দুটি বিতরণযোগ্য এলোমেলো ভেরিয়েবলের মধ্যে ইউক্যালিডিয়ান দূরত্বের বিতরণ কী?

মনে করুন আপনি দুটি বস্তুর হয়েছে যার সঠিক অবস্থানে অজানা দেওয়া হয়, কিন্তু পরিচিত পরামিতি সঙ্গে স্বাভাবিক ডিস্ট্রিবিউশন (যেমন অনুযায়ী বিতরণ করা হয় $a \sim N(m, s)$ এবং $b \sim N(v, t))$ । আমরা অনুমান করতে পারেন উভয় এই bivariate লম্ব, যেমন যে অবস্থানের উপর একটি বিতরণ দ্বারা বর্ণিত হয় $(x,y)$ স্থানাঙ্ক (অর্থাত $m$ এবং $v$ প্রত্যাশিত ধারণকারী ভেক্টর হয় $(x,y)$ জন্য স্থানাঙ্ক $a$ এবং $b$ যথাক্রমে)। আমরা ধরে নিব বস্তুগুলি স্বতন্ত্র।

এই দুটি বস্তুর মধ্যে স্কোয়ারড ইউক্লিডিয়ান দূরত্বের বিতরণ জানা প্যারাম্যাট্রিক বিতরণ কিনা তা কি কেউ জানেন? বা বিশ্লেষণাত্মকভাবে এই ফাংশনটির জন্য পিডিএফ / সিডিএফ কীভাবে অর্জন করবেন?

normal-distribution distance-functions

— শুভক্ষণ
সূত্র

চারটি স্থানাঙ্ক অসংরক্ষিত থাকলে আপনার একটি অ-কেন্দ্রীয় চি-স্কোয়ার বিতরণের একাধিক প্রাপ্ত হওয়া উচিত। অন্যথায়, ফলাফলটি আরও জটিল দেখায়।

— whuber

@ যে কোনও বিবরণ / পয়েন্টার আপনি সরবরাহ করতে পারেন যে ফলস্বরূপ অ-কেন্দ্রীয় চি-স্কোয়ার ডিস্ট্রিবিউশনটির প্যারামিটারগুলি ক, খ এর অবজেক্টগুলির সাথে কীভাবে সম্পর্কযুক্ত

— নিক

@ উইকিপিডিয়া নিবন্ধের প্রথম কয়েকটি অনুচ্ছেদে বিশদটি সরবরাহ করুন। চরিত্রগত ফাংশন এ খুঁজছেন দ্বারা আপনি স্থাপন করতে পারেন যে একটি অনুরূপ ফল না পাওয়া যায় যখন সব ভেরিয়ানস একই বা কিছু সম্পর্কযুক্তরূপে হয়।

— শুক্র

@ নিক, কেবল স্পষ্ট করে বলার জন্য,

a

$a$ এবং

উভয়ই

b

$b$ মান সহ র্যান্ডম ভেক্টর ?

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

— এমপিক্টাস

@Nick, যদি

এবং

যৌথভাবে স্বাভাবিক, তারপর পার্থক্য নেই

খুব স্বাভাবিক। তারপরে আপনার সমস্যাটি হল এলোমেলো স্বাভাবিক ভেক্টরের বিতরণ সন্ধান করা। গুগলিং আমি এই লিঙ্কটি পেয়েছি । কাগজটি আরও জটিল সমস্যা বর্ণনা করে যা খুব বিশেষ ক্ষেত্রে আপনার সাথে মিলে যায়। এটি কিছু আশা করে যে আপনার প্রশ্নের একটি নির্দিষ্ট উত্তর আছে। রেফারেন্স আপনাকে আরও ধারণা দিতে পারে যেখানে কোথায় অনুসন্ধান করতে হবে।

a

$a$

b

$b$

a - b

$a-b$

— এমপিটকাস

উত্তর:

মাথাই এবং প্রোভোস্ট (1992, মার্সেল ডেকার, ইনক।) রচিত এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলিতে এই প্রশ্নের উত্তর কোয়াড্র্যাটিক ফর্মগুলিতে পাওয়া যাবে ।

