ছেলেদের জন্মের তুলনায় মেয়েদের অনুপাতের প্রত্যাশিত সংখ্যা

Question

আমি সমালোচনামূলক চিন্তাভাবনার জন্য চাকরীর সাক্ষাত্কার প্রবণতা পরীক্ষার একটি প্রশ্ন জুড়ে এসেছি। এটি এরকম কিছু হয়:

জোর্গানিয়ান প্রজাতন্ত্রের কিছু খুব অদ্ভুত রীতিনীতি রয়েছে। দম্পতিরা কেবলমাত্র স্ত্রী সন্তানদেরই আকাঙ্ক্ষা করতে পারে কারণ কেবল মহিলারাই পরিবারের সম্পত্তির উত্তরাধিকারী হতে পারে, সুতরাং তাদের যদি কোনও পুত্র সন্তান হয় তবে তারা একটি মেয়ে না হওয়া পর্যন্ত তাদের আরও সন্তান ধারণ করে চলে। তাদের কোনও মেয়ে থাকলে তারা সন্তান ধারণ বন্ধ করে দেয়। জোড়গানিয়ায় ছেলেদের তুলনায় মেয়েদের অনুপাত কত?

আমি প্রশ্নকর্তার দেওয়া মডেল উত্তরের সাথে একমত নই, যা প্রায় 1: 1। যুক্তিযুক্ত যে কোনও জন্মের ক্ষেত্রে সর্বদা পুরুষ বা মহিলা হওয়ার 50% সম্ভাবনা থাকবে।

You আরও গাণিতিক জোরালো উত্তর দিয়ে আপনি কি আমাকে বোঝাতে পারবেন যদি দেশে মেয়েদের সংখ্যা এবং বি দেশের ছেলেদের সংখ্যা হয়?$\text{E}[G]:\text{E}[B]$$G$

Comments

মডেল উত্তরের সাথে আপনার মতবিরোধে আপনি সঠিক, কারণ জন্মের অনুপাত: এম: এফ অনুপাত শিশুদের এম: এফ অনুপাতের চেয়ে আলাদা। বাস্তব মানবসমাজে, যে দম্পতিরা কেবলমাত্র মহিলা সন্তান ধারণ করতে চায় তারা পুরুষ শিশুদের থেকে পরিত্রাণ পেতে শিশু হত্যা বা বিদেশী গ্রহণের মতো উপায় অবলম্বন করবে, যার ফলে এম: এফ অনুপাত 1: 1 এর চেয়ে কম হবে।

— গাবে

@ গ্যাবে এই প্রশ্নে শিশু হত্যার কোনও উল্লেখ নেই, খাঁটি সাধারণ জায়গা যেখানে এমন একটি সত্যিকারের দেশটির বিশুদ্ধ বিশ্লেষণের বিপরীতে এটি গাণিতিক সংক্ষেপণ। সমানভাবে ছেলেদের মেয়েদের জন্মের প্রকৃত অনুপাত 51:49 এর কাছাকাছি (সামাজিক কারণগুলি উপেক্ষা করে)

— রিচার্ড টিংল

উত্তরের জন্য ধন্যবাদ আমি এখন বুঝতে পারি কেন অনুপাতটি 1: 1 হবে, যা মূলত আমার কাছে স্বতঃস্ফূর্ত মনে হয়। আমার অবিশ্বাস ও বিভ্রান্তির অন্যতম কারণ হ'ল, আমি জানি চীনের গ্রামগুলিতে ছেলেদের সংখ্যা খুব বেশি হওয়ার বিপরীত সমস্যা রয়েছে: মেয়েদের অনুপাত। আমি দেখতে পাচ্ছি যে বাস্তবিকভাবে দম্পতিরা তাদের সন্তানের লিঙ্গ না পাওয়া পর্যন্ত অনির্দিষ্টকালের জন্য উত্পাদন চালিয়ে যেতে পারবে না। চীনে আইনটি গ্রামীণ অঞ্চলে বসবাসকারী মানুষের জন্য কেবলমাত্র 2 শিশুদের সর্বোচ্চ অনুমতি দেয়, সুতরাং সেই ক্ষেত্রে অনুপাত 1: 1 এর তুলনায় 3: 2 এর কাছাকাছি হবে।

— মোবিয়াস পিজ্জা

@ মোবিয়াস পিজ্জা: না, অনুপাতটি 1: 1 হ'ল আপনার কত শিশু থাকুক না কেন! চীনটির আলাদা অনুপাত থাকার কারণ হ'ল শিশু হত্যা, যৌন-নির্বাচনী গর্ভপাত এবং বিদেশী গ্রহণের মতো সামাজিক কারণগুলি।

— গাবে

@ নতুন পরিমাণ সিমুলেশনগুলি ভাল, তবে সেগুলি কেবল তাদের মধ্যে নির্মিত অনুমানের মতোই বোঝায়। কোনও কোড ছাড়াই কেবল কোড প্রদর্শন করা লোকেদের পক্ষে এই অনুমানগুলি সনাক্ত করতে সমস্যা করে। এই জাতীয় কিছু ন্যায়সঙ্গততা এবং ব্যাখ্যা অনুপস্থিতিতে, অনুকরণের পরিমাণের পরিমাণই এখানে প্রশ্নটির সমাধান করবে না। "রিয়েল ওয়ার্ল্ড" যতদূর যায়, যে কেউ দাবি করে তাকে মানব জন্মের তথ্য সহ এটি সমর্থন করতে হবে।

— whuber

Answer 1

কোনও শিশু না দিয়ে শুরু করুন

পুনরাবৃত্তি পদক্ষেপ

{

এখনও দম্পতিদের প্রতিটি দম্পতির একটি সন্তান রয়েছে। অর্ধ দম্পতির পুরুষ এবং অর্ধ দম্পতির মহিলা রয়েছে।

যে দম্পতিদের স্ত্রী রয়েছে তাদের সন্তান হওয়া বন্ধ হয়ে যায়

}

প্রতিটি পদক্ষেপে আপনি এমনকি পুরুষ এবং স্ত্রীদের সংখ্যক সংখ্যক পুরুষ এবং দম্পতিদের সংখ্যার পরিমাণ অর্ধেক কমে আসেন (যেমন যে মহিলাগুলি ছিলেন তাদের পরবর্তী পদক্ষেপে কোনও শিশু হবে না)

সুতরাং, যে কোনও সময়ে আপনার সমান সংখ্যক পুরুষ এবং স্ত্রী রয়েছে এবং ধাপে ধাপে ধাপে ধাপে ধাপে ধাপে ধাপে ধাপে কমছে এমন শিশুদের সংখ্যা অর্ধেকে নেমে আসছে। যেহেতু আরও দম্পতিরা একই পরিস্থিতি পুনরায় দেখা দেয় এবং অন্যান্য সমস্ত জিনিস সমান হয়, জনসংখ্যায় একই সংখ্যক পুরুষ এবং স্ত্রী রয়েছে will

Comments

আমি মনে করি এটি কঠোর গাণিতিক প্রমাণের উপর নির্ভর না করে সম্ভাব্যতা বন্টনকে ব্যাখ্যা করার একটি দুর্দান্ত উপায়।

