লগনরমাল সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন দ্বারা বিশ্লেষণযোগ্যভাবে গুণিত করা কি সম্ভব ?

প্রথমত, বিশ্লেষণাত্মকভাবে সংহত করার অর্থ, আমি বলতে চাই, সংখ্যার বিশ্লেষণের (যেমন ট্র্যাপিজয়েডাল, গাউস-লেজেন্ড্রে বা সিম্পসনের বিধিগুলির) বিপরীতে এটি সমাধানের জন্য কি কোনও সংহতকরণের নিয়ম রয়েছে?

আমার একটি ফাংশন রয়েছে যেখানে এর সাথে একটি লগনরমাল বিতরণের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন প্যারামিটারগুলি এবং । নীচে, আমি এ স্বরলিপিটি সংক্ষিপ্ত করব এবং সংশ্লেষ বিতরণ ফাংশনের জন্য ব্যবহার করব। $\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}f(x) = x g(x; \mu, \sigma)$

g (x; μ, σ) = \frac{1}{σ x \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}}

$g(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma x \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2}$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

g (x)

$g(x)$

G (x)

$G(x)$

আমাকে অবিচ্ছেদ্য গণনা করতে হবে

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_{a}^{b} f(x) \,\rd x \>.$

বর্তমানে, আমি গাউস-লেজেন্ড্রে পদ্ধতিটি ব্যবহার করে সংখ্যাসূচক একীকরণের সাথে এটি করছি। কারণ আমাকে এটি প্রচুর পরিমাণে চালানো দরকার, অভিনয়টি গুরুত্বপূর্ণ। সংখ্যার বিশ্লেষণগুলি / অন্যান্য টুকরোগুলি অনুকূল করে দেখার আগে আমি এটি জানতে ইন্টিগ্রেশন সংক্রান্ত কোনও নিয়ম আছে কিনা তা জানতে চাই।

আমি ইন্টিগ্রেশন-বাই-পার্টস বিধি প্রয়োগ করার চেষ্টা করেছি এবং আমি এখানে পৌঁছেছি, যেখানে আমি আবার আটকেছি,

$\int u \,\mathrm{d}v = u v - \int v \mathrm{d}u$ ।
$u=x \implies \rd u = \rd x$
$\rd v = g(x) \rd x \implies v = G(x)$
$u v - \int v \rd x = x G(x) - \int G(x) \rd x$

আমি আটকে আছি, কারণ আমি মূল্যায়ন করতে পারি না $\int G(x) \rd x$ ।

এটি আমি তৈরি করছি এমন একটি সফ্টওয়্যার প্যাকেজের জন্য।

distributions lognormal

— রশ
সূত্র

@Rosh দ্বারা আপনি lognormal বিতরণের গড় সম্ভাব্যতা ঘনত্ব?

l o g n o r m a l

$lognormal$

— এমপিটকাস

এটি দুটি সাধারণ সিডিএফ-র একটি ধ্রুবক সময়ের পার্থক্য হিসাবে প্রকাশযোগ্য। সাধারণ সিডিএফগুলি দক্ষতার সাথে ডাব্লু। কোডির যুক্তিবাদী চেবিশেভ অনুমান ব্যবহার করে গণনা করা হয়। আপনার প্রয়োজন হবে না এবং, নিঃসন্দেহে এটির জন্য সংখ্যাগত-সংহতকরণ বিকল্পগুলি পছন্দ করা উচিত নয় । আপনার যদি আরও বিশদ প্রয়োজন হয় তবে আমি সেগুলি পোস্ট করতে পারি।

— কার্ডিনাল

@ এমপিক্টাস, হ্যাঁ, লগনারমাল হ'ল সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন এবং লগনারমাল সিডিএফ হ'ল সংঘবদ্ধ ঘনত্ব ফাংশন।

— রশ

@ রশ এর লগনরমাল বিতরণ রয়েছে যার অর্থ means সাধারণত বিতরণ করা হয়। সুতরাং, আপনার মূল অবিচ্ছেদে বিকল্প করুন । একীকরণটি হ'ল এক তাত্পর্যপূর্ণ যার যুক্তি চতুর্ভুজ ফাংশন । বর্গক্ষেত্রটি সম্পূর্ণ করা এটিকে একটি সাধারণ পিডিএফের একাধিকতে রূপান্তরিত করে, তাই আপনার উত্তরটি সাধারণ সিডিএফ এবং মূল প্রান্তিকের ক্ষতিকারক হিসাবে রচিত। সাধারণ সিডিএফ (ত্রুটি ফাংশনের একাধিক) এর জন্য অনেকগুলি ভাল আনুমানিকতা রয়েছে।

x

$x$

\log (x)

$\log(x)$

x = \exp (y)