মন্তব্য নির্মল হিসাবে, আপনি বিতরণের বের করতে হবে যেখানে গড় সঙ্গে একটি bivariate সাধারন বন্টনের অনুসরণ এবং সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স । এটি বিভাজনে র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি চতুর্ভুজ রূপ । $Q = z_1^2 + z_2^2$ $z = a - b$ $\mu$ $\Sigma$ $z$

সংক্ষেপে, জন্য এক চমৎকার সাধারণ ফলাফলের -dimensional ক্ষেত্রে যেখানে এবং যে মুহূর্তে উৎপাদিত ফাংশন হয় $p$ $z \sim N_p(\mu, \Sigma)$

Q = \sum_{j = 1}^{p} z_{j}^{2}

$Q = \sum_{j=1}^p z_j^2$

যেখানে

এর eigenvalues হয়

এবং

একটি রৈখিক ফাংশন

। বইয়ে উপপাদ্য দেখুন 3.2a.2 (পৃষ্ঠা 42) উপরে উল্লেখিত (আমরা এখানে অনুমান

অ একবচন যায়)। আরেকটি দরকারী উপস্থাপনা 3.1a.1 (পৃষ্ঠা 29)

E (e^{t Q}) = e^{t \sum_{j = 1}^{p} \frac{b_{j}^{2} λ_{j}}{1 - 2 t λ_{j}}} \prod_{j = 1}^{p} (1 - 2 t λ_{j})^{- 1 / 2}

$E(e^{tQ}) = e^{t \sum_{j=1}^p \frac{b_j^2 \lambda_j}{1-2t\lambda_j}}\prod_{j=1}^p (1-2t\lambda_j)^{-1/2}$

λ_{1}, \dots, λ_{p}

$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$

Σ

$\Sigma$

b

$b$

μ

$\mu$

Σ

$\Sigma$

যেখানে

আইড

।

Q = \sum_{j = 1}^{p} λ_{j} (u_{j} + b_{j})^{2}

$Q = \sum_{j=1}^p \lambda_j(u_j + b_j)^2$

u_{1}, \dots, u_{p}

$u_1, \ldots, u_p$

N (0, 1)

$N(0, 1)$

বইয়ের চতুর্থ অধ্যায়টি ঘনত্ব এবং বিতরণ কার্যগুলির প্রতিনিধিত্ব এবং গণনার জন্য উত্সর্গীকৃত, যা মোটেই তুচ্ছ নয়। আমি বইটির সাথে কেবলমাত্র পৃষ্ঠপরিবর্তিতভাবেই পরিচিত, তবে আমার ধারণাটি হ'ল সমস্ত সাধারণ উপস্থাপনা অসীম সিরিজের বিস্তারের ক্ষেত্রে of

$\lambda_1, \lambda_2 > 0$ $b_1, b_2 \in \mathbb{R}$

$a$ $b$ $a-b$

— NRH
সূত্র

রেফারেন্সের জন্য ধন্যবাদ, আমি বইটি পেয়েছি এবং আস্তে আস্তে এটির মাধ্যমে আমার চেষ্টা করার চেষ্টা করছি

— নিক

λ_{j} = σ^{2}

$\lambda_j = \sigma^2$

p = 2

$p=2$

b_{j}^{2} λ_{j}

$b_j^2 \lambda_j$

μ_{j}^{2}

$\mu_j^2$

b_{j}

$b_j$

μ_{j}^{2}

$\mu_j^2$

$\mu_d = \mu_1 - \mu_2$ $\Sigma_d = \Sigma_1 + \Sigma_2$ $\Sigma_d = \mathrm{J} \Sigma_{12} \mathrm{J}^T$ $\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} \Sigma_1 & \\ & \Sigma_2 \end{bmatrix}$ $\mathrm{J} = \begin{bmatrix} +\mathrm{I}, & -\mathrm{I} \end{bmatrix}$

দ্বিতীয়ত, পার্থক্য ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের বিতরণ বা মূল থেকে রেডিয়াল দূরত্বের সন্ধান করুন, যা হোয়েট বিতরণ করা হয়েছে :

