কোনও অনুচিত পূর্বের সঠিক পোস্টারিয়র বিতরণে কীভাবে নেতৃত্ব দিতে পারে?

আমরা জানি যে সঠিক পূর্ববর্তী বিতরণের ক্ষেত্রে,

$P(\theta \mid X) = \dfrac{P(X \mid \theta)P(\theta)}{P(X)}$

$\propto P(X \mid \theta)P(\theta)$ ।

এই পদক্ষেপের স্বাভাবিক সমর্থনযোগ্যতা হ'ল $X$ , এর প্রান্তিক বিতরণ $P(X)$ সম্মান করে ধ্রুবক এবং উত্তরোত্তর বিতরণটি গ্রহণ করার সময় এভাবে উপেক্ষা করা যেতে পারে। $\theta$

যাইহোক, পূর্বে একটি অনুপযুক্ত ক্ষেত্রে, আপনি কীভাবে জানবেন যে উত্তরোত্তর বিতরণ আসলেই বিদ্যমান? এই আপাতদৃষ্টিতে বিজ্ঞপ্তিযুক্ত যুক্তিতে কিছু অনুপস্থিত বলে মনে হচ্ছে। অন্য কথায়, যদি আমি অনুমান করি যে উত্তরোত্তর রয়েছে, তবে আমি উত্তরোত্তরটি কীভাবে উপার্জন করতে হবে তার কৌশলগুলি বুঝতে পারি তবে কেন এটি উপস্থিত রয়েছে তার তাত্ত্বিক ন্যায়সঙ্গতটি আমি অনুপস্থিত বলে মনে করি।

পিএস আমি আরও স্বীকার করেছি যে এখানে এমন কিছু মামলা রয়েছে যেখানে একটি অনুচিত পূর্বের দিক থেকে একটি অনুচিত উত্তরোত্তর দিকে পরিচালিত হয়।

— jsk
সূত্র

উত্তর:

আমরা সাধারণত অনুচিত প্রিয়ার থেকে পোস্টারিয়র গ্রহণ করি $\pi(\theta)$ যদি

\frac{π (X ∣ θ) π (θ)}{π (X)}

$\frac{\pi(X \mid \theta) \pi(\theta)}{\pi(X)}$ বিদ্যমান থাকে এবং এটি একটি বৈধ সম্ভাবনা বিতরণ (যেমন, এটি সমর্থনকে ঠিক 1 তে সংহত করে)। মূলত এটি ফুটতে।

π (X) = \int π (X ∣ θ) π (θ) d θ

$\pi(X) = \int \pi(X \mid \theta) \pi(\theta) \,d\theta$ সীমাবদ্ধ। যদি এটি হয় তবে আমরা এই পরিমাণটিকে

বলি

π (θ ∣ X)

$\pi(\theta \mid X)$ এবং এটি আমাদের চাই উত্তরোত্তর বিতরণ হিসাবে accept তবে, এটি লক্ষণীয় যে এটি কোনও উত্তরোত্তর বিতরণ নয়, এটি শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা বিতরণও নয় (এই দুটি পদ এখানে প্রসঙ্গে সমার্থক)।

এখন, আমি বলেছি যে আমরা উপরোক্ত অনুচিত প্রিরিয়ারদের কাছ থেকে 'উত্তরোত্তর' বিতরণগুলি গ্রহণ করি । তাদের গ্রহণ করার কারণ হ'ল পূর্বের এখনও প্যারামিটার স্পেসে আমাদের তুলনামূলক 'স্কোর' দেবে; অর্থাত্ the আমাদের বিশ্লেষণের অর্থ দেয়। কিছু ক্ষেত্রে আমরা অনুচিত প্রেরকদের কাছ থেকে যে অর্থটি পাই তা সঠিক প্রিয়ারগুলিতে নাও পাওয়া যায়। এটি তাদের ব্যবহারের সম্ভাব্য ন্যায়সঙ্গততা। অযোগ্য বুদ্ধিজীবীদের জন্য ব্যবহারিক অনুপ্রেরণার আরও পুঙ্খানুপুঙ্খ পরীক্ষার জন্য সার্জিওর উত্তর দেখুন। $\pi(\theta)$ $\frac{\pi(\theta_1)}{\pi(\theta_2)}$

