স্বাভাবিক এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য আনুমানিক অর্ডার পরিসংখ্যান

38

নির্দিষ্ট কিছু এলোমেলো বিতরণের অর্ডার পরিসংখ্যানের জন্য কি সুপরিচিত সূত্র রয়েছে? বিশেষত প্রথম এবং শেষ অর্ডারের একটি সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পরিসংখ্যান তবে আরও সাধারণ উত্তরটিও প্রশংসা করবে।

সম্পাদনা: স্পষ্ট করার জন্য, আমি আনুমানিক সূত্রগুলির সন্ধান করছি যা আরও-বা-কম স্পষ্টভাবে মূল্যায়ন করা যায়, সঠিক অখণ্ডতা প্রকাশ নয়।

উদাহরণস্বরূপ, আমি একটি সাধারণ আরভি'র প্রথম অর্ডার পরিসংখ্যানের জন্য (যেমন সর্বনিম্ন) নীচের দুটি অনুমানটি দেখেছি:

$e_{1:n} \geq \mu - \frac{n-1}{\sqrt{2n-1}}\sigma$

এবং

$e_{1:n} \approx \mu + \Phi^{-1} \left( \frac{1}{n+1} \right)\sigma$

এগুলোর মধ্যে প্রথম, জন্য $n=200$ , দেয় প্রায় $e_{1:200} \geq \mu - 10\sigma$ যা দুর্দান্তভাবে আলগা আবদ্ধ মত মনে হয়।

দ্বিতীয় দেয় $e_{1:200} \approx \mu - 2.58\sigma$ যেহেতু একটি দ্রুত মন্টে কার্লো দেয় $e_{1:200} \approx \mu - 2.75\sigma$ , তাই এটি একটি খারাপ পড়তা না কিন্তু না মহান পারেন, এবং আরো গুরুত্বপূর্ণ আমি কোন অনুভূতি নেই ওটা কোথা থেকে এসেছে.

কোন সাহায্য?

— ক্রিস টেলর
সূত্র

4

আপনি যদি আর ব্যবহার করেন তবে পয়েন্টস ফাংশনটি দেখুন।

— কার্ডিনাল

1

আপনার সম্ভাব্য তালিকাগুলির জন্য @ প্রোব্যাবিলিটিস্লোগিক কিছু ভাল অন্তর্দৃষ্টি দিয়েছে। আমি যদি বিকল্প দৃষ্টিকোণ থেকে আরও কিছু দিয়ে থাকি, বা আপনি কি এই বিষয়ে আপনার কৌতূহলকে সন্তুষ্ট করেছেন তবে কি আদৌ সহায়ক হবে?

— কার্ডিনাল

31

ক্লাসিক রেফারেন্স হ'ল রায়স্টন (1982) [1] যার সুস্পষ্ট সূত্রের বাইরে অ্যালগরিদম রয়েছে। এটি ব্লম (1958) দ্বারা একটি সুপরিচিত সূত্রটি উদ্ধৃত করেছে: সঙ্গে। এই সূত্রটিজন্য -2.73 এর গুণক দেয়। $E(r:n) \approx \mu + \Phi^{-1}(\frac{r-\alpha}{n-2\alpha+1})\sigma$ $\alpha=0.375$ $n=200, r=1$

[1]: অ্যালগরিদম এএস 177: প্রত্যাশিত সাধারণ আদেশের পরিসংখ্যান (সঠিক এবং আনুমানিক) জেপি রয়স্টন। রয়্যাল স্ট্যাটিস্টিকাল সোসাইটির জার্নাল। সিরিজ সি (প্রয়োগ পরিসংখ্যান) খণ্ড। 31, নং 2 (1982), পৃষ্ঠা 161-165

— Aniko
সূত্র

21

$\newcommand{\Pr}{\mathrm{Pr}}\newcommand{\Beta}{\mathrm{Beta}}\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}$ continuous কোনও ক্রমাগত র‌্যান্ডম এর আইথ অর্ডার পরিসংখ্যান বিতরণ পিডিএফ সহ ভেরিয়েবল "বিটা-এফ" যৌগিক বিতরণ দ্বারা দেওয়া হয়। এই বিতরণ সম্পর্কে ভাবার স্বজ্ঞাত উপায় হ'ল একটি নমুনায় বিথ অর্ডার পরিসংখ্যান বিবেচনা করা । এখন একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল এর ইথ অর্ডার পরিসংখ্যানের সমান হতে আমাদের 3 টি শর্ত প্রয়োজন:

