নিয়মিত ভাষায় প্রদত্ত দৈর্ঘ্যের শব্দের সংখ্যা

নিয়মিত ভাষায় প্রদত্ত দৈর্ঘ্যের শব্দের সংখ্যার একটি বীজগণিতীয় বৈশিষ্ট্য আছে কি?

উইকিপিডিয়া কিছু ফলস্বরূপ ফল বলে:

যে কোনও নিয়মিত ভাষার জন্য $L$ ধ্রুবক উপস্থিত রয়েছে $\lambda_1,\,\ldots,\,\lambda_k$ এবং বহুবচন $p_1(x),\,\ldots,\,p_k(x)$ যেমন যে প্রত্যেক জন্য $n$ সংখ্যা $s_L(n)$ দৈর্ঘ্যের শব্দের $n$ মধ্যে $L$ সন্তুষ্ট সমীকরণ $s_L(n)=p_1(n)\lambda_1^n+\dotsb+p_k(n)\lambda_k^n$ ।

এটা তোলে বিবৃত হচ্ছে কি স্থান 'থেকে (লাইভ গুলি , আমি অনুমান করে) এবং ফাংশনের সর্বাঙ্গে নন-নেগেটিভ পূর্ণসংখ্যা মান থাকতে হবে কিনা । আমি প্রমাণের জন্য একটি সুনির্দিষ্ট বিবৃতি, এবং স্কেচ বা রেফারেন্স চাই। $\lambda$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{N}$

বোনাস প্রশ্ন: রূপান্তরটি সত্য, অর্থাত্ এই ফর্মটির কোনও ক্রিয়াকলাপ দেওয়া হয়, সেখানে কি সর্বদা কোনও নিয়মিত ভাষা থাকে যার দৈর্ঘ্যের প্রতি শব্দগুলির সংখ্যা এই ফাংশনের সমান?

_{এই প্রশ্নটি নিয়মিত ভাষার in শব্দের সংখ্যাকে সাধারণীকরণ করে $(00)^*$}

formal-languages regular-languages word-combinatorics

— গিলস 'তাই খারাপ হওয়া বন্ধ করুন'
সূত্র

প্রমাণের স্কেচটি এখানে রয়েছে

— আর্টেম কাজনাটচিভ

@ আর্টেমকাজনাটচিভ আকর্ষণীয়, ধন্যবাদ আপনি কি এই প্রশ্নের উত্তরটি সরানো বিবেচনা করবেন, এটি এটি আরও ভাল ফিট করে?

— গিলস 'তাই খারাপ হওয়া বন্ধ করুন'

আমি অনুভব করি যে এই প্রশ্নটি একটু অপ্রয়োজনীয় (যদিও আরও সাধারণ)। প্রুফের দিকে আমার দৃষ্টিভঙ্গির সাধারণকরণ করা কিছুটা লোমশ, তবে আমি রাতের খাবারের পরে একটু নজর রাখব।

— আর্টেম কাজনাটচিভ

ধন্যবাদ_আর্টেমকাজনাটচিভ ধন্যবাদ হ্রাসযোগ্য ডিএফএ পর্যন্ত আপনার উত্তরটির দ্বিতীয় ভাগ নিয়ে আমার সমস্যা হয়েছিল with

— গিলস 21'10 এ

@vzn এটি একটি শাস্ত্রীয় সত্য যে নিয়মিত ভাষায় শব্দের সংখ্যার উত্পন্নকরণটি যুক্তিযুক্ত, যা অবিলম্বে ওপি'র সূত্রটি (তার সঠিক আকারে) বোঝায়। কঠিন অংশটি হ'ল অ্যাসিম্পটোটিকগুলি। বিশদর জন্য আপনি আমার উত্তরে উল্লিখিত অ্যানালিটিক সংযুক্তি বইটি পরীক্ষা করতে পারেন (উদাহরণস্বরূপ) ।

— যুবাল ফিল্মাস

উত্তর:

একটি নিয়মিত ভাষা দেওয়া , কিছু DFA তে গ্রহণ বিবেচনা যাক তার স্থানান্তর ম্যাট্রিক্স হোন ( রাষ্ট্র থেকে নেতৃস্থানীয় প্রান্ত সংখ্যা রাষ্ট্রের কাছে ), দিন $L$ $L$ $A$ $A_{ij}$ $i$ $j$ প্রাথমিক অবস্থায় চারিত্রিক ভেক্টর হবে | গ্রহণযোগ্য রাষ্ট্রগুলির বৈশিষ্ট্যযুক্ত ভেক্টর হোন। তার পর $x$ $y$

{গুলি}_{এল} (এন) = {এক্স}^{টি} {একজন}^{এন} Y ।

$s_L(n) = x^T A^n y.$

জর্ডানের উপপাদ্যটি বলে যে জটিল সংখ্যার উপরে, একটি ম্যাট্রিক্সের সমান যা ফর্মগুলির একটির যদি , তবে $A$

(\begin{matrix} λ \end{matrix}), (\begin{matrix} λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix}), (\begin{matrix} λ & 1 & 0 \\ 0 & λ & 1 \\ 0 & 0 & λ \end{matrix}), (\begin{matrix} λ & 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & λ \end{matrix}), ...