এটি লক্ষণীয় যে এই পরিমাণটি এরও রয়েছে পছন্দসই তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্যগুলি, ডিগ্রট এবং শেরভিশ : $\pi(\theta \mid X)$

অনুচিত প্রিয়াররা সত্যিকারের সম্ভাবনা বিতরণ নয়, তবে আমরা যদি এটির মতো ভান করি তবে আমরা পূর্ববর্তী হাইপারপ্যারামিটারগুলির চূড়ান্ত মানগুলির সাথে যথাযথ সংমিশ্রণ প্রিয়ারগুলি ব্যবহার করে যে পোস্টাররিয়ারগুলি আনুমানিক করে তা পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশনগুলি গণনা করব।

আপনার উত্তরে আমি কয়েকটি বিষয় নিয়ে বিভ্রান্ত হয়েছি। আপনি বলেছেন যে উপরের সীমাবদ্ধ থাকলে আমরা পোস্টারগুলি গ্রহণ করি। তার মানে কি সেই অখণ্ড যদি সীমাবদ্ধ না হয় তবে পোস্টটিওরটি সসীম হয় না? এছাড়াও, আপনি বোঝাচ্ছেন যে আমরা এই ক্ষেত্রে উত্তরোত্তর ব্যবহার করি, তবে এটি সত্যিকারের বিতরণ নয়- এটি কি ঠিক? এটি সত্যিকারের বিতরণ করার ক্ষেত্রে কি মামলা নেই? এছাড়াও, প্রাক্তনদের অনুপাতের সাথে এর কী সম্পর্ক রয়েছে? আমি সংযোগটি দেখতে পাচ্ছি না।

— বেন এলিজাবেথ ওয়ার্ড

@ বেন এলিজাবেথ ওয়ার্ড যদি থেইটা উপস্থিত থাকে তবে অবিচ্ছেদ্য অবশ্যই উপস্থিত থাকবে (এবং এভাবে সীমাবদ্ধ) be বিপরীতমুখী এছাড়াও সত্য: যদি অস্তিত্ব না থাকে (অসীম হয়), তবে উপস্থিত নেই। এটি যখন উপস্থিত থাকে এবং একটি বৈধ সম্ভাব্যতা বন্টন হয়, তখন সম্ভাবনা বন্টন হয়। তবে প্রদত্ত ডেটা সম্ভাবনা সহ এটি জন্য কোনও পূর্ববর্তী বিতরণ নয় । পূর্ববর্তীটির পূর্ববর্তী অবস্থান নেই। আমরা আমাদের বিশ্লেষণে গ্রহণ করি কারণ এটি একটি আনুমানিক।

π (θ ∣ X)

$\pi(\theta \mid X)$

π (X)

$\pi(X)$

π (X)

$\pi(X)$

π (θ ∣ X)

$\pi(\theta \mid X)$

π (θ ∣ X)

$\pi(\theta \mid X)$

π (θ)

$\pi(\theta)$

π (X ∣ θ)

$\pi(X \mid \theta)$

π (θ ∣ X)

$\pi(\theta \mid X)$

@ বেনলিজাবেথওয়ার্ড অনুপাতটি প্রদর্শন করার জন্য ব্যবহার করা হয়েছিল যে পূর্ববর্তীটিতে এখনও দরকারী তথ্য রয়েছে যা আমরা কোনও সঠিক পূর্বের মধ্যে লোড করতে সক্ষম না হতে পারি। এটি অন্তর্ভুক্ত করার জন্য আমি আমার উত্তর সম্পাদনা করব।

@ জেএসকি i থিতা সম্ভাবনা বন্টন নয়, তবে উত্তরোত্তর বিতরণের সংজ্ঞাটির দরকার যে একটি সম্ভাব্য বন্টন হতে পারে, সুতরাং এটি ter থেইটা পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশন বলে প্রতারণা করছে যখন এটি সম্ভাবনার বন্টন হয়। ডিগ্রুট এবং শেরভিশ বলছেন '.. আমরা উত্তরোত্তর বিতরণগুলি গণনা করব যেগুলি ..' তারা ধরে নিচ্ছে যে আপনি 'সম্মতি দিয়েছিলেন যে তারা [অনুপযুক্ত প্রবীণরা] [যথাযথ প্রিয়ারস') 'উক্তিটির পূর্বে প্রকাশিত হিসাবে।

π (θ)

$\pi(\theta)$

π (θ)

$\pi(\theta)$

π (θ ∣ X)

$\pi(\theta \mid X)$

আপনার উত্তরটি সম্পূর্ণ এবং স্ব-অন্তর্নিহিত করতে যাতে ভবিষ্যতের পাঠকদের যাতে এই মন্তব্য বিনিময়ের মাধ্যমে পড়তে না হয়, আপনি কি নিজের উত্তরটি আপডেট করতে চান?