N

$N$

X

$X$

x

$x$

$i-1$ মান নীচে , প্রতিটি পর্যবেক্ষণের জন্য এটির সম্ভাব্যতা , যেখানে এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স এর সিডিএফ is $x$ $F_{X}(x)$ $F_X(x)=\Pr(X<x)$
$N-i$ উপরে মান , এটির সম্ভাব্যতা $x$ $1-F_{X}(x)$
একটি অন্তর অন্তর অন্তর 1 মান , এর সম্ভাব্যতা যেখানে হয় র্যান্ডম ভেরিয়েবল এর পিডিএফ $x$ $f_{X}(x)dx$ $f_{X}(x)dx=dF_{X}(x)=\Pr(x<X<x+dx)$ $X$

এই পছন্দটি করার জন্য এখানে , সুতরাং আমাদের কাছে রয়েছে: ${N \choose 1}{N-1 \choose i-1}$

f_{i} (x_{i}) = \frac{N!}{(i - 1)! (N - i)!} f_{X} (x_{i}) {[1 - F_{X} (x_{i})]}^{N - i} {[F_{X} (x_{i})]}^{i - 1} d x

$f_{i}(x_{i})=\frac{N!}{(i-1)!(N-i)!}f_{X}(x_{i})\left[1-F_{X}(x_{i})\right]^{N-i}\left[F_{X}(x_{i})\right]^{i-1}dx$

সম্পাদনা আমার মূল পোস্টে, আমি এই বিন্দু থেকে যাচ্ছে আরো একটি অত্যন্ত দরিদ্র চেষ্টা করেন, এবং নীচে মন্তব্য এই প্রতিফলিত করে। আমি নীচে এটি সংশোধন করার চেষ্টা করেছি

আমরা যদি এই পিডিএফটির গড় মূল্য গ্রহণ করি তবে আমরা পাই:

E (X_{i}) = \int_{- \infty}^{\infty} x_{i} f_{i} (x_{i}) d x_{i}

$E(X_{i})=\int_{-\infty}^{\infty} x_{i}f_{i}(x_{i})dx_{i}$

এবং এই অবিচ্ছেদে, আমরা নিম্নলিখিত পরিবর্তনশীল (@ ইঙ্গিত গ্রহণ) এর পরিবর্তন করব এবং অবিচ্ছেদ্য হয়ে যায়: $p_{i}=F_{X}(x_{i})$

E (X_{i}) = \int_{0}^{1} F_{X}^{- 1} (p_{i}) B e t a (p_{i} | i, N - i + 1) d p_{i} = E_{B e t a (p_{i} | i, N - i + 1)} [F_{X}^{- 1} (p_{i})]

$E(X_{i})=\int_{0}^{1} F_{X}^{-1}(p_{i})\Beta(p_{i}|i,N-i+1)dp_{i}=E_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\left[F_{X}^{-1}(p_{i})\right]$

সুতরাং এটি বিপরীতমুখী সিডিএফের প্রত্যাশিত মান, যা ডেল্টা পদ্ধতিটি দেওয়ার জন্য ভালভাবে অনুমান করা যায়:

E_{B e t a (p_{i} | i, N - i + 1)} [F_{X}^{- 1} (p_{i})] \approx F_{X}^{- 1} [E_{B e t a (p_{i} | i, N - i + 1)}] = F_{X}^{- 1} [\frac{i}{N + 1}]

$E_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\left[F_{X}^{-1}(p_{i})\right]\approx F_{X}^{-1}\left[E_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\right]=F_{X}^{-1}\left[\frac{i}{N+1}\right]$

আরও ভাল অনুমান করার জন্য, আমরা ২ য় অর্ডারে প্রাইম প্রসারিত করতে পারি (প্রাইম ডোনটিং পৃথককরণ) এবং লক্ষ্য করে যে একটি বিপরীতের দ্বিতীয় ব্যয়টি হ'ল:

\frac{\partial^{2}}{\partial a^{2}} F_{X}^{- 1} (a) = - \frac{F_{X}^{^{″}} (F_{X}^{- 1} (a))}{{[F_{X}^{^{'}} (F_{X}^{- 1} (a))]}^{3}} = - \frac{f_{X}^{^{'}} (F_{X}^{- 1} (a))}{{[f_{X} (F_{X}^{- 1} (a))]}^{3}}

