কীভাবে স্থির প্রভাবের মডেলটিতে সময় আক্রমণকারী ভেরিয়েবল রাখবেন

দশ বছরেরও বেশি সময় ধরে একটি বড় ইতালীয় ফার্মের কর্মচারীর কাছে আমার কাছে ডেটা রয়েছে এবং আমি দেখতে চাই যে সময়ের সাথে সাথে পুরুষ-মহিলা আয়ের ক্ষেত্রে লিঙ্গ ব্যবধান কীভাবে পরিবর্তিত হয়েছে। এই উদ্দেশ্যে আমি পুল করা ওএলএস চালাই:

y_{i t} = X_{i t}^{'} β + δ {m a l e}_{i} + \sum_{t = 1}^{10} γ_{t} d_{t} + ε_{i t}

$y_{it} = X'_{it}\beta + \delta {\rm male}_i + \sum^{10}_{t=1}\gamma_t d_t + \varepsilon_{it}$ যেখানে

y

$y$ প্রতি বছর লগ ইনকাম হয়,

X_{i t}

$X_{it}$ অন্তর্ভুক্ত covariates যে পৃথক এবং সময় দ্বারা পৃথক,

d_{t}

$d_t$ কোনও বছর বয়সী ডমি এবং

{m a l e}_{i}

${\rm male}_i$ সমান হয় যদি কোনও শ্রমিক পুরুষ হয় এবং অন্যথায় শূন্য হয়।

এখন আমার একটি উদ্বেগ রয়েছে যে কিছু সংখ্যক কোভারিয়েট সম্ভবত অপ্রকাশিত স্থির প্রভাবগুলির সাথে সম্পর্কিত হতে পারে। তবে আমি যখন ফিক্সড এফেক্টস (এর মধ্যে) অনুমানকারী বা প্রথম পার্থক্যগুলি ব্যবহার করি তখন আমি লিঙ্গ ডামি হারাব কারণ এই পরিবর্তনশীল সময়ের সাথে পরিবর্তন হয় না। আমি র্যান্ডম এফেক্টস অনুমানকারীটি ব্যবহার করতে চাই না কারণ আমি প্রায়শই লোকদের বলতে শুনেছি যে এটি অনুমানগুলি রাখে যা খুব অবাস্তব এবং এটির সম্ভাবনা নেই।

লিঙ্গ ডামি এবং একই সময়ে স্থির প্রভাব নিয়ন্ত্রণের জন্য কি কোনও উপায় আছে? যদি কোনও উপায় থাকে তবে আমার কি লিঙ্গ পরিবর্তনশীল সম্পর্কিত হাইপোথিসিস টেস্টগুলির ত্রুটিগুলি সহ অন্যান্য সমস্যার জন্য ক্লাস্টার বা যত্ন নেওয়া দরকার?

— user42263
সূত্র

উত্তর:

আপনার জন্য লিঙ্গ ডামিকে একটি নির্দিষ্ট প্রভাবের রিগ্রেশনে রাখার কয়েকটি সম্ভাব্য উপায় রয়েছে।

অনুমানকারীর মধ্যে
ধরা যাক আপনার পোল করা ওএলএস মডেলের তুলনায় আপনার একই রকম মডেল রয়েছে যা

y_{i t} = β_{1} + \sum_{t = 2}^{10} β_{t} d_{t} + γ_{1} (m a l e_{i}) + \sum_{t = 1}^{10} γ_{t} (d_{t} \cdot m a l e_{i}) + X_{i t}^{'} θ + c_{i} + ϵ_{i t}

$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma_1 (male_i) + \sum^{10}_{t=1} \gamma_t (d_t \cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$ যেখানে ভেরিয়েবলগুলি আগের মতো রয়েছে। এখন লক্ষ করুন যে,

এবং

চিহ্নিত করা যাবে না কারন মূল্নির্ধারক মধ্যে সেগুলির সংশোধন প্রভাব থেকে পার্থক্য করতে পারে না

। ধরে নেওয়া হচ্ছে যে

বেস বছরের জন্য পথিমধ্যে হয়

এই সময়ের মধ্যে আয়ের উপর লিঙ্গ প্রভাব। আমরা কি এই ক্ষেত্রে চিহ্নিত করতে পারে

β_{1}

$\beta_1$

β_{1} + γ_{1} (m a l e_{i})

$\beta_1 + \gamma_1 (male_i)$

c_{i}

$c_i$

β_{1}

$\beta_1$

t = 1

$t=1$

γ_{1}

$\gamma_1$

কারণ তারা আপনার সময়ের ডামিগুলির সাথে যোগাযোগ করে এবং তারা আপনার লিঙ্গ পরিবর্তনের আংশিক প্রভাবগুলির পার্থক্য প্রথম বারের তুলনায় পরিমাপ করে। এর অর্থ যদি আপনি আপনার