— এল বুশকিন

আমি যা পছন্দ করি তা হ'ল এটিও ব্যাখ্যা করে যে আপনার অন্তর্জ্ঞানটি অতিরিক্ত মেয়েদের কী ঘটেছিল: অতিরিক্ত মেয়েদের পিতামাতার দ্বারা পছন্দ করা হয় (তারা সেই বাবা-মা যারা আবার চেষ্টা করেন) তবে সেই বাবা-মা (পুরোপুরি) কখনই সফলভাবে কোনও অতিরিক্ত তৈরি করতে পারেন না মেয়েরা।

— বেন জ্যাকসন

আপনি "পুনরাবৃত্তি পদক্ষেপ {কেউ বাচ্চা আছে কি না dec" সিদ্ধান্ত নিয়েছে বলে আরও সহজ করে তুলতে পারেন। তারা যে নিয়মগুলি দ্বারা সিদ্ধান্ত নেয় সেগুলি সম্পূর্ণ অপ্রাসঙ্গিক শর্তযুক্ত যে প্রত্যেকে একই সম্ভাবনা নিয়ে স্বতন্ত্রভাবে ছেলে এবং মেয়েদের উত্পাদন করে। এমনকি এই সম্ভাবনার কোনও মান ধরে নেওয়াও প্রয়োজনীয় নয়, আপনি কেবল বলতে পারেন যে জনসংখ্যার ফ্রিকোয়েন্সি জন্মের সময়কালের ফ্রিকোয়েনির সমান হবে।

— স্টিভ জেসোপ

@ মার্টিনো আমি বিশ্বাস করি না এটিই কেস, যদিও এই প্রভাবটি সম্পর্কে খুব দৃ conv় বিশ্বাসযোগ্য গণিত থাকলে আমি অবাক হব না। আমি বিশ্বাস করি যে এই পরিস্থিতিটি আমাদের অনুপাত সম্পর্কে ধারণা ভাঙ্গার দিকে নিয়ে যায়, কারণ পরিবার প্রতি সন্তানের প্রত্যাশিত সংখ্যা অসীম। এই থ্রেডে লোকেরা আপনার প্রশ্নের উত্তর যে সাধারণতার সাথে দিয়েছিল, সে কারণেই আপনার উত্তর সম্পর্কে সন্দেহ করা উচিত।

— jlimahaverford

@ মার্টিনো মজা করার জন্য আমি কেবল সেই থামানো মানদণ্ডের সাথে একটি সিমুলেশন চালিয়েছি। 10,000 পরিবারে 0.9999377735896915 অনুপাতের জন্য মোট 160,693,469 ছেলে (এবং সেই সংখ্যাটি আরও 10,000 বেশি মেয়ে) ছিল। খুব অবিশ্বাস্য জিনিস।

— jlimahaverford

Answer 2

যাক একটি পরিবারে ছেলেদের সংখ্যা হতে। তাদের মেয়ে হওয়ার সাথে সাথে তারা থেমে যায়, তাই$X$

$$\begin{array}{| l |l | } \hline X=0 & \text{if the first child was a girl}\\ X=1 & \text{if the first child was a boy and the second was a girl}\\ X=2 & \text{if the first two children were boys and the third was a girl}\\ \text{and so on}\ldots &\\ \hline \end{array}$$

যদি সম্ভাব্যতা একটি শিশু একটি ছেলে এবং লিঙ্গ সন্তানদের মধ্যে স্বাধীন হলে, সম্ভাব্যতা যে থাকার আপ একটি পরিবার প্রান্ত ট ছেলেদের হয় পি ( এক্স = ট ) = P ট ⋅ ( 1 - পি ) , অর্থাত সম্ভাবনা থাকার ট ছেলেদের এবং তারপর একটি মেয়ে রয়েছে। প্রত্যাশিত সংখ্যা ছেলেদের হয় ই এক্স = ∞ Σ ট = 0 ট পি ট ⋅ ( 1 - পি ) $p$$k$

$$\mbox{P}(X=k)=p^{k}\cdot (1-p),$$ $k$ উল্লেখ্য যে ∞ ∑ কে = 0 কেপিকে= ∞ ∑ কে = 0 (কে+1)পিকে+1আমরা পেয়েছি ∞ ∑ কে = 0 কেপিকে- ∞ ∑ কে = 0 $$\operatorname{E}X=\sum_{k=0}^\infty kp^k \cdot (1-p)=\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}.$$ $$\sum_{k=0}^\infty kp^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}$$ যেখানে আমরা ব্যবহৃত যেΣ ∞ ট = 0 Pট=1/(1-পি)যখন0<পি<1(দেখুনজ্যামিতিক সিরিজের)। $$\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty p^{k+1}=p\sum_{k=0}^\infty p^{k}=\frac{p}{1-p}$$ $\sum_{k=0}^\infty p^k=1/(1-p)$$0<p<1$

যদি , আমরা যে আছে ই এক্স = 0.5 / 0.5 । অর্থাৎ গড়পড়তা পরিবারে একটি ছেলে রয়েছে। আমরা ইতিমধ্যে জানি যে সব পরিবার 1 মেয়ে নেই, তাই অনুপাত সময় এমনকি আউট বেশি হতে হবে 1 / 1 = 1 ।$p=1/2$$\operatorname{E}X=0.5/0.5$$1/1=1$

$X$

Comments

এটি অবশ্যই ধরে নেয় যে pএটি সমস্ত পরিবারের জন্য একই। পরিবর্তে আমরা যদি ধরে নিই যে কিছু দম্পতি অন্যের তুলনায় ছেলে হওয়ার সম্ভাবনা বেশি করে ( যেমন তাদের pবয়স বেশি) তবে ফলাফলের পরিবর্তন হয় এমনকি গড় মান pএখনও 0.5 হয় 0.5 (তবুও, এটি মৌলিক অন্তর্নিহিত পরিসংখ্যানগুলির একটি দুর্দান্ত ব্যাখ্যা))

— বেন হকিং

@ বেন আপনার মন্তব্যে একটি মূল ধারণা রয়েছে। আমার কাছেও একই ঘটনা ঘটেছে, সুতরাং আমি আরও বাস্তববাদী পরিস্থিতির বিশ্লেষণ অন্তর্ভুক্ত করার জন্য আমার প্রশ্নটি সম্পাদনা করেছি। এটি দেখায় যে সীমিতকরণের অনুপাতটি 1: 1 এর অগত্যা নয় ।

— হোবার

$p$$1/2$

Answer 3

সারাংশ

সমস্ত সাধারণ জন্মের স্বতন্ত্রভাবে মেয়েদের হওয়ার 50% সম্ভাবনা রয়েছে এমন সাধারণ মডেলটি অবাস্তব এবং এটি যেমন ব্যতিক্রম ঘটেছে। ছেলে অনুপাত হতে পারে: যত তাড়াতাড়ি আমরা জনগোষ্ঠীর মধ্যে আউটকামের তারতম্য পরিণতি বিবেচনা, এর জবাব হলো, মেয়ে কোন 1: মান 1 অনধিক। (বাস্তবে এটি সম্ভবত এখনও 1: 1 এর কাছাকাছি থাকবে তবে ডেটা বিশ্লেষণ নির্ধারণের জন্য এটি একটি বিষয়))

যেহেতু এই দুটি বিবাদযুক্ত উত্তর উভয়ই জন্মের ফলাফলের পরিসংখ্যানগত স্বতন্ত্রতা ধরে নিয়ে প্রাপ্ত, স্বাধীনতার কাছে আবেদন একটি অপর্যাপ্ত ব্যাখ্যা। সুতরাং এটি প্রদর্শিত হয় যে প্রকরণ (মহিলা জন্মের সম্ভাবনায়) প্যারাডক্সের পিছনে মূল ধারণা।