$\frac{\partial^{2}}{\partial a^{2}}F_{X}^{-1}(a)=-\frac{F_{X}^{''}(F_{X}^{-1}(a))}{\left[F_{X}^{'}(F_{X}^{-1}(a))\right]^{3}}=-\frac{f_{X}^{'}(F_{X}^{-1}(a))}{\left[f_{X}(F_{X}^{-1}(a))\right]^{3}}$

Let । তারপর আমাদের আছে: $\nu_{i}=F_{X}^{-1}\left[\frac{i}{N+1}\right]$

E_{B e t a (p_{i} | i, N - i + 1)} [F_{X}^{- 1} (p_{i})] \approx F_{X}^{- 1} [ν_{i}] - \frac{{V a r}_{B e t a (p_{i} | i, N - i + 1)} [p_{i}]}{2} \frac{f_{X}^{^{'}} (ν_{i})}{{[f_{X} (ν_{i})]}^{3}}

$E_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\left[F_{X}^{-1}(p_{i})\right]\approx F_{X}^{-1}\left[\nu_{i}\right]-\frac{\Var_{\Beta(p_{i}|i,N-i+1)}\left[p_{i}\right]}{2}\frac{f_{X}^{'}(\nu_{i})}{\left[f_{X}(\nu_{i})\right]^{3}}$

= ν_{i} - \frac{(\frac{i}{N + 1}) (1 - \frac{i}{N + 1})}{2 (N + 2)} \frac{f_{X}^{^{'}} (ν_{i})}{{[f_{X} (ν_{i})]}^{3}}

$=\nu_{i}-\frac{\left(\frac{i}{N+1}\right)\left(1-\frac{i}{N+1}\right)}{2(N+2)}\frac{f_{X}^{'}(\nu_{i})}{\left[f_{X}(\nu_{i})\right]^{3}}$

এখন, সাধারণ ক্ষেত্রে বিশেষীকরণ করে আমাদের কাছে

f_{X} (x) = \frac{1}{σ} ϕ (\frac{x - μ}{σ}) \to f_{X}^{^{'}} (x) = - \frac{x - μ}{σ^{3}} ϕ (\frac{x - μ}{σ}) = - \frac{x - μ}{σ^{2}} f_{X} (x)

$f_{X}(x)=\frac{1}{\sigma}\phi(\frac{x-\mu}{\sigma})\rightarrow f_{X}^{'}(x)=-\frac{x-\mu}{\sigma^{3}}\phi(\frac{x-\mu}{\sigma})=-\frac{x-\mu}{\sigma^{2}}f_{X}(x)$

F_{X} (x) = Φ (\frac{x - μ}{σ}) ⟹ F_{X}^{- 1} (x) = μ + σ Φ^{- 1} (x)

$F_{X}(x)=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})\implies F_{X}^{-1}(x)=\mu+\sigma\Phi^{-1}(x)$

দ্রষ্টব্য যে এবং প্রত্যাশা প্রায় হয়ে যায়: $f_{X}(\nu_{i})=\frac{1}{\sigma}\phi\left[\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)\right]$

E [x_{i}] \approx μ + σ Φ^{- 1} (\frac{i}{N + 1}) + \frac{(\frac{i}{N + 1}) (1 - \frac{i}{N + 1})}{2 (N + 2)} \frac{σ Φ^{- 1} (\frac{i}{N + 1})}{{[ϕ [Φ^{- 1} (\frac{i}{N + 1})]]}^{2}}

$E[x_{i}]\approx \mu+\sigma\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)+\frac{\left(\frac{i}{N+1}\right)\left(1-\frac{i}{N+1}\right)}{2(N+2)}\frac{\sigma\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)}{\left[\phi\left[\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)\right]\right]^{2}}$

এবং পরিশেষে:

E [x_{i}] \approx μ + σ Φ^{- 1} (\frac{i}{N + 1}) [1 + \frac{(\frac{i}{N + 1}) (1 - \frac{i}{N + 1})}{2 (N + 2) {[ϕ [Φ^{- 1} (\frac{i}{N + 1})]]}^{2}}]

$E[x_{i}]\approx \mu+\sigma\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)\left[1+\frac{\left(\frac{i}{N+1}\right)\left(1-\frac{i}{N+1}\right)}{2(N+2)\left[\phi\left[\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)\right]\right]^{2}}\right]$