অসম বৈকল্পিকের সাথে দ্বিখণ্ডিত পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সত্যিকারের চারদিকে ব্যাসার্ধ একটি হয়েট বিতরণ অনুসরণ করে। পিডিএফ এবং সিডিএফ বন্ধ রুপে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, সিডিএফ find −1 সন্ধানের জন্য সংখ্যার মূল সন্ধান করা হয় finding পারস্পরিক সম্পর্ক 0 এবং ভেরিয়েন্স সমান হলে রায়লেগ বিতরণে হ্রাস।

আপনি বালিসটিপিডিয়া থেকে পক্ষপাতদুষ্ট পার্থক্য (স্থানান্তরিত উত্স) এর অনুমতি দিলে আরও সাধারণ বিতরণ দেখা দেয় :

— ফিলিপ জি। নিভিনস্কি
সূত্র

+1, তবে আমি মনে করি এটি উল্লেখ করা মূল্যবান যে প্রশ্নটি আপনার চিত্রটিকে "জেনারেল কেস" হিসাবে ডাকে তার সাথে সম্পর্কিত।

— অ্যামিবা বলেছেন মনিকা

কেন এটি পরীক্ষা করে দেখা হচ্ছে না?

set.seed(347)
x <- rnorm(10000)
y <- rnorm(10000)
x2 <- rnorm(10000)
y2 <- rnorm(10000)

qdf <- data.frame(x,y,x2,y2)
qdf <- data.frame(qdf,(x-x2)^2+(y-y2)^2)
colnames(qdf)[5] <- "euclid" 

plot(c(x,y),c(x2,y2))
plot(qdf$euclid)
hist(qdf$euclid) 
plot(dentist(qdf$euclid))

প্লট ঘ প্লট 2 প্লট 3 প্লট 4

— ব্র্যান্ডন বার্টেলসেন
সূত্র

মূল প্রশ্নটির বিষয়ে whubers মন্তব্য ইতিমধ্যে জানিয়েছে যে রূপগুলি একই রকম হয় এবং ভেরিয়েবলগুলি অসংলগ্ন থাকলে এটি দেখতে কেমন হবে। সম্ভবত যেখানে উদাহরণস্বরূপ এটি উদাহরণস্বরূপ দেওয়া আরও আলোকিত হবে।

— অ্যান্ডি ডব্লিউ

আপনি যেমন একটি উদাহরণ প্রদান করতে পারেন?

— ব্র্যান্ডন বার্টেলসেন

আপনাকে যা করতে হবে তা হ'ল x এবং y মান উত্পন্ন করা হয় যা হয় পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত বা ভিন্ন ভিন্ন রূপ রয়েছে। বিভিন্ন রূপগুলি যেমন ঠিক তেমন কোডে করা যায়। আপনি MASS প্যাকেজ থেকে mvrnorm ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স থেকে মান উত্পন্ন করতে পারেন। উপরোক্ত কোডটিতে "ডেন্টিস্ট" ফাংশনটি কী তা আমি নিশ্চিত নই, সম্ভবত এটি "ঘনত্ব" হওয়া উচিত।

— অ্যান্ডি ডব্লিউ

এটি কেন বলা হচ্ছে তা গণিতের মাধ্যমে কাজ করা ঠিক ততটাই আলোকসজ্জা বলে মনে হচ্ছে (এবং কীভাবে বৈকল্পিকতা / সমবায়িকাগুলি দ্বারা বন্টন পরিবর্তন করা হবে)। শুধু whuber দ্বারা উল্লিখিত বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনটি দেখলে কেন বিষয়টি এই বিষয়টি আমার পক্ষে সম্পূর্ণ পরিষ্কার নয়। দেখে মনে হচ্ছে যদিও এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি যোগ, বিয়োগ এবং গুণক করার নিয়মগুলির একটি সহজ বোঝাপড়া আপনাকে কেন তা বোঝার উপায় বয়ে আনবে।

— অ্যান্ডি ডব্লিউ