আপনি এন টসস বাইরে কে মাথা পর্যবেক্ষণ। মুদ্রা মেলা হয়?

Question

আমাকে একটি সাক্ষাত্কারে সহ এই প্রশ্নটি করা হয়েছিল । একটি "সঠিক" উত্তর আছে?$(n, k) = (400, 220)$

ধরুন টসসগুলি আইড হয় এবং মাথার সম্ভাবনা । 400 টসসে মাথার সংখ্যার বিতরণটি তখন সাধারণ (200, 10 ^ 2) এর কাছাকাছি হওয়া উচিত, যাতে 220 মাথাগুলি গড় থেকে 2 স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি হয়। এই জাতীয় ফলাফল (যেমন উভয় দিকের চেয়ে আরও 2 এসডি দূরে) পর্যবেক্ষণের সম্ভাবনা 5% এর চেয়ে সামান্য কম।$p=0.5$

সাক্ষাত্কার গ্রহণকারী আমাকে বলেছিলেন, "আমি যদি এর মধ্য থেকে কিছু> = 2 এসডি পর্যবেক্ষণ করি তবে আমি এই সিদ্ধান্তে পৌঁছলাম যে অন্য কিছু চলছে। এটি যুক্তিসঙ্গত - সর্বোপরি, বেশিরভাগ অনুমান পরীক্ষাগুলি এটাই করে। তবে গল্পের কি এটাই শেষ? সাক্ষাত্কারকারীর জন্য যা "সঠিক" উত্তর বলে মনে হয়েছিল। আমি এখানে যা জিজ্ঞাসা করছি তা হল কিছু উপদ্রব যুক্তিযুক্ত কিনা।

আমি সাহায্য করতে পারলাম না তবে উল্লেখ করতে পারি যে মুদ্রাটি ন্যায্য নয় এটি সিদ্ধান্ত নেওয়া এই মুদ্রা-টাসিং প্রসঙ্গে একটি উদ্ভট উপসংহার। আমি কি এটুকু বলতে পারি? আমি চেষ্টা করে নীচে ব্যাখ্যা করব।

প্রথমত, আমি - এবং আমি বেশিরভাগ লোককেও ধরে নিয়ে যাব - কয়েন সম্পর্কে একটি দৃ prior় অগ্রাধিকার রয়েছে: এগুলি সম্ভবত খুব ভাল হবে be অবশ্যই এটি ন্যায্য বলতে আমরা কী বোঝাতে চাই তার উপর নির্ভর করে - একটি সম্ভাবনা হ'ল "ফর্সা" এর সংজ্ঞা দেওয়া যেমন "মাথার 'সান্নিধ্য' হওয়ার সম্ভাবনা থাকে ০.৪৯ এবং ০.০১ এর মধ্যে বলে।"

(আপনি 'ফেয়ার' এর অর্থ এটিও ব্যাখ্যা করতে পারেন যে মাথার সম্ভাবনা হুবহু 0.50, এক্ষেত্রে পুরোপুরি ন্যায্য মুদ্রা থাকা এখন অসম্ভব মনে হয় seems )

আপনার পূর্বেরটি কেবল কয়েন সম্পর্কে আপনার সাধারণ বিশ্বাসের উপরই নয়, প্রসঙ্গেও নির্ভর করে। আপনি যদি নিজের পকেট থেকে মুদ্রাটি টানেন তবে আপনি সম্ভবত এটি নিশ্চিত যে এটি ন্যায্য; যদি আপনার যাদুকর বন্ধুটি এটিকে বাইরে নিয়ে যায় তবে আপনার পূর্বেরটি ডাবল-মাথাযুক্ত মুদ্রায় আরও বেশি ওজন ফেলতে পারে।

যাইহোক, যুক্তিসঙ্গত প্রিয়ারদের সাথে আসা খুব সহজ যে (i) মুদ্রাটি ন্যায্য হওয়ার ক্ষেত্রে একটি বড় সম্ভাবনা তৈরি করে এবং (ii) 220 মাথা পর্যালোচনা করেও আপনার উত্তরোত্তরটিকে বেশ সমান হতে পারে। তারপরে আপনি এই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারবেন যে মুদ্রাটি ন্যায্য হওয়ার সম্ভাবনা ছিল, গড় থেকে 2 টি এসডি পর্যবেক্ষণ করেও fair