যদিও @ হুবার উল্লেখ করেছেন, এটি লেজগুলিতে সঠিক হবে না। আসলে আমি মনে করি এটি আরও খারাপ হতে পারে, কারণ বিভিন্ন পরামিতিগুলির সাথে একটি বিটার স্কিউনেস

— probabilityislogic
সূত্র

1

"একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমানক "? এটি কী তা নিশ্চিত নয় তবে আমি মনে করি আপনি (প্রায়) মোডটি গণনা করেছেন ।

— কার্ডিনাল

1

হঠাৎ সতর্কতা বা সংজ্ঞা ছাড়াই এবং হাজির হওয়ার পথে প্রায় দুই-তৃতীয়াংশ রহস্যজনক কিছু ঘটে ।

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— whuber

2

আমি "গাদা" করা বলতে চাইছি না, তবে বন্ধনীর পরিমাণ কীভাবে aণাত্মক সংখ্যার দ্বারা প্রায় অনুমান করা যায় তা আমার পক্ষেও শক্ত।

— কার্ডিনাল

1

@ প্রব্যাবিলিসিলোগিক, ক্যালকুলাসের স্তরে থাকাকালীন, আপনি বলতে পারেন যে এই ক্ষেত্রে আমরা একটি দ্বিচারিত ফাংশন বিবেচনা করছি এবং কেবল অন্যটির পরিবর্তে একটি পরিবর্তনশীলকে সর্বোচ্চ করে তুলছি, আমি মনে করি গাণিতিক, পরিসংখ্যানগত এবং পাঠ্যক্রমিক কারণগুলির জন্য আপনাকে কল না করার কারণ রয়েছে 'সর্বাধিক সম্ভাবনার প্রাক্কলন' সম্পন্ন হয়েছে। তারা এই স্থানটিতে গণনা করার জন্য অনেক বেশি, তবে একটি সহজ যেটি আমি মনে করি যে যথেষ্ট পরিমাণে বাধ্যযোগ্য তা হ'ল আমরা কোনও কারণে কোনও কারণে পরিসংখ্যানগুলিতে একটি নির্দিষ্ট, আরকেন শব্দভাণ্ডার ব্যবহার করি। একক সমস্যার জন্য কৌতূহলে পরিবর্তন করা ভুল বোঝাবুঝির কারণ হতে পারে ... / ...

— কার্ডিনাল

2

সংশোধিত উত্তরের জন্য @probabilityislogic (+1)। এক পরামর্শ, হয়তো বেশী ভালো মানে "বোঝা"। আপনি কিছু কনভার্জেন্স দাবি করছেন না তা বুঝতে কয়েক সেকেন্ডের জন্য কয়েকটি লাইনে ঘুরে দেখেছিল।

\Rightarrow

$\Rightarrow$

\to

$\to$

— কার্ডিনাল

13

অনিকোর উত্তর ব্লমের সুপরিচিত সূত্রে নির্ভর করে যা একটি পছন্দ জড়িত । দেখা যাচ্ছে যে এই সূত্রটি নিজেই জি। এলফভিং (১৯৪,) এর কারণে একটি সঠিক উত্তরের নিছক অনুমান, সাধারণ জনসংখ্যার বায়োমেট্রিকা, খণ্ডের নমুনায় পরিসীমাটির বিস্ময়কর বন্টন । 34, পৃষ্ঠা 111-119। এল্ফিংয়ের সূত্রটি ন্যূনতম এবং সর্বাধিক স্যাম্পলকে লক্ষ্য করে, যার জন্য আলফার সঠিক পছন্দটি । Blom এর সূত্র ফলাফল যখন আমরা আনুমানিক দ্বারা । $\alpha = 3/8$ $\pi/8$ $\pi$ $3$

ব্লমের সান্নিধ্যের চেয়ে এলিভিং সূত্রটি ব্যবহার করে আমরা -2.744165 এর গুণক পাই। এই সংখ্যাটি এরিক পি এর সঠিক উত্তরের (-২.7466) এবং মন্টে কার্লো অনুমানের (-২.75)) এর নিকটতর, ব্লুমের কাছাকাছি (-২.73)) তুলনায়, সঠিক সূত্রের তুলনায় কার্যকর করা সহজ।

— হাল এম। সুইচকে
সূত্র

এল্ফিংয়ের মাধ্যমে কীভাবে আগমন হয় সে সম্পর্কে আপনি আরও কিছু বিশদ সরবরাহ করতে পারেন ? এটি নিবন্ধে স্পষ্ট নয়।