ভূমিকা

একটি প্যারাডক্স ঘটে যখন আমরা মনে করি যে আমাদের কাছে কিছু বিশ্বাস করার উপযুক্ত কারণ রয়েছে তবে তার বিপরীতে একটি দৃ -়-তর্কযুক্ত যুক্তির মুখোমুখি হয়েছি।

একটি প্যারাডক্সের একটি সন্তোষজনক সমাধান আমাদের দুজনকে বুঝতে সহায়তা করে যে কোনটি সঠিক ছিল এবং উভয় যুক্তি সম্পর্কে কী ভুল হতে পারে। যতবার সম্ভাবনা ও পরিসংখ্যান ক্ষেত্রে দেখা যায়, উভয় আর্গুমেন্ট আসলে বৈধ হতে পারে: রেজল্যুশন মধ্যে পার্থক্য কবজা হবে অনুমানের যে পরোক্ষভাবে তৈরি করা হয়। এই বিভিন্ন অনুমানের সাথে তুলনা করা আমাদের সনাক্ত করতে সহায়তা করতে পারে যে পরিস্থিতির কোন দিকগুলি বিভিন্ন উত্তর নিয়ে আসে। এই দিকগুলি চিহ্নিত করা, আমি বজায় রেখেছি, আমাদের সবচেয়ে বেশি মূল্য দেওয়া উচিত।

অনুমিতি

$1/2$

1. $i$$p_i$

2. কোনও থামার নিয়মের অভাবে, জনসংখ্যায় মহিলা জন্মের প্রত্যাশিত সংখ্যাটি পুরুষ জন্মের প্রত্যাশিত সংখ্যার কাছাকাছি হওয়া উচিত।

3. সমস্ত জন্মের ফলাফল (পরিসংখ্যানগতভাবে) স্বতন্ত্র।

$p_i$

বিশ্লেষণ

$2N$$2/3$$1/3$

$N$

$f(N,p)$$N$$p$$N$$f(N,p) = f(p)N$$m(p)N$

• $pN$$(1-p)N$$pN$$(1-p)N$

• $(1-p)N$$f(p)[(1-p)N]$$m(p)[(1-p)N]$

$f(p)N$$m(p)N$

$$f(p)N = pN + f(p)(1-p)N\ \text{ and }\ m(p)N = (1-p)N + m(p)(1-p)N$$

সমাধান সহ

$$f(p) = 1\ \text{ and }\ m(p) = \frac{1}{p}-1.$$

$N$$p=2/3$$f(2/3)N = N$$m(2/3)N = N/2$

$N$$p=1/3$$f(1/3)N = N$$m(1/3)N = 2N$

$(1+1)N = 2N$$(1/2+2)N = (5/2)N$$N$

$$\mathbb{E}\left(\frac{\text{# girls}}{\text{# boys}}\right) \approx \frac{2N}{(5/2)N} = \frac{4}{5}.$$

থামার নিয়ম ছেলেদের পক্ষে!

$p$$1-p$$N$

$$\frac{2p(1-p)}{1 - 2p(1-p)}.$$

$p$$0$$1$$0$$1$$1$$1$$p=1/2$

সমাধান

যদি আপনার স্বজ্ঞাততাটি হয় যে প্রথম মেয়েটির সাথে থেমে যাওয়া উচিত জনসংখ্যার আরও বেশি ছেলে তৈরি করা উচিত তবে আপনি সঠিক, যেমন এই উদাহরণটি দেখায়। আপনার যা দরকার তা সঠিক করার জন্য পরিবারের মধ্যে একটি মেয়ে জন্ম দেওয়ার সম্ভাবনা পরিবর্তিত হয় (এমনকি কিছুটা হলেও)।

"অফিসিয়াল" উত্তর, যে অনুপাতটি 1: 1 এর কাছাকাছি হওয়া উচিত, এর জন্য বেশ কয়েকটি অবাস্তব অনুমানের প্রয়োজন হয় এবং তাদের প্রতি সংবেদনশীল: এটি ধারণা করে যে পরিবারের মধ্যে কোনও পার্থক্য থাকতে পারে না এবং সমস্ত জন্ম অবশ্যই স্বাধীন হতে হবে।

মন্তব্য

এই বিশ্লেষণ দ্বারা হাইলাইট করা মূল ধারণাটি জনসংখ্যার মধ্যে বিভিন্নতার গুরুত্বপূর্ণ পরিণতি রয়েছে। জন্মের স্বাধীনতা - যদিও এটি এই থ্রেডের প্রতিটি বিশ্লেষণের জন্য ব্যবহৃত সহজতর অনুমান - প্যারাডক্সটি সমাধান করে না , কারণ (অন্যান্য অনুমানের উপর নির্ভর করে) এটি সরকারী উত্তর এবং এর বিপরীতে উভয়ই সামঞ্জস্যপূর্ণ।

$p_i$$p_i$$p_i$

যদি আমরা লিঙ্গকে অন্য কোনও জেনেটিক এক্সপ্রেশন দ্বারা প্রতিস্থাপন করি, তবে আমরা প্রাকৃতিক নির্বাচনের একটি সহজ পরিসংখ্যানগত ব্যাখ্যা পাই : একটি নিয়ম যা তাদের জেনেটিক মেকআপের ভিত্তিতে বংশের সংখ্যা পৃথকভাবে সীমাবদ্ধ করে পরবর্তী প্রজন্মের সেই জিনগুলির অনুপাতকে নিয়মতান্ত্রিকভাবে পরিবর্তন করতে পারে। যখন জিনটি যৌন-লিঙ্কযুক্ত নয়, এমনকি একটি ক্ষুদ্র প্রভাবও ক্রমবর্ধমান প্রজন্মের মধ্যে গুণগতভাবে প্রচারিত হবে এবং দ্রুত প্রসারিত হতে পারে।

---

আসল উত্তর

প্রতিটি সন্তানের একটি জন্ম ক্রম থাকে: প্রথমজাত, দ্বিতীয় জন্ম এবং আরও অনেক কিছু।

পুরুষ ও মহিলা জন্মানোর সমান সম্ভাবনা এবং লিঙ্গগুলির মধ্যে কোনও সম্পর্ক নেই বলে ধরে নিয়ে, বৃহত সংখ্যার দুর্বল আইন জোর করে যে সেখানে প্রথমজাত স্ত্রীদের মধ্যে পুরুষদের মধ্যে 1: 1 অনুপাতের কাছাকাছি থাকবে । একই কারণে পুরুষের তুলনায় দ্বিতীয় জন্ম নেওয়া স্ত্রীদের 1: 1 অনুপাতের খুব কাছাকাছি থাকবে। যেহেতু এই অনুপাতগুলি অবিচ্ছিন্নভাবে 1: 1 হয়, জন্ম অনুক্রমের আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি জনসংখ্যায় পরিণত হয় তা নির্বিশেষে সামগ্রিক অনুপাতটি 1: 1 হিসাবেও হতে হবে must

Comments

মজাদার; এটি বলে মনে হয় কারণ কোনও নিয়ম অনুপাতটিকে প্রাকৃতিক অনুপাত থেকে পরিবর্তন করতে পারে না ফলে এটি ফলাফল প্রাপ্ত বাচ্চার সংখ্যা পরিবর্তন করতে পারে এবং শিশুদের সংখ্যাটি প্রাকৃতিক অনুপাতের উপর নির্ভরশীল। সুতরাং আপনার উদাহরণে আপনার পিতামাতার দুটি জনসংখ্যা রয়েছে এবং তারা ভিন্নভাবে প্রভাবিত হয়। (এটি এই বলেছিল যে এটি গাণিতিক অনুশীলনের চেয়ে অধিক কাল্পনিক দেশের ক্ষেত্রের বাইরে এমন পরিস্থিতি অনুভব করে)