বৃদ্ধি পান

γ_{2}, . . ., γ_{10}

$\gamma_2, ..., \gamma_{10}$

γ_{2}, . . ., γ_{10}

$\gamma_2,...,\gamma_{10}$ সময়ের সাথে সাথে এটি পুরুষ এবং মহিলাদের মধ্যে আয়ের ব্যবধান আরও প্রশস্ত করার ইঙ্গিত দেয়।

প্রথম পার্থক্য অনুমানকারী
যদি আপনি সময়ের সাথে সাথে পুরুষ এবং মহিলাদের মধ্যে পার্থক্যের সামগ্রিক প্রভাব জানতে চান, আপনি নীচের মডেলটি চেষ্টা করতে পারেন: যেখানে চলক

y_{i t} = β_{1} + \sum_{t = 2}^{10} β_{t} d_{t} + γ (t \cdot m a l e_{i}) + X_{i t}^{'} θ + c_{i} + ϵ_{i t}

$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma (t\cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$

t = 1, 2, . . ., 10

$t = 1, 2,...,10$ সময়-আক্রমণকারী লিঙ্গ ডামির সাথে কথোপকথন করা হয়। এখন আপনি যদি প্রথম পার্থক্য গ্রহণ করেন

এবং

বাদ পড়ে এবং আপনি

β_{1}

$\beta_1$

c_{i}

$c_i$

তারপরে

y_{i t} - y_{i (t - 1)} = \sum_{t = 3}^{10} β_{t} (d_{t} - d_{(t - 1)}) + γ (t \cdot m a l e_{i} - [(t - 1) m a l e_{i}]) + (X_{i t}^{'} - X_{i (t - 1)}^{'}) θ + ϵ_{i t} - ϵ_{i (t - 1)}

$y_{it} - y_{i(t-1)} = \sum^{10}_{t=3} \beta_t (d_t - d_{(t-1)}) + \gamma (t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) + (X'_{it}-X'_{i(t-1)})\theta + \epsilon_{it}-\epsilon_{i(t-1)}$

এবং আপনার লিঙ্গ পার্থক্য চিহ্নিত করতে পারেন আয়

। তাই চূড়ান্ত রিগ্রেশন সমীকরণ হবে:

γ (t \cdot m a l e_{i} - [(t - 1) m a l e_{i}]) = γ [(t - (t - 1)) \cdot m a l e_{i}] = γ (m a l e_{i})

$\gamma(t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) = \gamma[(t - (t-1))\cdot male_i] = \gamma (male_i)$

γ

$\gamma$

এবং আপনি আপনার আগ্রহের প্রভাব পান। সুন্দর জিনিস হ'ল এটি সহজেই কোনও পরিসংখ্যান সংক্রান্ত সফ্টওয়্যারে প্রয়োগ করা হয় তবে আপনি একটি সময়কাল হারাবেন।

Δ y_{i t} = \sum_{t = 3}^{10} β_{t} Δ d_{t} + γ (m a l e_{i}) + Δ X_{i t}^{'} θ + Δ ϵ_{i t}

$\Delta y_{it} = \sum_{t=3}^{10}\beta_t \Delta d_t + \gamma(male_i) + \Delta X'_{it}\theta + \Delta \epsilon_{it}$

$c_i$ $1$ $c_i$ $2$

{\tilde{y}}_{i t} = {\tilde{X}}_{1 i t}^{'} + {\tilde{X}}_{2 i t}^{'} + γ ({\tilde{m a l e}}_{i 2}) + {\tilde{c}}_{i} + {\tilde{ϵ}}_{i t}

$\tilde{y}_{it} = \tilde{X}'_{1it} + \tilde{X}'_{2it} + \gamma (\widetilde{male}_{i2}) + \tilde{c}_i + \tilde{\epsilon}_{it}$

{\tilde{X}}_{1 i t} = X_{1 i t} - {\hat{θ}}_{i} {\bar{X}}_{1 i}

$\tilde{X}_{1it} = X_{1it} - \hat{\theta}_i \overline{X}_{1i}$ where

{\hat{θ}}_{i}

$\hat{\theta}_i$ is used for the random effects transformation and

{\bar{X}}_{1 i}

$\overline{X}_{1i}$ is the time-average over each individual. This isn't like the usual random effects estimator that you wanted to avoid because group

2

$2$ variables are instrumented for in order to remove the correlation with

c_{i}

$c_i$ . For

{\tilde{X}}_{2 i t}

$\tilde{X}_{2it}$ the instrument is

X_{2 i t} - {\bar{X}}_{2 i}

$X_{2it} - \overline{X}_{2i}$ . The same is done for the time-invariant variables, so if you specify the gender variable to be potentially correlated with the fixed effect it gets instrumented with

{\bar{X}}_{1 i}

$\overline{X}_{1i}$ , so you must have more time-varying than time-invariant variables.