α = π / 8

$\alpha=\pi/8$

— অ্যান্টনি

1

অ্যান্টনি - আমি গণিত সংক্রান্ত পরিসংখ্যানের পাঠ্যপুস্তকের উপর নির্ভর করছি, স্যামুয়েল উইলকস, পাব দ্বারা। উইলে (1962)। পি তে 8.21 অনুশীলন করুন। 249 বলেছে: "যদি x_ (1), x_ (n) হল ক্রমাগত সিডিএফ এফ (এক্স) থেকে আকার n এর নমুনার বৃহত্তম এবং বৃহত্তম অর্ডার পরিসংখ্যান ... র্যান্ডম ভেরিয়েবল 2n * স্কয়ার্ট {[এফ (এক্স_ ( 1))] [1-এফ (x_ (n))]} এর পি / 2 এবং গড় 4- (পাই ^ 2) / 4 এর সাথে এন -> অনন্ত হিসাবে সীমাবদ্ধতা রয়েছে "" (দুঃখিত, আমি মার্কআপ কোড জানি না!) প্রতিসাম্য বিতরণের জন্য, এফ (এক্স_ (1)) = 1-এফ (এক্স_ (এন))। সুতরাং এফ (x_ (n)) পাই / (4 এন), বা x_ (n) প্রায় F ^ (- 1) (পাই / (4 এন)) এর মধ্যে। ব্লম সূত্রটি 3 / (4 এন) এর অনুমান ব্যবহার করে।

— হাল এম এম সুইটকে

এটি আমাকে ইন্ডিয়ানা রাজ্য আইনসভায় দায়ী কুখ্যাত " " বিলের কথা মনে করিয়ে দেয় । (যদিও উইকিপিডিয়া নিবন্ধটি সুপারিশ করেছে যে গল্পটির জনপ্রিয় সংস্করণটি সঠিক নয়))

π = 3

$\pi=3$

— স্টিভো'আমেরিকা

7

আপনি যা করতে চান তার উপর নির্ভর করে এই উত্তরটি সাহায্য করতে পারে বা নাও পারে - আমি ম্যাপেলের পরিসংখ্যান প্যাকেজ থেকে নিম্নলিখিত সঠিক সূত্রটি পেয়েছি ।

with(Statistics):
X := OrderStatistic(Normal(0, 1), 1, n):
m := Mean(X):
m;

\int_{- \infty}^{\infty} 1 / 2 \frac{_t 0 n! \sqrt{2} e^{- 1 / 2 {_t 0}^{2}} {(1 / 2 - 1 / 2 e r f (1 / 2_t 0 \sqrt{2}))}^{- 1 + n}}{(- 1 + n)! \sqrt{π}} d_t 0

$\int _{-\infty }^{\infty }\!1/2\,{\frac {{\it \_t0}\,n!\,\sqrt {2}{ {\rm e}^{-1/2\,{{\it \_t0}}^{2}}} \left( 1/2-1/2\, {{\rm erf}\left(1/2\,{\it \_t0}\,\sqrt {2}\right)} \right) ^{-1+n}}{ \left( -1+n \right) !\,\sqrt {\pi }}}{d{\it \_t0}}$

নিজে থেকে এটি খুব কার্যকর নয় (এবং এটি সম্ভবত হাতে থেকে সহজেই উত্পন্ন করা যেতে পারে, যেহেতু এটি সর্বনিম্ন এলোমেলো ভেরিয়েবল), তবে এটি প্রদত্ত মানগুলির জন্য দ্রুত এবং খুব নির্ভুল সান্নিধ্যের অনুমতি দেয় - এর চেয়ে অনেক বেশি নির্ভুল মন্টে কার্লো: $n$ $n$

evalf(eval(m, n = 200));
evalf[25](eval(m, n = 200));

যথাক্রমে -2.746042447 এবং -2.746042447451154492412344 দেয়।

(সম্পূর্ণ প্রকাশ - আমি এই প্যাকেজটি বজায় রাখি))

— এরিক পি।
সূত্র

1

@ প্রব্যাবিলিটিআইসলোগিক তার জবাবের প্রথমার্ধে সমস্ত অর্ডার পরিসংখ্যানের জন্য এই অবিচ্ছেদ্য উদ্ভূত হয়েছে।

— হুবুহু