বিতরণে রূপান্তর \ সিএলটি

যে , শর্তসাপেক্ষে ডিএসআর। এর হয় । এর প্রান্তিক ডিস্ট্র আছে। পোইসনের ( ), একটি ধনাত্মক ধ্রুবক। $N = n$ $Y$ $\chi ^2(2n)$ $N$ $\theta$ $\theta$

যে দেখান, যেমন , বিতরণে। $\theta \rightarrow \infty$ $\space \space (Y - E(Y))/ \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \rightarrow N(0,1)$

এটি সমাধানের জন্য যে কেউ পরামর্শ দিতে পারে। দেখে মনে হচ্ছে আমাদের সিএলটি (কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য) ব্যবহার করা দরকার তবে নিজস্ব কোনও তথ্য পাওয়া শক্ত মনে হচ্ছে looks এমন কোনও আরভি রয়েছে যা জেনারেট করার জন্য একটি নমুনা গ্রহণ করার জন্য চালু করা যেতে পারে ? $Y$ $Y$

এটি হোমওয়ার্ক তাই ইঙ্গিতগুলি প্রশংসিত।

— user42102
সূত্র

আমার কাছেও ক্লিট জিনিস বলে মনে হচ্ছে। হতে পারে এটি আপনার কাছে ইতিমধ্যে সুস্পষ্ট, তবে থিতা-> অনন্তরূপে এন এর সাথে কী ঘটে?

— পিটারআর

আমি এন বিতরণ দিকে তাকানো উচিত? আমি যদি এটির সাথে ঘুরে দেখি তবে মনে হয় এটি পিডিএফ সর্বদা 0 থাকবে I আমি এটি থেকে কী অনুমান করতে পারি?

— ব্যবহারকারী 42102

পিসন (থেটা) এলোমেলো পরিবর্তনশীলটির অর্থ কী?

— পিটারআর

আমি এই প্রশ্নের মধ্যে এন এবং সিএলটি সংজ্ঞা মধ্যে নমুনা আকার এন মিশ্রিত। সুতরাং । সুতরাং আমরা দেখতে পাই যে এন এর প্রত্যাশিত মানটি অনন্তের কাছে চলে আসে। যদিও এখান থেকে যাব আমি নিশ্চিত নই।

E (N) = θ

$E(N) = \theta$

— ব্যবহারকারী 42102

আপনার অ-কেন্দ্রীয় চি স্কোয়ার্ড বিতরণ সন্ধান করা উচিত। সীমাবদ্ধতা প্রমাণ করা স্বাভাবিক, যদিও আমি ভয় করি সিএলটি-র একটি সাধারণ প্রয়োগের চেয়ে আরও জটিল হতে চলেছে।

— ক্যাবুরকে

উত্তর:

আমি বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনগুলির বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে একটি সমাধান সরবরাহ করি, যা নিম্নলিখিত defined হিসাবে সংজ্ঞায়িত আমরা জানি যে বিতরণটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন দ্বারা স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, তাই আমি প্রমাণ করব যে এবং এটি থেকে কাঙ্ক্ষিত রূপান্তর ।

ψ_{X} (t) = E \exp (i t X) .

$\psi_X(t)=E\exp{(itX)}.$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} \to ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty,

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}\rightarrow \psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty,$

তার জন্য আমার গড় এবং বৈচিত্র্য গণনা করতে হবে , যার জন্য আমি সম্পূর্ণ প্রত্যাশা / বৈচিত্রের আইন ব্যবহার করি - http://en.wikedia.org/wiki/Law_of_total_expectation । আমি ব্যবহার করেছি যে বিতরণের গড় এবং এবং গড় এবং ভ্যারিয়েন্স হয় এবং । চরিত্রগত ফাংশন সহ এখন ক্যালকুলাস আসে। প্রথমে আমি সংজ্ঞা পুনর্লিখন যেমন $Y$

E Y = E {E (Y | N)} = E {2 N} = 2 θ

$EY=E\{E(Y|N)\}=E\{2N\}=2\theta$

V a r (Y) = E {V a r (Y | N)} + V a r {E (Y | N)} = E {4 N} + V a r (2 N) = 4 θ + 4 V a r (N) = 8 θ

$Var(Y)=E\{Var(Y|N)\}+Var\{E(Y|N)\}=E\{4N\}+Var(2N)=4\theta+4Var(N)=8\theta$

E N = V a r (N) = θ

$EN=Var(N)=\theta$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

E (Y | N = n) = 2 n

$E(Y|N=n)=2n$

V a r (Y | N = n) = 4 n

$Var(Y|N=n)=4n$

Y

$Y$

Y = \sum_{n = 1}^{\infty} Z_{2 n} I_{[N = n]}, where Z_{2 n} \sim χ_{2 n}^{2}

$Y=\sum_{n=1}^{\infty}Z_{2n}I_{[N=n]}, \text{ where } Z_{2n}\sim \chi^2_{2n}$ এখন আমি উপপাদ্যটি ব্যবহার করি যা এর বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনটি বলে হ'ল , যা এখান থেকে নেওয়া হয়েছে: http://en.wikedia.org/wiki/Characteristic_function_ )