আসলে, আপনি যেখানে 400 tosses মধ্যে 220 মাথা দেখে উদাহরণ গঠন করা যেতে পারে আপনার অবর করা তোলে আরো মুদ্রা হচ্ছে ন্যায্য ওজন, উদাহরণস্বরূপ যদি সব অন্যায্য কয়েন মধ্যে প্রধানদের একটি সম্ভাব্যতা আছে ।$\{0, 1\}$

কেউ কি আমার জন্য এই বিষয়ে কিছু আলোকপাত করতে পারে?

---

এই প্রশ্নটি লেখার পরে আমার মনে পড়েছে যে আমি এই সাধারণ পরিস্থিতি সম্পর্কে আগে শুনেছিলাম - এটি লিন্ডলির "প্যারাডক্স" নয় ?

হুইবার মন্তব্যগুলিতে খুব আকর্ষণীয় লিঙ্কটি রেখেছেন: আপনি একটি ডাই লোড করতে পারেন, তবে আপনি কয়েন বায়াস এ কয়েন করতে পারবেন না । পৃষ্ঠা 3 থেকে:

এটি বলার কোনও মানে হয় না যে মুদ্রায় মাথাগুলির একটি সম্ভাব্যতা রয়েছে, কারণ এটি যেভাবে নিক্ষেপ করা হয় তার দ্বারা এটি সম্পূর্ণরূপে নির্ধারণ করা যেতে পারে - যদি না এটি দ্রুত স্পিনের সাথে বাতাসে উড়ে যায় এবং বাতাসে ধরা না পড়ে কোন উদ্বিগ্ন, কোন ক্ষেত্রে পি = 1/2।

বেশ দারুন! আমার প্রশ্নের সাথে এটি একটি আকর্ষণীয় উপায়ে জড়িত: ধরুন আমরা জানি যে মুদ্রাটি "দ্রুত স্পিনের সাথে বাতাসে উড়ে গেছে এবং কোনও বাছাই ছাড়াই বাতাসে ধরা পড়েছে।" তারপরে আমরা অবশ্যই মুদ্রাটি ন্যায্য বলে অনুমান করা উচিত না (যেখানে "ফর্সা" এর অর্থ এখন "পি = 1/2 থাকা যখন উপরে বর্ণিত পদ্ধতিতে টস করা হয়"), কারণ আমাদের কার্যকরভাবে এমন একটি পূর্বে রয়েছে যা সমস্ত সম্ভাবনার উপর নির্ভর করে মুদ্রা ন্যায্য হচ্ছে। সম্ভবত এটি 220 মাথা পরিলক্ষিত হওয়ার পরে নালকে প্রত্যাখ্যান করার কারণে কেন আমি অস্বস্তি বোধ করি তা কিছুটা হলেও প্রমাণিত করে।

Comments

আপনার পূর্ববর্তী জ্ঞান ছিল না এমন কিছু বাইনারি প্রক্রিয়াটির রূপক হিসাবে আপনি যদি "মুদ্রা" ব্যাখ্যা করতে চান তবে আপনার প্রশ্নের কোনও অংশই বদলে যাবে?

— whuber

@ শুভ এটি একটি ভাল প্রশ্ন। আমি মনে করি সেক্ষেত্রে আমি "p <= 0.05" যখন প্রত্যাখ্যান করব তার সাথে যেতে আমি আরও আগ্রহী হব, যদিও আমি নিজের কাছে কীভাবে এটি ন্যায়সঙ্গত করব তা সম্পর্কে আমি যথেষ্ট নিশ্চিত নই।

