স্কোয়ার্ড সাধারণ এবং চি-স্কোয়ার ভেরিয়েবলগুলির কনভলিউশন বিতরণ?

তথ্য বিশ্লেষণ করার সময় নিম্নলিখিত সমস্যাটি সম্প্রতি উপস্থিত হয়েছিল। দৈব চলক X- একটি স্বাভাবিক বন্টন নিম্নরূপ এবং Y একটি অনুসরণ করে তাহলে $\chi^2_n$ (ডেপথ অফ ফিল্ড এন সঙ্গে) বন্টন, কেমন $Z = X^2 + Y^2$ বিতরণ? এখন অবধি আমি $Y^2$ : পিডিএফ নিয়ে এসেছি

\begin{array}{rcl} ψ_{n}^{2} (x) & = & \frac{\partial F (\sqrt{x})}{\partial x} \\ = & {(\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{t^{n / 2 - 1} \cdot e^{- t / 2}}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} d t)}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} \cdot {(\sqrt{x})}^{n / 2 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \cdot {(\sqrt{x})}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2 - 1} Γ (n / 2)} \cdot x^{n / 4 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi^2_n(x) &=& \frac{\partial F(\sqrt{x})}{\partial x} \\ &=& \left( \int_0^{\sqrt{x}} \frac{t^{n/2-1}\cdot e^{-t/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \mathrm{d}t \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^{n/2-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2-1}\Gamma(n/2)} \cdot x^{n/4-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \end{eqnarray}$

সেইসাথে সংবর্তন অবিচ্ছেদ্য জন্য কিছু simplifications ( পিডিএফ হয়েছে মি ডেপথ অফ ফিল্ড সহ): $X^2$ $\chi^2_m$

\begin{array}{rcl} K_{m n} (t) & := & (χ_{m}^{2} * ψ_{n}^{2}) (t) \\ = & \int_{0}^{t} χ_{m}^{2} (x) \cdot ψ_{n}^{2} (t - x) d x \\ = & {(2^{\frac{(n + m)}{2} + 1} Γ (\frac{m}{2}) Γ (\frac{n}{2}))}^{- 1} \cdot \int_{0}^{t} (t - x)^{\frac{n}{4} - 1} \cdot x^{\frac{m}{2} - 1} \cdot \exp (- (\sqrt{t - x} + x) / 2) d x \end{array}

$\begin{eqnarray} K_{mn}(t) &:=& ( \chi^2_m \ast \psi^2_n )(t) \\ &=& \int_0^t \chi^2_m(x) \cdot \psi^2_n(t-x) \mathrm{d}x \\ &=& \left( 2^{\frac{(n+m)}{2}+1} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) \right)^{-1} \cdot \int_0^t (t-x)^{\frac{n}{4}-1} \cdot x^{\frac{m}{2}-1} \cdot \exp(-(\sqrt{t-x}+x)/2) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$

কেউ কি কোনও বাস্তব টির জন্য এই অবিচ্ছেদ্য গণনা করার একটি ভাল উপায় দেখেছেন বা এটি সংখ্যার সাথে গুণতে হবে? বা আমি কি খুব সহজ সমাধান মিস করছি?

— লিও জিলার্ড
সূত্র

যদি

স্কোয়ার না করা হত তবে আমার কিছু নির্দিষ্ট পরামর্শ দেওয়া উচিত। আমি মনে করি না যে এটি ট্র্যাকটেবল হবে (না ট্র্যাকটেবল প্রমাণিত হওয়ার পরেও বিশেষত আলোকিত করা প্রয়োজন)। ফলাফলের সাথে আপনি কী করতে চান তার উপর নির্ভর করে সংখ্যাসূচক ধারণা বা সিমুলেশন এর মতো গণ্য পদ্ধতির দিকে নজর দিতে আমি প্ররোচিত হব।

Y

$Y$

— গ্লেন_বি-রিনস্টেট মনিকা

অবিচ্ছেদ্য কাজটি করা যায় এটি আমার মতে এটি খুব কমই।

— ডেভ31415

@ Dave31415 জন্য

এবং

এমনকি অবিচ্ছেদ্য স্পষ্টভাবে ইতিবাচক অবিচ্ছেদ্য মানের জন্য নির্ণিত করা যেতে পারে

এবং

n

$n$

m

$m$

n

$n$

m

$m$ . It will equal a linear combination of exponentials and error functions with coefficients that are polynomials in

\sqrt{t}

$\sqrt{t}$

x = t - u^{2}

$x=t-u^2$

n = 2, m = 4

$n=2,m=4$ we obtain

\frac{1}{4} e^{- \frac{1}{8} (2 \sqrt{t} + 1)^{2}} (e^{\frac{\sqrt{t}}{2}} (\sqrt{2 π} (4 t + 3) (erfi (\frac{2 \sqrt{t} - 1}{2 \sqrt{2}}) + erfi (\frac{1}{2 \sqrt{2}})) + 4 e^{\frac{1}{8}}) - 4 e^{\frac{t}{2} + \frac{1}{8}} (2 \sqrt{t} + 1))

$\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{8}(2\sqrt{t}+1)^2}(e^{\frac{\sqrt{t}}{2}}(\sqrt{2\pi} (4t+3)(\text{erfi}(\frac{2\sqrt{t}-1}{2\sqrt{2}})+\text{erfi}(\frac{1}{2\sqrt{2}}))+4e^\frac{1}{8})-4 e^{\frac{t}{2}+\frac{1}{8}}(2\sqrt{t}+1))$ .

— whuber

Nice. For odd numbers, you could probably approximate it with the average of the result for bounding even numbers? Or maybe not.

— Dave31415

Thanks for your replies! For some even-even cases I got a similar result involving Dawson's function, but it looks like I'll have to do some more work for a general solution...

— Leo Szilard

In case it helps, the variable $Y^2$ is a generalised gamma random variable (see e.g., Stacy 1962). Your question is asking for the distribution of the sum of a chi-squared random variable and a generalised gamma random variable. To my knowledge, the density of the resultant variable has no closed form expression. Hence, the convolution you have obtained is an integral with no closed form solution. I think you're going to be stuck with a numerical solution for this one.

Stacy, E.W. (1962). A Generalization of the Gamma Distribution. Annals of Mathematical Statistics 33(3), pp. 1187-1192.

— Reinstate Monica
সূত্র

This is a hint only. Pearson type III can be Chi-squared. Sometimes a convolution can be found by convolving something with itself. I managed to do this for convolving ND and GD, for which I convolved a Pearson III with itself. How this works with ND $^2$ and Chi-Squared, I am not sure. But, you asked for hints, and this is a general hint. That should be enough to get you started, I hope.

— Carl
সূত্র

Could you explain how this answers the question? It doesn't seem directly related.

— whuber

Pearson type III convolution with itself can be done. For some reason convolving one thing with itself is easier to solve than convolving one thing with another. For example, I solved the convolution of Pearson type III and obtained the convolutions of ND with GD, a related problem.

— Carl

Doesn't seem to have helped, will delete shortly.

— Carl