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n)

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

ψ_{Z_{2 n} (t)} = (1 - 2 i t)^{- n}

$\psi_{Z_{2n}(t)}=(1-2it)^{-n}$

সুতরাং এখন আমরা জন্য টেলর প্রসারণ ব্যবহার করে জন্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন গণনা শেষে আমরা বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করি আমি ক্যালকুলাসের উপরে ঝাঁপিয়ে পড়েছি কারণ এখনই এটি দীর্ঘ নয় ... $Y$ $\exp(x)$

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n) = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 - 2 i t)^{- n} \frac{θ^{n}}{n!} \exp (- θ) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{θ}{(1 - 2 i t)})}^{n} \frac{1}{n!} \exp (- θ) = \exp (\frac{θ}{1 - 2 i t}) \exp (- θ) = \exp (\frac{2 i t θ}{1 - 2 i t})

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)=\sum_{n=1}^{\infty}(1-2it)^{-n}\frac{\theta^n}{n!}\exp{(-\theta)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\theta}{(1-2it)}\right)^n\frac{1}{n!}\exp{(-\theta)}=\exp(\frac{\theta}{1-2it})\exp(-\theta)=\exp(\frac{2it\theta}{1-2it})$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} (t) = \exp (- i \frac{E Y}{\sqrt{V a r Y}}) ψ_{Y} (t / \sqrt{V a r Y}) = \exp (- \frac{t^{2}}{2}) \exp (- 1 + 2 i \frac{t}{\sqrt{8 θ}}) \to \exp (- \frac{t^{2}}{2}) = ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}(t)=\exp(-i\frac{EY}{\sqrt{VarY}})\psi_Y(t/\sqrt{VarY})= \\\exp(-\frac{t^2}{2})\exp{(-1+2i\frac{t}{\sqrt{8\theta}})}\rightarrow \exp(-\frac{t^2}{2})=\psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty$

— Fimba
সূত্র

এটি কেন্দ্রহীন chisquared বিতরণ সম্পর্কের মাধ্যমে প্রদর্শিত হতে পারে। একটি ভাল উইকিপিডিয়া নিবন্ধ আছে যা আমি নিঃসন্দেহে রেফারেন্স করব! https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution

আপনি দিয়েছেন যে ডিগ্রির সাথে চিরস্কয়ার বিতরণ করা হয়েছে , ty । এখানে এর প্রত্যাশা নিয়ে পোয়েসন বিতরণ রয়েছে । $Y|N=n$ $2 n$ $n=0,1,\dots, \infty$ $N$ $\theta$

তারপরে আমাদের কাছে রয়েছে এর ঘনত্বের ফাংশন (নিঃশর্তভাবে) সম্পূর্ণ সম্ভাবনার আইনটি ব্যবহার করে লেখা যেতে পারে স্বাধীনতা প্যারামিটারের ডিগ্রি বাদে যা প্রায় একটি কেন্দ্রীয়-অবিচ্ছিন্ন ভেরিয়েবলের ঘনত্ব , যা সত্যই অপরিজ্ঞাত। (এটি উইকিপিডিয়া নিবন্ধের সংজ্ঞা বিভাগে দেওয়া হয়েছে)। $Y$

f_{Y} (y; 0, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i}} (y)

$f_Y(y; 0, \theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i}}(y)$

k = 0

$k=0$

সুতরাং কিছু ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করার জন্য, আমরা উপরের সূত্রটি with দিয়ে প্রতিস্থাপন করব যা হয় সাথে একটি noncentral chisquared পরিবর্তনশীল ঘনত্ব অ কেন্দ্রীয়তা প্যারামিটার স্বাধীনতা এবং ডিগ্রী । সুতরাং, আমাদের বিশ্লেষণে, অবশ্যই সীমাটি নেওয়ার পরে সীমাটি গ্রহণ করতে হবে । এটি সমস্যাবিহীন, কারণ the এর সীমাতে এর সম্ভাব্যতা

f_{Y} (y; k, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i + k}} (y)

$f_Y(y; k,\theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i+k}}(y)$

k

$k$

2 θ

$2\theta$

k \to 0

$k \rightarrow 0$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

N = 0

$N=0$ শূন্যে চলে যায়, সুতরাং শূন্যের বিন্দু ভর অদৃশ্য হয়ে যায় (মুক্তির শূন্য ডিগ্রি সহ চিস্কোয়ার্ড ভেরিয়েবলটি শূন্যের পয়েন্টমাস হিসাবে ব্যাখ্যা করতে হবে, সুতরাং, কোনও ঘনত্বের ক্রিয়া নেই)।

এখন, প্রতিটি স্থির জন্য ফলাফল উইকিতে ব্যবহার করুন, বিভাগ সম্পর্কিত বিতরণ, সাধারণ আনুমানিকতা যা প্রতিটি -এর জন্য প্রয়োজনীয় সাধারণ সীমাবদ্ধতা দেয় । তারপরে, শূন্যে যাবে তখন সীমাটি নিন , যা ফলাফল দেয়। $k$ $k$ $k$

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন en
সূত্র