— রিচার্ড টিঙ্গল

$p_i$$1/2$$1$

বা আপনার কাছে ক্ষমা চাওয়া উচিত নয়, এটি একটি খুব আকর্ষণীয় ফলাফল (আমি যখন এটি পড়তাম তখন আসলে আমি বাহ ভেবেছিলাম)। আমি কেবল "মূল ফলাফল", "আরও বাস্তব পরিস্থিতি" আকারে এটি পছন্দ করব। এটি যেভাবে লিখিত হয়েছে তাতে প্রতারণার মতো মনে হয় (যা আমি বলছি এটি অত্যন্ত আকর্ষণীয় বলেই অন্যায়) কারণ আমি কেবল সহজেই বলতে পারি "ঠিক আছে এটি 1: 1 নয় কারণ পুরুষ জন্ম বেশি সাধারণ" "(আমাদের historicalতিহাসিক প্রজাদের কারণে আমি বিশ্বাস করি) সশস্ত্র সংঘাতে মারা যাওয়ার জন্য)

— রিচার্ড টিঙ্গল

$p_i$$0.51$

@ শুভ তথ্যমূলক উত্তরের জন্য ধন্যবাদ। আমি বুঝতে পারি না কেন আপনার গণনায় আপনি জনসংখ্যাকে 2 পরিবারে বিভক্ত করেছেন যদিও মেয়েদের জন্ম দেওয়ার বিভিন্ন সম্ভাবনা রয়েছে। আপনার মডেল অনুমানের পয়েন্ট 1 অনুসারে, পি_আই সমস্ত পরিবারের জন্য একই হওয়া উচিত। তাহলে, কেন আপনি জনসংখ্যাকে 2 ধরণের পরিবারে ভাগ করেছেন?

— মোবিয়াস পিজ্জা 12

Answer 4

প্রতিটি সন্তানের জন্ম একটি ছেলের জন্য পি = 0.5 এবং একটি মেয়ের জন্য পি = 0.5 সহ একটি স্বাধীন ইভেন্ট । অন্যান্য বিবরণ (যেমন পারিবারিক সিদ্ধান্ত) কেবল আপনাকে এই সত্য থেকে দূরে রাখে। উত্তর, তারপর, অনুপাত 1: 1 ।

এটি ব্যাখ্যা করার জন্য: কল্পনা করুন যে সন্তান না হওয়ার পরিবর্তে আপনি একটি "মাথা" না পাওয়া পর্যন্ত আপনি একটি ন্যায্য মুদ্রা (পি (মাথা) = 0.5) ফ্লিপ করছেন। ধরা যাক পারিবারিক এ মুদ্রাটি ফ্লিপ করে এবং [লেজ, লেজ, মাথা] এর ক্রম পায়। তারপরে পরিবার বি মুদ্রা ফ্লিপ করে এবং একটি লেজ পায়। এখন, সম্ভাবনা কি যে পরবর্তী হতে হবে? এখনও 0.5 , কারণ এটি কি স্বাধীন মানে। আপনি যদি 1000 টি পরিবারের সাথে এটি করতে থাকেন (যার অর্থ 1000 মাথা এসেছে), প্রত্যাশিত মোট লেজের সংখ্যা 1000, কারণ প্রতিটি ফ্লিপ (ইভেন্ট) সম্পূর্ণ স্বাধীন ছিল।

কিছু জিনিস স্বাধীন নয় , যেমন একটি পরিবারের মধ্যে ক্রম: এই অনুক্রমের সম্ভাবনা [মাথা, মাথা] 0, [লেজ, লেজ] এর সমান নয় (0.25)। তবে যেহেতু প্রশ্নটি এ সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছে না, এটি অপ্রাসঙ্গিক।

Comments

যেমনটি বলা হয়েছে, এটি ভুল। যদি লিঙ্গগুলি নিঃশর্তভাবে স্বাধীন হয়, তবে দীর্ঘমেয়াদে ছেলে-বয়-সিকোয়েন্সগুলির মতো পরিবারের মধ্যে জন্মের ক্ষেত্রে যতগুলি মেয়ে-মেয়ে সিকোয়েন্স থাকবে। অনেকগুলি পরের এবং কখনও কখনও পূর্বের কেউই নেই। স্বাধীনতার একটি ফর্ম রয়েছে তবে এটি জন্ম আদেশের শর্তাধীন ।

— whuber

@ শুভ আমাদের জিজ্ঞাসা করা হয় না সেখানে কতগুলি মেয়ে-মেয়ের সিকোয়েন্স রয়েছে। ছেলেদের মধ্যে মেয়েদের অনুপাত মাত্র। আমি বলিনি যে একটি পৃথক মায়ের দ্বারা জন্মের ক্রমটি মুদ্রা ফ্লিপের মতো স্বাধীন ইভেন্টগুলির একটি সিরিজ। কেবলমাত্র প্রতিটি জন্মই স্বতন্ত্রভাবে একটি স্বাধীন ঘটনা।

— টিম এস

সে সম্পর্কে আপনার আরও পরিষ্কার হওয়া দরকার। আমি স্বাধীনতার অভাবকে প্রদর্শন করার জন্য ক্রমগুলি উল্লেখ করেছি, সুতরাং বোঝা আপনার উপর নির্ভর করবে ঠিক কী কঠোর অর্থে "স্বাধীনতা" এখানে প্রয়োগ হয়।

— whuber

@ শুভ ঘটনাগুলি কয়েন ফ্লিপগুলি একইভাবে স্বাধীন । আমি আমার উত্তরে এটি ব্যাখ্যা করেছি।

— টিম এস

@ আপনি সমস্ত জন্ম এক লাইনে রেখে দিলে মেয়ে-মেয়েদের ক্রমগুলি সক্রিয় হয়; এক দম্পতি পরবর্তী প্রস্থান ইত্যাদি শেষ করার পরে ইত্যাদি

— রিচার্ড টিংল

Answer 5

আপনি একটি মাথা পর্যবেক্ষণ না করা পর্যন্ত একটি ন্যায্য মুদ্রা টসিং কল্পনা করুন। আপনি কতগুলি টেইল টস করেন?

$P(0 \text{ tails}) = \frac{1}{2}, P(1 \text{ tail}) = (\frac{1}{2})^2, P(2 \text{ tails}) = (\frac{1}{2})^3, ...$

প্রত্যাশিত সংখ্যার সংখ্যা সহজেই গণনা করা হয় * 1 হতে।

মাথার সংখ্যা সর্বদা 1।

* এটি যদি আপনার কাছে স্পষ্ট না হয় তবে এখানে 'প্রমাণের রূপরেখা' দেখুন

Answer 6

ঠিক এক মেয়ে এবং কোনও ছেলে নেই এমন দম্পতি সবচেয়ে সাধারণ

এই সবগুলি কার্যকর হওয়ার কারণ হ'ল কারণ যেখানে একটি দৃশ্যে বেশি বালক রয়েছে সেখানে যে দৃশ্য রয়েছে সেখানে তার চেয়ে বেশি ছেলে রয়েছে boys এবং আরও অনেক ছেলে রয়েছে এমন দৃশ্যগুলির খুব কম সম্ভাবনা রয়েছে। এটি নিজেরাই সুনির্দিষ্টভাবে কাজ করে তা নীচে চিত্রিত হয়

NumberOfChilden Probability  Girls   Boys  
1               0.5           1       0  
2               0.25          1       1  
3               0.125         1       2  
4               0.0625        1       3  
...             ...           ...     ...  