All of this might sound a little complicated but there are canned packages for this estimator. For instance, in Stata the corresponding command is xthtaylor. For further information on this method you could read Cameron and Trivedi (2009) "Microeconometrics Using Stata". Otherwise you can just stick with the two previous methods which are a bit easier.

Inference
For your hypothesis tests there is not much that needs to be considered other than what you would need to do anyway in a fixed effects regression. You need to take care for the autocorrelation in the errors, for example by clustering on the individual ID variable. This allows for an arbitrary correlation structure among clusters (individuals) which deals with autocorrelation. For a reference see again Cameron and Trivedi (2009).

— Andy
সূত্র

Another potential way for you to keep the gender dummy is the the Mundlak's (1978) approach for a fixed effect model with time invariant variables. The Mundlak's approach would posit that the gender effect can be projected upon the group means of the time-varying variables.

Mundlak, Y. 1978: On the pooling of time series and cross section data. Econometrica 46:69-85.

— emeryville
সূত্র

Another method is to estimate the time-invariant coefficients in a second stage equation, using the mean error as the dependent variable.

First, estimate the model with FE. From here you get an estimation of $\beta$ and $\gamma_{t}$ . For simplicity, let's forget about the year-effects. Define the estimation error $\hat{u}_{it}$ as before:

{\hat{u}}_{i t} \equiv y_{i t} - X_{i t} \hat{β}

$\hat{u}_{it} \equiv y_{it} - X_{it}\hat{\beta}$

The linear predictor $\bar{u}_{i}$ is:

{\bar{u}}_{i} \equiv \frac{\sum_{t = 1}^{T} {\hat{u}}_{i}}{T} = \bar{y_{i t}} - {\bar{x}}_{i} \hat{β}

$\bar{u}_{i} \equiv \frac{\sum_{t=1}^{T}\hat{u}_{i}}{T} = \bar{y_{it}} - \bar{x}_{i}\hat{\beta}$

Now, consider the following second stage equation:

{\bar{u}}_{i} = δ m a l e_{i} + c_{i}

$\begin{equation} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i} \end{equation}$

Assuming that gender is uncorrelated with unobserved factors $c_{i}$ . Then, the OLS estimator of $\delta$ is unbiased and time-consistent (this is, it is consistent when $T \rightarrow \infty$ ).

To prove the above, replace the original model into the estimator $\bar{u}_{i}$ :

{\bar{u}}_{i} = {\bar{x}}_{i} β - {\bar{x}}_{i} \hat{β} + δ m a l e_{i} + c_{i} + \frac{\sum_{t = 1}^{T} ϵ_{i t}}{T}

$\bar{u}_{i} = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}\hat{\beta} + \delta male_{i} + c_{i} + \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}$

The expectation of this estimator is:

E ({\bar{u}}_{i}) = {\bar{x}}_{i} β - {\bar{x}}_{i} E (\hat{β}) + δ m a l e_{i} + E (c_{i}) + \frac{\sum_{t = 1}^{T} E (ϵ_{i t})}{T}

$E(\bar{u}_{i}) = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}E(\hat{\beta}) + \delta male_{i} + E(c_{i}) + \frac{\sum_{t=1}^{T}E(\epsilon_{it})}{T}$

If assumptions for FE consistency hold, $\hat{\beta}$ is an unbiased estimator of $\beta$ , and $E(\epsilon_{it}) = 0$ . Thus:

E ({\bar{u}}_{i}) = δ m a l e_{i} + E (c_{i})

$E(\bar{u}_{i}) = \delta male_{i} + E(c_{i})$

This is, our predictor is an unbiased estimator of the time-invariant components of the model.

Regarding consistency, the probability limit of this predictor is:

p lim_{T \to \infty} {\bar{u}}_{i} = p lim_{T \to \infty} ({\bar{x}}_{i} β) - p lim_{T \to \infty} ({\bar{x}}_{i} \hat{β}) + p lim_{T \to \infty} δ m a l e_{i} + p lim_{T \to \infty} c_{i} + p lim_{T \to \infty} (\frac{\sum_{t = 1}^{T} ϵ_{i t}}{T})

$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \bar{x}_{i}\beta\right) - p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left(\bar{x}_{i}\hat{\beta}\right) + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \delta male_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} c_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}\right)$

Again, given FE assumptions, $\hat{\beta}$ is a consistent estimator of $\beta$ , and the error term converges to its mean, which is zero. Therefore:

p lim_{T \to \infty} {\bar{u}}_{i} = δ m a l e_{i} + c_{i}

$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i}$

Again, our predictor is a consistent estimator of the time-invariant components of the model.

— luchonacho
সূত্র

The Mundlak chamberlain device is a perfect tool for this. It is usually referred to as the correlated random effects model because it uses the random effect model to implicitly estimate fixed effects for time variant variables while also estimating the random effects for time invariant variables.

However, in statistical softwares, you implement it thesame as the random effect model but you have to add the means of all time variant covariates.

— Martin Paul
সূত্র