— অ্যাড্রিয়ান

আরেকটি বিষয় যা আমাকে বিরক্ত করে তা হ'ল প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা ব্যক্তিটি অনুমানের প্রতি আগ্রহী যে পি = 0.50 ঠিক। আপনি যদি মনে করেন যে পি ক্রমাগত বিতরণ করা হচ্ছে, তবে আপনি যা যা পর্যালোচনা করেন তা নির্বিশেষে এর সম্ভাবনা শূন্য হতে চলেছে। এটি কিছু অন্তরের সাথে সম্পর্কিত পি সম্পর্কে বিবৃতি দেওয়ার জন্য আমাকে আরও বেশি অর্থবহ করে তোলে। এটি এমন পরিস্থিতিতে একটি সমস্যা হবে যেখানে আমার পূর্বের জ্ঞান ছিল না এবং উদাহরণস্বরূপ, আগে ইউনিফর্ম ব্যবহার করার সিদ্ধান্ত নিয়েছিলাম।

— অ্যাড্রিয়ান

$p$

@ অ্যাড্রিয়ান ডিজেসি ম্যাককে এই নিখরচায় পাঠ্যপুস্তকে এই সঠিক সমস্যাটি (এন = 250, কে = 140 সহ) নিয়ে আলোচনা করেছেন: inferences.phy.cam.ac.uk/itprnn/book.pdf (p63।) এটি আকর্ষণীয় হতে পারে তিনি কি বলেন তা পড়ুন। তিনি আপনার কাছে অনুরূপ সিদ্ধান্তে পৌঁছেছেন।

— ফ্লাউন্ডারিয়ার

Answer 1

এই সমস্যাটি সমাধানের আদর্শ বায়েশিয়ান উপায় (সাধারণ অনুমান ছাড়াই) হ'ল আপনার পূর্বেরটি স্পষ্টভাবে বলা, এটি আপনার সম্ভাবনার সাথে একত্রিত করা, যা বিটা-বিতরণ is তারপরে আপনার পোস্টেরিয়রটি প্রায় 50% একীভূত করুন, দুটি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি বা 49% -51% বা আপনার পছন্দ অনুযায়ী যা বলুন তা বলুন।

যদি আপনার পূর্ববর্তী বিশ্বাসটি [0,1] - এ অবিচ্ছিন্ন থাকে - যেমন বিটা (100,100) (এটি মোটামুটি ফর্সা মুদ্রাগুলিতে প্রচুর পরিমাণে রাখে) - তবে মুদ্রাটি ফর্সা হওয়ার সম্ভাবনাও শূন্য হওয়ার সম্ভাবনাও অবিচ্ছিন্ন [0 , 1]।

মুদ্রাটি ন্যায্য হওয়ার সম্ভাবনা শূন্য হলেও, আপনি সাধারণত যে পক্ষ থেকে উত্তর দিকে উত্তর দিয়ে যাচ্ছিলেন না কেন আপনি যে প্রশ্নের উত্তর দিতে যাচ্ছেন তা উত্তর দিতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, ক্যাসিনো প্রান্তটি কয়েনের সম্ভাব্যতার পরে উত্তর বিতরণ দেওয়া।

Comments

$0.49 < p < 0.51$$99\%$$p \sim \text{Beta}(8300, 8300)$ $$P(p \in (0.49, 0.51)) = 0.99003.$$ $p|\text{data} \sim \text{Beta}(8300+220, 8300+180)$ $$P(p \in (0.49, 0.51)|\text{data}) = 0.9886.$$

Answer 2

আসুন বার্নোল্লি বিতরণের জন্য বলি, এক্ষেত্রে একটি মুদ্রার টস।

$B(n=400,p=0.5)$$N(\mu=200,\sigma^2=100)$

$k$$95\%$$B(n=400,p=0.5)$$p$$B(n=400,p=0.5,k=220)$

$p=0.5$$\pi(p=0.5)=0.5$$\pi(p\neq0.5)=0.5$

$\pi(0.49\leq p\leq0.51)=0.9$$\pi(p<0.49 \cup p>0.51)=0.1$$p$

$P(0.49\leq p\leq0.51|k=220)$

$p$$N(\mu=0.5,\sigma^2=0.25)$$\sigma^2=0.1$

$p$$f(p|k=220)$

---

প্রশ্নের অধীনে মন্তব্য লেখার জন্য আমার খ্যাতি যথেষ্ট নয়। পরিবর্তে আমি আপনাকে ক্যান বায়াস এ কয়েন সম্পর্কিত কিছু লিখতে চাই না । @Adrian