NumberOfChilden Probability   Girls*probabilty   Boys*probabilty 
1               0.5           0.5                0
2               0.25          0.25               0.25
3               0.125         0.125              0.25
4               0.0625        0.0625             0.1875
5               0.03125       0.03125            0.125
...             ...           ...                ...  
n               1/2^n         1/(2^n)            (n-1)/(2^n)

আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে এই মুহুর্তে এটি কোথায় চলছে, মোটামুটি মেয়ে এবং ছেলে দু'জনেই এক যোগ করতে চলেছে।

এক দম্পতির কাছ থেকে প্রত্যাশিত মেয়েরা${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{2^n})=1$
${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{n-1}{n^2})=1$

^{নেকড়ে থেকে সমাধান সীমাবদ্ধ}

যে কোনও জন্ম, পরিবার যাই হোক না কেন তার ছেলে বা মেয়ে হওয়ার 50:50 সম্ভাবনা রয়েছে

এটি সমস্তই স্বতন্ত্র ধারণা দেয় কারণ (দম্পতিরা হিসাবে হিসাবে চেষ্টা করুন) আপনি ছেলে বা মেয়ে হওয়ার কারণে কোনও নির্দিষ্ট জন্মের সম্ভাবনা নিয়ন্ত্রণ করতে পারবেন না। কোনও সন্তান দম্পতিতে বাচ্চা না হয়ে বা একশ ছেলের পরিবার নিয়ে জন্মগ্রহণ করে তা বিবেচ্য নয়; সুযোগটি 50:50 তাই প্রতিটি পৃথক জন্মের যদি 50:50 সুযোগ থাকে তবে আপনার উচিত সর্বদা অর্ধেক ছেলে এবং অর্ধেক মেয়েদের get এবং আপনি পরিবারগুলির মধ্যে জন্মের পরিবর্তন কীভাবে তা বিবেচ্য নয়; আপনি যে প্রভাবিত করতে যাচ্ছেন না।

এটি যে কোনও ¹ বিধি জন্য কাজ করে

যে কোনও জন্মের জন্য 50:50 সুযোগের কারণে অনুপাতটি 1: 1 হিসাবে শেষ হবে যে কোনও (যুক্তিসঙ্গত ¹ ) নিয়মের সাথে আপনি আসতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ নীচের অনুরূপ নিয়মটি এমনকি কার্যকরও হয়

দম্পতিরা যখন মেয়ে থাকে বা দুটি সন্তান হয় তখন তাদের সন্তান হওয়া বন্ধ হয় stop

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
1               0.5           1       0
2               0.25          1       1
2               0.25          0       2

এক্ষেত্রে মোট প্রত্যাশিত বাচ্চাদের আরও সহজে গণনা করা হয়

এক দম্পতির কাছ থেকে প্রত্যাশিত মেয়েরা${}=0.5\cdot1 + 0.25\cdot1 =0.75$
${}=0.25\cdot1 + 0.25\cdot2 =0.75$

¹ যেমনটি আমি বলেছি এটি বাস্তব বিশ্বে বিদ্যমান যে কোনও যুক্তিসঙ্গত নিয়মের জন্য কাজ করে। একটি অযৌক্তিক নিয়ম এমন এক হবে যার মধ্যে দম্পতি প্রতি প্রত্যাশিত শিশুদের অসীম ছিল। উদাহরণস্বরূপ "বাবা-মা কেবলমাত্র মেয়েদের তুলনায় দ্বিগুণ ছেলে হলেই তাদের সন্তান হওয়া বন্ধ করে দেয়", এই বিধি অসীম বাচ্চাদের দেয় তা দেখানোর জন্য আমরা উপরের মতো একই কৌশল ব্যবহার করতে পারি:

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
3               0.125         1       2
6               1/64          2       4
9               1/512         3       6
3*m             1/((3m)^2     m       2m

তারপরে আমরা সীমাবদ্ধ বাচ্চাদের সাথে পিতামাতার সংখ্যাটি খুঁজে পেতে পারি

সীমাবদ্ধ বাচ্চাদের সাথে অভিভাবকদের প্রত্যাশিত সংখ্যা${}=\sum_{m=1}^\infty(\frac{1}{1/(3m)^2})=\frac{\pi^2}{54}=0.18277\ldots.$

^{নেকড়ে থেকে সমাধান সীমাবদ্ধ}

সুতরাং এ থেকে আমরা প্রতিষ্ঠিত করতে পারি যে 82% পিতা-মাতার অসীম সংখ্যক শিশু থাকবে; নগর পরিকল্পনার দৃষ্টিকোণ থেকে এটি সম্ভবত অসুবিধার কারণ হতে পারে এবং দেখায় যে এই অবস্থাটি বাস্তব বিশ্বে থাকতে পারে না।

Comments

যে জন্মগুলি স্বাধীন নয় সেগুলি জন্মের ক্রমগুলি পরীক্ষা করে বোঝা যায়: ছেলে-ছেলের সিক্যুয়েন্সগুলি প্রায়শই ঘটে থাকে এমন সিকোয়েন্স গার্ল-গার্ল কখনই উপস্থিত হয় না।

— whuber

@ যাহোক আমি আপনার বক্তব্যটি দেখতে পাই (যদিও তত্ক্ষণাত যুক্তিযুক্ত হ'ল সন্তানের জন্মের সিদ্ধান্তটি ঘটনার ফলাফলের চেয়ে নির্ভরশীল) তবে সম্ভবত এটি বলাই ভাল হবে "ভবিষ্যতে জন্মের সম্ভাবনা ছেলে হওয়ার সম্ভাবনাটি স্বাধীন সমস্ত অতীত জন্ম থেকেই "

— রিচার্ড টিঙ্গল

হ্যাঁ, আমি মনে করি এখানে স্বাধীনতার ব্যবহারকে উদ্ধারের একটি উপায় আছে। তবে এটি বিষয়টি - আমি মনে করি - তাই মনে হচ্ছে যে এই "ওপেনার" (কঠোর?) বিক্ষোভের জন্য ওপির অনুরোধটিকে সম্মান জানাতে এই বিষয়ে কিছু সতর্ক যুক্তি প্রয়োজন।

— whuber

@ হুবুহু সত্য কথা বলতে গেলে প্রথম অনুচ্ছেদে হ্যান্ডওয়াই বিট, পরবর্তী অনুচ্ছেদগুলি (এবং বিশেষত সীমাগুলি) কঠোর বিট বলে মনে করা হয়

— রিচার্ড টিংল

কোনও যুক্তি নেই - তবে পরবর্তী উপাদানগুলি ইতিমধ্যে stats.stackexchange.com/a/93833 , stats.stackexchange.com/a/93835 , এবং stats.stackexchange.com/a/93841 এ উত্তরগুলিতে ইতিমধ্যে আচ্ছাদিত করা হয়েছে ।