— jsk

একটি "তাত্ত্বিক" উত্তর এবং একটি "বাস্তববাদী" আছে।

থেরোরিটিকাল দৃষ্টিকোণ থেকে, যখন পূর্বেরটি অনুচিত হয় তবে উত্তরোত্তর উপস্থিত থাকে না (ভাল, একটি শব্দ বিবরণের জন্য ম্যাথিউয়ের উত্তরটি দেখুন) তবে এটি সীমিত আকারের দ্বারা সন্নিবেশিত হতে পারে।

যদি তথ্যটি প্যারামিটার সহ বার্নুলি বিতরণ থেকে শর্তাধীন আইডির নমুনা নিয়ে থাকে এবং প্যারামিটারগুলি এবং সহ বিটা বিতরণ থাকে তবে উত্তরোত্তর বন্টন হ'ল পরামিতিগুলির সাথে বিটা বিতরণ is ( পর্যবেক্ষণ, সাফল্য) এবং এর অর্থ হ'ল । আমরা পূর্বে hypeparameters সঙ্গে পূর্বে অনুপযুক্ত (এবং অবাস্তব) বিটা বিতরণ ব্যবহার করেন তাহলে , এবং দাবী করে যে, $\theta$ $\theta$ $\alpha$ $\beta$ $\theta$ $\alpha + s, \beta+n-s$ $n$ $s$ $(\alpha+s)/(\alpha+\beta+n)$ $\alpha=\beta=0$ $\pi(\theta)\propto\theta^{-1}(1-\theta)^{-1}$ , আমরা to এর সমানুপাতিকভাবে সঠিক উত্তরোত্তর পাই , অর্থাত্ ধ্রুবক ফ্যাক্টর ব্যতীত প্যারামিটার এবং সহ বিটা বিতরণের পিডিএফ । এবং (ডিগ্রাট এবং শেরভিশ, উদাহরণ .3.৩.১৩) পরামিতিগুলির সাথে বিটার পূর্ববর্তী এই সীমিত রূপ । $\theta^{s-1}(1-\theta)^{n-s-1}$ $s$ $n-s$ $\alpha\to 0$ $\beta\to 0$

গড় সঙ্গে একটি স্বাভাবিক মডেলে , পরিচিত ভ্যারিয়েন্স , এবং একটি জন্য পূর্বের বন্টন , যদি পূর্বে স্পষ্টতা, , ডেটা নির্ভুলতার সাথে তুলনামূলকভাবে ছোট, then , তারপরে পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশন প্রায় approximately : অর্থাত্ উত্তরোত্তর বন্টন আনুমানিক যা ধরে ধরে ফলাফল হবে যা ধ্রুবকের সমানুপাতিক is $\theta$ $\sigma^2$ $\mathcal{N}(\mu_0,\tau^2_0)$ $\theta$ $1/\tau^2_0$ $n/\sigma^2$ $\tau^2_0=\infty$

p (θ ∣ x) \approx N (θ ∣ \bar{x}, σ^{2} / n)

$p(\theta\mid x)\approx \mathcal{N}(\theta\mid\bar{x},\sigma^2/n)$

p (θ)

$p(\theta)$

θ \in (- \infty, \infty)

$\theta\in(-\infty,\infty)$ , এমন একটি বিতরণ যা কঠোরভাবে সম্ভব নয়, তবে পন্থা হিসাবে সীমাবদ্ধ ফর্মটি বিদ্যমান ( গেলম্যান এট আল , পি। 52)।