আমাদের যা আছে তা এখানে

1. $B(n=400,k=220,p=\theta)$
2. তাত্ত্বিক এবং পরীক্ষামূলক অধ্যয়ন আপনি কয়েন বায়াস এ কয়েন করতে পারেন না

আমাদের হাইপোথিসিস এখানে

$H_0:$$\hat\theta=0.5$

$H_1$

আমাদের ফলাফল এখানে

1. $H_0$
2. $H_1$

$p$$H_0$$H_1$

অন্যথায় আমরা অনুমানের পরীক্ষার জন্য এখানে দ্বৈত মান তৈরি করি। মুদ্রার টস ন্যায্য এবং পরীক্ষার ডেটা সঠিকভাবে রেকর্ড করা হয়েছে এমন হাইপোথিসিস আমরা গ্রহণ করতে পারি না ।

---

মুদ্রাটির মাথাগুলির একটি সম্ভাব্য পি রয়েছে তা বলার অপেক্ষা রাখে না

এই অনুমানটিকে ব্যাক আপ করার জন্য আমাদের পরীক্ষার ফলাফল রয়েছে।

$p$$N(\mu=0.5,\sigma^2)$

$\sigma^s$

Comments

ধন্যবাদ জাং একটি ছোট্ট নীট: যদি আপনি মাথাগুলির সম্ভাবনার আগে আপনার সাধারণ বিতরণটি ব্যবহার করতে চান তবে আমি বলতে চাই যে এটি কেটে ফেলা উচিত যাতে পি [0, 1] এর মধ্যে থাকে।

— অ্যাড্রিয়ান

অবশ্যই এখানে অনেক যুক্তিসঙ্গত পূর্ব্বে বিতরণ এবং সম্পর্কিত পোস্টারিয়র রয়েছে। আমার প্রশ্নের আসল বিষয়টি আরও সাধারণ: মুদ্রাটি ন্যায্য নয় এই সিদ্ধান্ত নেওয়া আমার এই মুদ্রা-টাসিং প্রসঙ্গে একটি উদ্ভট উপসংহার বলে মনে হয়। আপনি সে সম্পর্কে কী ভাবেন - এবং কেন?

— অ্যাড্রিয়ান

এখানে সুবিধামত আগে বিটা বিতরণ হবে, যেহেতু এটি দ্বিবীয় সম্ভাবনার সাথে মিলিত হয়। তবে আবার, আমার প্রশ্নের আসল জোড় নির্দিষ্ট পূর্বের চেয়ে বেশি সাধারণ।

— অ্যাড্রিয়ান

$\pi(p=0.5)$$p \sim U(0,1)$$E(p) \sim f(p|k=220)$$p=0.5$$E(p)$। এবং আমরা সহজেই অনুমানটি গ্রহণ করি যে মুদ্রাটি ন্যায্য নয়। বিশেষত এই ক্ষেত্রে, আপনি মুদ্রাটিকে উদ্ভট উপসংহার হিসাবে যথাযথ বলে বিবেচনা করবেন না এমন সিদ্ধান্ত নিতে পারবেন না।

— ঝাং সোচাও

@ ব্যবহারকারী 777 স্বাভাবিক বিতরণ ঝাংয়ের প্রতিক্রিয়াতে দু'বার প্রদর্শিত হয়, প্রথমত দ্বিপদী (দুর্দান্ত) এর সান্নিধ্য হিসাবে এবং দ্বিতীয়ত মাথাগুলির সম্ভাবনার পূর্ববর্তী হিসাবে (যখন তিনি বলেন "পূর্ববর্তীটি একটি সাধারণ বিতরণ পি ~ এন")। ঝাং - নুল "মুদ্রাটি ন্যায্য এবং ডেটা সঠিকভাবে রেকর্ড করা হয়েছে" সম্পর্কে আপনার সম্পাদনা আকর্ষণীয়, এটি পোস্ট করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ।

— অ্যাড্রিয়ান