— whuber

Answer 7

আপনি সিমুলেশন ব্যবহার করতে পারেন:

p<-0
for (i in 1:10000){
  a<-0
  while(a != 1){   #Stops when having a girl
    a<-as.numeric(rbinom(1, 1, 0.5))   #Simulation of a new birth with probability 0.5
    p=p+1   #Number of births
  }
}
(p-10000)/10000   #Ratio

Comments

সিমুলেশন ফলাফলগুলি ভাল যাতে তারা আমাদের কিছুটা স্বাচ্ছন্দ্য দিতে পারে যে আমরা গাণিতিক উত্স থেকে গুরুতর ভুল করি নি, তবে তারা অনুরোধ করা কঠোর বিক্ষোভ থেকে দূরে। বিশেষত, যখন প্রত্যাশায় অনেক অবদান রাখে এমন বিরল ঘটনা ঘটতে পারে (যেমন একটি মেয়ে উপস্থিত হওয়ার আগে 20 ছেলে নিয়ে একটি পরিবার - যা মাত্র 10,000 পরিবারের সিমুলেশনে উত্থিত হওয়ার সম্ভাবনা খুব কম) তখন সিমুলেশনগুলি অস্থিতিশীল হতে পারে বা এমনকি কেবল ভুল, যতক্ষণ তারা পুনরাবৃত্তি হয়।

— whuber

পরিবারের # ছেলেদের জ্যামিতিক বিতরণকে স্বীকৃতি দেওয়া এই সমস্যার মূল পদক্ষেপ। চেষ্টা করুন:mean(rgeom(10000, 0.5))

— অ্যাডামো

Answer 8

এটিকে ম্যাপিংটি আমাকে জন্মের জনসংখ্যার অনুপাত (1: 1 বলে ধরে নেওয়া হয়) এবং শিশুদের জনসংখ্যার অনুপাত উভয়ই 1: 1 হতে পারে তা আরও ভালভাবে বুঝতে সহায়তা করেছিল। যদিও কয়েকটি পরিবারে একাধিক ছেলে থাকবে তবে কেবল একটি মেয়ে ছিল, যার ফলে প্রথমে আমাকে ভাবতে হয়েছিল যে মেয়েদের চেয়ে আরও বেশি ছেলে থাকবে, তবে সেই পরিবারের সংখ্যা 50% এর বেশি হবে না এবং প্রতিটি অতিরিক্ত শিশুর সাথে অর্ধেক কমে যাবে, যখন একমাত্র মেয়েশিশুদের পরিবারের সংখ্যা 50% হবে। ছেলে এবং মেয়েদের সংখ্যা একে অপরকে ভারসাম্য বজায় রাখে। নীচে মোট 175 টি দেখুন।

Answer 9

আপনি যা পেয়েছেন তা হ'ল সহজতম এবং সঠিক উত্তর। যদি নবজাতকের সন্তানের বালক হওয়ার সম্ভাবনা পি হয়, এবং ভুল লিঙ্গের শিশুদের দুর্ভাগ্যজনক দুর্ঘটনার মুখোমুখি হয় না, তবে বাবা-মা সন্তানের লিঙ্গের উপর ভিত্তি করে আরও বেশি সন্তানের জন্ম দেওয়ার বিষয়ে সিদ্ধান্ত নেন কিনা তা বিবেচ্য নয়। যদি বাচ্চার সংখ্যা N এবং N হয় তবে আপনি পি * এন ছেলেদের সম্পর্কে আশা করতে পারেন। আরও জটিল গণনার দরকার নেই।

অন্যান্য প্রশ্নগুলি অবশ্যই রয়েছে, যেমন "বাচ্চাদের সাথে পরিবারের সবচেয়ে কনিষ্ঠ সন্তান একটি ছেলে" বা "বাচ্চাদের নিয়ে পরিবারের সবচেয়ে বয়সী সন্তান ছেলে" এমন সম্ভাবনা কী "। (এগুলির একটিতে একটি সাধারণ সঠিক উত্তর রয়েছে, অন্যটির একটি সাধারণ ভুল উত্তর রয়েছে এবং সঠিক উত্তর পাওয়া জটিল)।

Answer 10

দিন

$\text{$\Omega$={(G),(B,G),(B,B,G),$\dots$}}$

নমুনা স্থান এবং যাক

$\text{X: $\Omega\longrightarrow\mathbb{R}$; $\omega\mapsto\vert\omega\vert$-1}$

$\omega$$\text{E(X)}$

$\text{E(X)=$\sum_{n=1}^\infty(\text{n-1})\cdot0.5^n$=1}$

তুচ্ছভাবে, মেয়েদের প্রত্যাশিত মান 1। সুতরাং অনুপাত 1, খুব।

Answer 11

এটি একটি কৌশল প্রশ্ন। অনুপাত একই থাকে (1: 1)। সঠিক উত্তরটি হ'ল এটি জন্মের অনুপাতকে প্রভাবিত করে না, তবে এটি প্রতি পরিবারে গড়ে 2 টি জন্মের সীমাবদ্ধ ফ্যাক্টর সহ পরিবার প্রতি সন্তানের সংখ্যাকে প্রভাবিত করে।

এটি আপনার যুক্তি পরীক্ষার ধরণের প্রশ্ন question উত্তর জন্ম অনুপাত সম্পর্কে নয়। এটি একটি বিভ্রান্তি।

এটি কোনও সম্ভাবনার প্রশ্ন নয়, তবে একটি জ্ঞানীয় যুক্তিযুক্ত প্রশ্ন। এমনকি আপনি 1: 1 অনুপাতের উত্তর দিলেও আপনি এখনও পরীক্ষায় ব্যর্থ হয়েছেন।

Comments

সমাধানটি অগত্যা 1: 1 নয় এটি দেখানোর জন্য আমি সম্প্রতি আমার উত্তরটি সম্পাদনা করেছি, যা স্পষ্টভাবে আপনার বক্তব্যকে বিপরীত করে।

— whuber

আমি আপনার উত্তর পড়েছি। আপনি এমন একটি শিকারী প্রবর্তন করেছেন যা সমস্যায় বর্ণিত হয়নি (মেয়েদের জন্মের হারের ভিন্নতা)। সমস্যাটিতে কিছুই নেই যে জোরগানিয়ান প্রজাতন্ত্র হ'ল মানব জনসংখ্যা বা এমনকি মানুষের প্রতিনিধি is

— অ্যান্ড্রু - ওপেনজিওকোড

এটি সঠিক - তবে সমপরিমাণ কিছুই নেই যা ওভারসিম্প্লিফাইড অনুমানকে ন্যায্যতা দেয় যে সমস্ত জন্মের সম্ভাবনা একই। অনুমিতিগুলি একটি উদ্দেশ্যমূলক, সংজ্ঞাযোগ্য উত্তর প্রদানের জন্য করা উচিত যাতে কমপক্ষে একটি উত্তম উত্তর এটি যে অনুমানগুলি করে তা সম্পর্কে স্পষ্ট হবে এবং সেই অনুমানগুলির জন্য সমর্থন সরবরাহ করবে। "এটি কোনও সম্ভাবনার প্রশ্ন নয়" দাবি করা সমস্যার সমাধান করে না, তবে এগুলি পুরোপুরি পর্যবেক্ষণ করে।