$x = \exp(y)$

y

$y$

— whuber

হ্যাঁ, @ হুইবার এবং আমি একই জিনিস বর্ণনা করছিলাম। আপনার যেখানে এবং এবং সাধারণ সিডিএফকে বোঝায়। উল্লেখ্য, মান উপর নির্ভর করে , , এবং , এই অভিব্যক্তি পুনর্লিখন আরো সংখ্যাসূচকভাবে স্থিতিশীল হতে উপায়ে আছে।

e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α))

$e^{\mu + \frac{1}{2} \sigma^2} (\Phi(\beta) - \Phi(\alpha))$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu+\sigma^2))/\sigma$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

a

$a$

b

$b$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— কার্ডিনাল

সংক্ষিপ্ত উত্তর : না, এটি সম্ভব নয়, কমপক্ষে প্রাথমিক কার্যগুলির ক্ষেত্রে। তবে এ জাতীয় পরিমাণ গণনা করার জন্য খুব ভাল (এবং যুক্তিসঙ্গত দ্রুত!) সংখ্যার অ্যালগোরিদম বিদ্যমান এবং এ ক্ষেত্রে কোনও সংখ্যাসম্য সংহতকরণ কৌশলগুলির চেয়ে তাদের পছন্দ করা উচিত।

সাধারণ সিডিএফের ক্ষেত্রে আগ্রহের পরিমাণ

আপনি যে পরিমাণে আগ্রহী তা আসলে লগনরমাল এলোমেলো ভেরিয়েবলের শর্ত সাপেক্ষের সাথে নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত। মানে, যদি পরামিতি সঙ্গে একটি lognormal হিসাবে বিতরণ করা হয় এবং , তারপর, আপনার স্বরলিপি ব্যবহার করে, $X$ $\mu$ $\sigma$

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}} d x = P (a \leq X \leq b) E (X ∣ a \leq X \leq b) .

$\newcommand{\e}{\mathbb{E}}\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \int_a^b f(x) \rd x = \int_a^b \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2} \rd x = \Pr(a \leq X \leq b) \e(X \mid a \leq X \leq b) \>.$

এই অবিচ্ছেদের জন্য একটি প্রকাশ পেতে, প্রতিস্থাপন । এটি প্রথমে কিছুটা অচিরাচরিত হতে পারে। তবে, নোট করুন যে এই বিকল্পটি ব্যবহার করে এবং কেবল ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের মাধ্যমে আমরা পাই যেখানে এবং । $z = (\log(x) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$ $x = e^{\mu + \sigma^2} e^{\sigma z}$

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} \int_{α}^{β} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} z^{2}} d z,

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} z^2} \rd z \> ,$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

অতএব, যেখানে মান সাধারণ ক্রম বিতরণ ফাংশন।

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α)),

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \big( \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) \big) \>,$

Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- z^{2} / 2} d z

$\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \rd z$

সংখ্যার প্রায়

প্রায়শই বলা হয় যে জন্য কোনও বদ্ধ ফর্ম এক্সপ্রেশন উপস্থিত নেই। যাইহোক, 1800 এর দশকের গোড়ার দিকে লিউভিলির একটি উপপাদক আরও শক্তিশালী কিছু দাবি করে: এই ফাংশনের জন্য কোনও বদ্ধ ফর্ম প্রকাশ নেই । (এই বিশেষ ক্ষেত্রে প্রমাণের জন্য, ব্রায়ান কনরাদের লিখনআপ দেখুন )) $\Phi(x)$

সুতরাং, আমাদের পছন্দসই পরিমাণ আনুমানিক করতে একটি সংখ্যার অ্যালগোরিদম ব্যবহার করা বাকি। এটি ডাব্লু জে কোডির একটি অ্যালগোরিদমের মাধ্যমে আইইইই ডাবল-স্পষ্টতা ফ্লোটিং পয়েন্টের মধ্যে করা যেতে পারে। এটা এই সমস্যার জন্য মান অ্যালগরিদম, এবং একটি মোটামুটি নিম্ন আদেশের মূলদ এক্সপ্রেশন ব্যবহার, এটা প্রশংসনীয় দক্ষ, খুব।

এখানে একটি রেফারেন্স যা সমাপ্তি নিয়ে আলোচনা করে:

ডাব্লু জে কোডি, ত্রুটি ফাংশন , গণিতের জন্য রেশনাল চেবিশেভ অনুমান । বন্দীরা। , 1969, পৃষ্ঠা 631--637।

এটি এমএটিএলবি এবং উভয় ক্ষেত্রেই প্রয়োগকরণ , উদাহরণস্বরূপ কোড গ্রহণ করা আরও সহজ করে তোলে easier $R$

আপনার আগ্রহী হলে এখানে একটি সম্পর্কিত প্রশ্ন রয়েছে।

— মৌলিক
সূত্র