τ_{0}^{2}

$\tau^2_0$

\infty

$\infty$

একটি দেখুন "বাস্তবমুখী" বিন্দু থেকে, যখন যাই হোক না কেন হয় তাই যদি in , তারপরে । যে অঞ্চলে সম্ভাবনা প্রশংসনীয় সেখানে পূর্ব বন্টনের স্থানীয় আচরণ উপস্থাপনের জন্য অনুচিত প্রিয়ারদের নিয়োগ দেওয়া যেতে পারে , বলুন । ধরে নিলে পর্যাপ্ত পরিমাণে পূর্বের বা কেবলমাত্র $p(x\mid\theta)p(\theta)=0$ $p(x\mid\theta)=0$ $p(\theta)$ $p(x\mid\theta)\ne 0$ $(a,b)$ $\int_{-\infty}^{\infty}p(x\mid\theta)p(\theta)d\theta=\int_a^b p(x\mid\theta)p(\theta)d\theta$ $(a,b)$ $f(x)=k, x\in(-\infty,\infty)$ $f(x)=kx^{-1}, x\in(0,\infty)$ $(a,b)$ , এটি যথাযথভাবে এই ব্যাপ্তির বাইরে শূন্যের দিকে লেগেছে, আমরা নিশ্চিত করি প্রকৃতপক্ষে ব্যবহৃত প্রিয়ারগুলি যথাযথ ( বক্স এবং টিওও , পৃষ্ঠা 21)। তাই আপনি যদি পূর্বে বন্টন হয় কিন্তু বেষ্টিত করা হয়, এটা যেন , যেমন । একটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণের জন্য, স্টান-এ এটিই ঘটে : কোনও পরামিতিটির জন্য কোনও পূর্বনির্ধারিত না হলে, তার সমর্থনের পূর্বে এটি স্পষ্টতই একটি ইউনিফর্ম দেওয়া হয় এবং এটি একটি ধ্রুবক দ্বারা সম্ভাবনার এক গুণ হিসাবে পরিচালিত হয়। $\theta$ $\mathcal{U}(-\infty,\infty)$ $(a,b)$ $\theta\sim\mathcal{U}(a,b)$ $p(x\mid\theta)p(\theta)=p(x\mid\theta)k\propto p(x\mid\theta)$

— সের্গিও
সূত্র

তাত্ত্বিক দৃষ্টিকোণ থেকে কেন এটির অস্তিত্ব নেই সে সম্পর্কে আপনি আরও বলতে পারেন?

— jsk

আমি তার উত্তরে এবং তার মন্তব্যে ম্যাথিউর চেয়ে ভাল ব্যাখ্যা করতে পারিনি।

— সার্জিও

ব্যবহারিক বিভাগে, আপনি কি? এছাড়াও সেই বিভাগে, কিছু পদগুলির সম্ভাবনা ?

p (θ ∣ x)

$p(\theta \mid x)$

p (x ∣ θ)

$p(x\mid \theta)$

— jsk

ধন্যবাদ। আমি মনে করি আরও একটি ভুল হতে পারে ... আপনি write লিখেন তবে উপর নির্ভর করতে পারে না । আপনি কি mean বলতে চান ?

P (θ) = k x^{- 1}

$P(\theta)=kx^{-1}$

x

$x$

P (θ) = k θ^{- 1}

$P(\theta)=k\theta^{-1}$

— jsk

রাইট! সেই সূত্রগুলি বাক্স এবং টিওতে থাকাকালীন আমি আবার লিখেছি। আমি একটি সমজাতীয় স্বরলিপি বেছে নেওয়ার চেষ্টা করছিলাম (উদাহরণস্বরূপ গেলম্যান পরিবর্তে ব্যবহার করে , ডিজ্রট প্রিয়ার এবং পোস্টারিয়র ইত্যাদির জন্য ব্যবহার করে) তবে আমি শেষ হয়ে গেলাম ... ধন্যবাদ!

y

$y$

x

$x$

ξ (.)

$\xi(.)$

— সার্জিও

যাইহোক, পূর্বে একটি অনুপযুক্ত ক্ষেত্রে, আপনি কীভাবে জানবেন যে উত্তরোত্তর বিতরণ আসলেই বিদ্যমান?

উত্তরোত্তরও সঠিক হতে পারে না। যদি পূর্বেরটি অনুচিত হয় এবং সম্ভাবনা সমতল হয় (কারণ কোনও অর্থবহ পর্যবেক্ষণ নেই) তবে উত্তরবর্তী পূর্বের সমান এবং এটিও অনুচিত।

সাধারণত আপনার কিছু পর্যবেক্ষণ থাকে এবং সাধারণত সম্ভাবনা সমতল হয় না, তাই উত্তরোত্তর যথাযথ।

— নীল জি
সূত্র