— whuber

@ হুইবার - এই সমস্যায় জন্মের অনুপাতটি একটি অবিস্মরণীয়। সমস্যার বৈকল্পিক হ'ল প্রতি পরিবারে জন্মের সংখ্যা। প্রশ্নটি একটি ব্যাঘাতের বিষয়, এটি সমস্যার অংশ নয়। <br/> পার্সেন্টাল চিন্তাভাবনা হ'ল সৃজনশীলভাবে চিন্তাভাবনা করার ক্ষমতা বা "বাক্সের বাইরে" যা ব্যবসায় হিসাবে কখনও কখনও উল্লেখ করা হয়, অপ্রত্যাশিত দৃষ্টিভঙ্গি থেকে সমস্যাগুলি দেখার জন্য আপনার অনুপ্রেরণা এবং কল্পনা ব্যবহার করার জন্য। পার্শ্বীয় চিন্তাভাবনার মধ্যে রয়েছে স্পষ্টত অস্বীকার করা, চিন্তার traditionalতিহ্যগত পদ্ধতিগুলি রেখে যাওয়া এবং পূর্ব ধারণাগুলি ছুঁড়ে দেওয়া। [ফাইআই> আমি ল্যাবের একজন প্রধান বিজ্ঞানী]

— অ্যান্ড্রু - ওপেনজিওকোড

তারপরে আপনি আমার উত্তরের মূল বিষয়টিকে উপেক্ষা করতে পারেন: এর অনুমানগুলি 1: 1 এ মহিলা জন্মগ্রহণকারীদের জনসংখ্যার গড় সম্ভাবনা রাখে (আমি আশা করি যে একটি নির্দিষ্ট উপায়ে পরিষ্কারভাবে বর্ণিত হয়েছিল)। আমি ধরে রাখব যে অনুমানের সমালোচনামূলকভাবে পরীক্ষা করা হয় এমন কোনও প্যারাডক্সের যে কোনও রেজোলিউশনের সাথে যথেষ্ট "পার্শ্বীয় চিন্তাভাবনা" জড়িত রয়েছে: এর জন্য কল্পনা এবং ভাল বিশ্লেষণী দক্ষতা প্রয়োজন যে এটি প্রথম স্থানে অনুমান করছে। আপনি যেমন এখানে কোনও প্রশ্নকে নিছক "কৌশল" হিসাবে প্রত্যাখ্যান করেন, এই জাতীয় চিন্তাভাবনা প্রচার বা উদযাপনকে বিরোধী বলে মনে হয়।

— whuber

Answer 12

আমি মন্টে কার্লো সিমুলেশন (500x1000 পরিবার) `এমএটিএলবি 'সফ্টওয়্যার ব্যবহার করে যা লিখেছি তা আমি দেখিয়ে দিচ্ছি। দয়া করে কোডটি যাচাই করে নিন যাতে আমি কোনও ভুল না করি।

ফলাফল উত্পন্ন এবং নীচে প্লট করা হয়। এটি দেখায় যে সিমুলেটেড মেয়ের জন্মের সম্ভাবনার অন্তর্নিহিত প্রাকৃতিক জন্ম সম্ভাবনার সাথে খুব ভাল চুক্তি রয়েছে প্রাকৃতিক জন্মের সম্ভাবনার সীমাবদ্ধতার জন্য বিরতি নিয়ম নির্বিশেষে।

কোডটি নিয়ে ঘুরে বেড়ানোর সাথে সাথে একটি পয়েন্টটি বোঝা আমার পক্ষে সহজ যা আমি আগে করিনি --- অন্যের বক্তব্য হিসাবে, থামার নিয়মটি একটি বিভ্রান্তি। থামার নিয়ম কেবলমাত্র একটি নির্দিষ্ট জনসংখ্যার প্রদত্ত পরিবারের সংখ্যাকেই প্রভাবিত করে, বা অন্য দিক থেকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক পরিবার প্রদত্ত শিশু জন্মের সংখ্যা। লিঙ্গটি সম্পূর্ণরূপে ডাইস রোল দ্বারা নির্ধারিত হয় এবং তাই অনুপাত বা সম্ভাবনা (যা শিশুদের সংখ্যার চেয়ে পৃথক) কেবলমাত্র প্রাকৃতিক ছেলে: মেয়েশিশুর জন্মের উপর নির্ভর করে।

testRange=0.45:0.01:0.55;
N=uint32(100000); %Used to approximate probability distribution
M=1000; %Number of families
L=500; %Monte Carlo repetitions
Nfamily=zeros(length(testRange),1);
boys=zeros(length(testRange),1);
girls=zeros(length(testRange),1);
for l = 1:L
    j=1; %Index variable for the different bgratio
    for bgratio=testRange
    k=1; %Index variable for family in each run (temp family id)
    vec=zeros(N,1);
    vec(1:N*bgratio,1)=1; %Approximate boy:girl population for dice roll, 
    %1 = boy

    vec=vec(randperm(s,N)); %Random permutation, technically not necessary 
    %due to randi used later, just be safe
    bog = vec(randi(N)); %boy or girl? (God's dice roll)

    while k<M %For M families...
        if bog == 1 %if boy:
            boys(j) = boys(j)+1; %total global boys tally
        else
            girls(j)=girls(j)+1; %total global girls tally
            %Family stops bearing children
            Nfamily(j) = Nfamily(j)+1; %total global family tally
            k=k+1; %temp family id
            %Next family...
        end
        bog=vec(randi(N)); %Sample next gender (God's dice roll)
    end

    j=j+1; %Index variable for the different bgratio
    end
end
figure;
scatter(testRange,girls./(boys+girls))
hold on
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.44 0.56 0.44 0.56])

Answer 13

$i^{th}$$X_i$$0.5$

$E[\sum_i X_i] = \sum_i E[X_i] = 0.5 n$$n$

$E[\sum_i (1- X_i)] = \sum_i E[1-X_i] = 0.5 n$

জন্মগুলির স্বাধীনতা প্রত্যাশিত মানগুলির গণনার জন্য অপ্রাসঙ্গিক।

---

অ্যাপ্রোপস @ হুবহরের জবাব, যদি পরিবারগুলির মধ্যে প্রান্তিক সম্ভাবনার ভিন্নতা থাকে তবে অনুপাতটি ছেলেদের দিকে ঝুঁকতে থাকে, কারণ কম পরিবারগুলির চেয়ে ছেলেদের উচ্চতর সম্ভাবনা থাকা পরিবারগুলিতে বেশি সংখ্যক শিশু থাকার কারণে, যার ফলে একটি বাড়তি প্রভাব রয়েছে ছেলেদের জন্য প্রত্যাশিত মান যোগফল।

Answer 14

অন্যেরা কী করেছে তা দেখার আগে আমি স্বাধীনভাবে মাতলাবে একটি সিমুলেশন প্রোগ্রামও করেছিলাম। কড়া কথায় বলতে গেলে এটি এমসি নয় কারণ আমি কেবল একবার পরীক্ষা চালিয়েছি। তবে একবার ফলাফল অর্জনের জন্য যথেষ্ট। এখানে আমার সিমুলেশন ফলন দেয়। আমি আদিম হিসাবে জন্মের p = 0.5 হওয়ার সম্ভাব্যতার পক্ষে অবস্থান গ্রহণ করি না। আমি জন্মের সম্ভাবনাটি প্রের (ছেলেরা = 1) = 0.25: 0.05: 0.75 এর বিস্তারে পৃথক হতে পারি।

