numbers" and hence contain the true value. The other 5% contain no values, hence have zero coverage. Overall, this is a useless, but technically correct 95% CI.

The Bayesian credible interval will be either 100% or 0%. Not 95%.

— probabilityislogic
সূত্র

So is it correct to say that before seeing a confidence interval there is a 95% probability that it will contain the true parameter, but for any given confidence interval the probability that it covers the true parameter depends on the data (and our prior)? To be honest, what I'm really struggling with is how useless confidence intervals sounds (credible intervals I like on the other hand) and the fact that I never the less will have to teach them to our students next week... :/

— Rasmus Bååth

This question has some more examples, plus a very good paper comparing the two approaches

— probabilityislogic

1

"from a Bayesian probability perspective, why doesn't a 95% confidence interval contain the true parameter with 95% probability? "

In Bayesian Statistics the parameter is not a unknown value, it is a Distribution. There is no interval containing the "true value", for a Bayesian point of view it does not even make sense. The parameter it's a random variable, you can perfectly know the probability of that value to be between x_inf an x_max if you know the distribuition. It's just a diferent mindset about the parameters, usually Bayesians used the median or average value of the distribuition of the parameter as a "estimate". There is not a confidence interval in Bayesian Statistics, something similar is called credibility interval.

Now from a frequencist point of view, the parameter is a "Fixed Value", not a random variable, can you really obtain probability interval (a 95% one) ? Remember that it's a fixed value not a random variable with a known distribution. Thats why you past the text :"A confidence interval does not predict that the true value of the parameter has a particular probability of being in the confidence interval given the data actually obtained."

The idea of repeating the experience over and over... is not Bayesian reasoning it's a Frequencist one. Imagine a real live experiment that you can only do once in your life time, can you/should you built that confidence interval (from the classical point of view )?.

But... in real life the results could get pretty close ( Bayesian vs Frequencist), maybe thats why It could be confusing.

— blew
সূত্র