আমার ফলাফলগুলি দেখায় যে সম্ভাবনাটি পি = 0.5 থেকে বিচ্যুত হওয়ার সাথে সাথে যৌন অনুপাত 1 থেকে পৃথক: প্রত্যাশায় লিঙ্গ অনুপাত কেবলমাত্র একটি ছেলের জন্মের সম্ভাবনা এবং মেয়ের জন্মের সম্ভাবনার অনুপাত। এটি হ'ল এটি একটি জ্যামিতিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা আগে @ månst দ্বারা চিহ্নিত হয়েছিল। এটিই আমি বিশ্বাস করি যে মূল পোস্টারটি অন্তর্নিহিত ছিল।

আমার ফলাফল মাতলাব কোডের সাথে উপরের পোস্টার যা করেছে তার সাথে নকল করে, 0.45, 0.50 এবং ছেলের জন্মের সম্ভাবনা 0.55 এর সাথে যৌন অনুপাতের সাথে মিলে যায়। দ্রুত কোড সহ ফলাফল পেতে আমি কিছুটা ভিন্ন পন্থা গ্রহণ করার সাথে সাথে আমি আমার উপস্থাপন করি। তুলনাটি সম্পাদন করার জন্য আমি কোড বিভাগটি বাদ দিয়েছি vec = vec (র্যান্ড্পার্ম (গুলি) বিবৃত)।

আমি আমার কোড পোস্ট

clear all; rng('default')

prob_of_boy = 0.25:0.05:0.75;
prob_of_girls = 1 - prob_of_boy;

iterations = 200;

sex_ratio = zeros(length(prob_of_boy),1);
prob_of_girl_est = zeros(length(prob_of_boy),1);
rounds_of_reproduction = zeros(length(prob_of_boy),1);

for p=1:length(prob_of_boy)

    pop = 1000000;

    boys = zeros(iterations,1);
    girls = zeros(iterations,1);
    prob_of_girl = zeros(iterations,1);

    for i=1:iterations

        x = rand(pop,1);
        x(x<prob_of_boy(p))=1;

        %count the number of boys and girls
        num_boys = sum(x(x==1));

        boys(i) = num_boys;
        girls(i) = pop - num_boys;

        prob_of_girl(i) = girls(i)/(pop);

        %Only families that had a boy continue to reproduce
        x = x(x==1);

        %new population of reproducing parents
        pop = length(x);

        %check that there are no more boys 
        if num_boys==0

            boys(i+1:end)=[];
            girls(i+1:end)=[];
            prob_of_girl(i+1:end)=[];
            break

        end
    end

    prob_of_girl_est(p) = mean(prob_of_girl(prob_of_girl~=0));
    sex_ratio(p) = sum(boys)/sum(girls);
    rounds_of_reproduction(p) = length(boys);
end

scatter(prob_of_girls,prob_of_girl_est)
hold on
title('Est. vs. True Probability of a Girl Birth')
ylabel('Est. Probability of Girl Birth')
xlabel('True Probability of Girl Birth')
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.2 0.8 0.2 0.8])

scatter(prob_of_girls,sex_ratio)
hold on
title('Sex Ratio as a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Sex Ratio: $\frac{E(Boys)}{E(Girls)}$','interpreter','latex')

scatter(prob_of_girls,rounds_of_reproduction)
hold on
title('Rounds of Reproduction a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Rounds of Reproduction')

নিম্নলিখিত গ্রাফটি প্রচুর সংখ্যক শক্তিশালী আইন হিসাবে প্রত্যাশিত। আমি এটি পুনরুত্পাদন করি, তবে গ্রাফটি গুরুত্বপূর্ণ তা দ্বিতীয় গ্রাফ।

এখানে, সন্তানের উভয় লিঙ্গের জন্মের জন্য জনসংখ্যার সম্ভাবনা ০.৫ ব্যতীত সামগ্রিক জনসংখ্যার লিঙ্গ অনুপাতকে পরিবর্তন করবে। ধরে নিই যে জন্মগুলি স্বাধীন (তবে পুনরুত্পাদন করার পছন্দ নয়), শর্তাধীন প্রজননের প্রতিটি রাউন্ডে জনসংখ্যার সম্ভাবনা বালক ও বালিকা জন্মের ফলাফলগুলি সামগ্রিকভাবে পরিচালনা করে। সুতরাং অন্যরা যেমন বলেছে, সমস্যাটির স্থির হওয়া নিয়মটি জনসংখ্যার ফলাফলের জন্য অপ্রয়োজনীয়, পোস্টারের উত্তর হিসাবে যারা এটিকে জ্যামিতিক বিতরণ হিসাবে চিহ্নিত করেছিলেন।

সম্পূর্ণতার জন্য, থামার নিয়মটি কী প্রভাবিত করে তা হ'ল জনসংখ্যার পুনরুত্পণের সংখ্যা। যেহেতু আমি কেবল একবার পরীক্ষাটি চালাচ্ছি, গ্রাফটি কিছুটা জাজড। কিন্তু স্বজ্ঞাততাটি এখানে রয়েছে: প্রদত্ত জনসংখ্যার আকারের জন্য, যেমন একটি মেয়ের জন্মের সম্ভাবনা বৃদ্ধি পায় আমরা দেখতে পাই যে পুরো জনসংখ্যা পুনরুত্পাদন বন্ধ করার আগে পরিবারগুলি তাদের কাঙ্ক্ষিত মেয়েটি পেতে পুনরায় প্রজননের প্রয়োজন হয় (স্পষ্টতই চক্রের সংখ্যা নির্ভর করবে জনসংখ্যার আকার, যেহেতু এটি যান্ত্রিকভাবে কোনও পরিবারের হওয়ার সম্ভাবনা বাড়ায়, উদাহরণস্বরূপ, তাদের প্রথম মেয়ে হওয়ার আগে 49 ছেলে)

আমার গণনা করা যৌন অনুপাতের মধ্যে তুলনা:

[sex_ratio' prob_of_boy']

0.3327    0.2500
0.4289    0.3000
0.5385    0.3500
0.6673    0.4000
0.8186    0.4500
1.0008    0.5000
1.2224    0.5500
1.5016    0.6000
1.8574    0.6500
2.3319    0.7000
2.9995    0.7500

এবং মাতলাব কোড সহ আগের পোস্টারগুলি:

[boys./girls testRange']

0.8199    0.4500
0.8494    0.4600
0.8871    0.4700
0.9257    0.4800
0.9590    0.4900
1.0016    0.5000
1.0374    0.5100
1.0836    0.5200
1.1273    0.5300
1.1750    0.5400
1.2215    0.5500

তারা সমতুল্য ফলাফল।

Answer 15

এটি পরিবারের সংখ্যার উপর নির্ভর করে।

একটি পরিবারের বাচ্চার সংখ্যা হিসাবে ধরা যাক , এটি পি = 0.5 এর সাথে জ্যামিতিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল , অর্থাৎ পি ( এক্স = এক্স ) = 0.5 x , x = 1 , 2 , 3 ... যা ই বোঝায়$X$$p=0.5$

$$P(X = x) = 0.5^x, x=1,2,3...$$ $E(X) = 2$

মনে করুন সেখানে আছে $N$

$$\frac{N}{ \sum X_i}$$

যেহেতু $\sum X_i /N \rightarrow E(X) = 2$$N \rightarrow \infty$

$T$$T = \sum X_i$$T$

$$P(T=t) = C^{t-1}_{N-1} 0.5^t, t = N, N+1...$$

$$E\left[ \frac{N}{\sum X_i} \right] = E\left[ \frac{N}{T} \right] = \sum_{t=N}^{\infty} \frac{N}{t} C^{t-1}_{N-1} 0.5^t = {_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$$ $_2F_1$

${_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$