$\begin{pmatrix} \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \ldots$

λ \neq 0

$\lambda \neq 0$

n

$n$ ব্লকগুলির শক্তিগুলি

এই সূত্রগুলিতে আমরা কীভাবে পেলাম:

হিসাবে ব্লকটি লিখুন।

এর পরেরশক্তিগুলিম্যাট্রিক্সের ক্রমাগত গৌণ তির্যক। দ্বিপদ উপপাদ্য ব্যবহার (আসলে ব্যবহার করে

সঙ্গে যাত্রা করার

(\begin{matrix} λ^{এন} \end{matrix}), (\begin{matrix} λ^{এন} & এন λ^{এন - 1} \\ 0 & λ^{এন} \end{matrix}), (\begin{matrix} λ^{এন} & এন λ^{এন - 1} & (\binom{এন}{2}) λ^{এন - 2} \\ 0 & λ^{এন} & এন λ^{এন - 1} \\ 0 & 0 & λ^{এন} \end{matrix}), (\begin{matrix} λ^{এন} & এন λ^{এন - 1} & (\binom{এন}{2}) λ^{এন - 2} & (\binom{এন}{3}) λ^{এন - 3} \\ 0 & λ^{এন} & এন λ^{এন - 1} & (\binom{এন}{2}) λ^{এন - 2} \\ 0 & 0 & λ^{এন} & এন λ^{এন - 1} \\ 0 & 0 & 0 & λ^{এন} \end{matrix}), ...

$\begin{pmatrix} \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2} \lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \binom{n}{3}\lambda^{n-3} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} \\ 0 & 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \ldots$

B = λ + N

$B = \lambda + N$

N

$N$

λ

$\lambda$

N

$N$

যখন

, ব্লক nilpotent, এবং আমরা নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্স পেতে (স্বরলিপি

হয়

যদি

এবং

অন্যথায়):

{বি}^{এন} = (λ + + এন)^{এন} = λ^{এন} + + এন λ^{এন - 1} এন + + (\binom{এন}{2}) λ^{এন - 2} {এন}^{2} + + \dots ।

$B^n = (\lambda + n)^N = \lambda^n + n \lambda^{n-1} N + \binom{n}{2} \lambda^{n-2} N^2 + \cdots.$

λ = 0

$\lambda = 0$

[n = k]

$[n = k]$

1

$1$

n = k

$n=k$

0

$0$

(\begin{matrix} [এন = 0] \end{matrix}), (\begin{matrix} [এন = 0] & [এন = 1] \\ 0 & [এন = 0] \end{matrix}), (\begin{matrix} [এন = 0] & [এন = 1] & [এন = 2] \\ 0 & [এন = 0] & [এন = 1] \\ 0 & 0 & [এন = 0] \end{matrix}), (\begin{matrix} [এন = 0] & [এন = 1] & [এন = 2] & [এন = 3] \\ 0 & [এন = 0] & [এন = 1] & [এন = 2] \\ 0 & 0 & [এন = 0] & [এন = 1] \\ 0 & 0 & 0 & [এন = 0] \end{matrix})

$\begin{pmatrix} [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] \\ 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] & [n=3] \\ 0 & [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}$

$A^n$ $\binom{n}{k} \lambda^{n-k}$ $[n=k]$

{গুলি}_{এল} (এন) = \underset{আমি}{Σ} {পি}_{আমি} (এন) λ_{আমি}^{এন} + + \underset{ঞ}{Σ} গ_{ঞ} [এন = ঞ],

$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n + \sum_j c_j [n=j],$

λ_{i}, c_{j}

$\lambda_i,c_j$

p_{i}

$p_i$ $n$

{গুলি}_{এল} (এন) = \underset{আমি}{Σ} {পি}_{আমি} (এন) λ_{আমি}^{এন} ।

$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n.$

$s_L(n)$ $\lambda_i$ $\lambda_1$

{গুলি}_{এল} (এন) = {পি}_{1} (এন) λ_{1}^{এন} (1 + + ণ (1)) ।

$s_L(n) = p_1(n) \lambda_1^n (1 + o(1)).$

λ

$\lambda$

d

$d$

s_{L}

$s_L$

n

$n$

d

$d$

λ

$\lambda$

d

$d$

p_{0}, \dots, p_{d - 1}

$p_0,\ldots,p_{d-1}$

λ_{0}, \dots, λ_{d - 1}

$\lambda_0,\ldots,\lambda_{d-1}$

{গুলি}_{এল} (এন) = {এন}^{{পি}_{এন (গেলিক ভাষার ঘ)}} λ_{এন (গেলিক ভাষার ঘ)}^{এন} (1 + + ণ (1)) ।

$s_L(n) = n^{p_{n\pmod{d}}} \lambda_{n\pmod{d}}^n (1 + o(1)).$

— যুবাল ফিল্ম
সূত্র

$L \subseteq \Sigma^*$

$\qquad \displaystyle L(z) = \sum\limits_{n \geq 0} |L_n|z^n$

$L_n = L \cap \Sigma^n$ এবং তাই $|L_n|=s_L(n)$ ।

এটা জানা যায় $L(z)$ হয় মূলদ , অর্থাত্

$\qquad \displaystyle \frac{P(z)}{Q(z)}$

সঙ্গে $P,Q$ polynomials; এটি ডান-লিনিয়ার ব্যাকরণটির জন্য অনুবাদ করে সবচেয়ে সহজ $L$ একটি (লিনিয়ার!) সমীকরণ সিস্টেমের মধ্যে যার সমাধান $L(z)$ ।

এর শিকড় $Q$ জন্য মূলত দায়ী $|L_n|$ , উইকিপিডিয়ায় বর্ণিত ফর্মের নেতৃত্ব দেয়। এটি তাত্ক্ষণিকভাবে পুনরাবৃত্তিগুলি সমাধানের জন্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদী পদ্ধতির সাথে সম্পর্কিত (পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে যা বর্ণনা করে) related $(|L_n|)_{n \in \mathbb{N}}$ )।

— রাফেল
সূত্র

আপনার উত্তর কীভাবে প্রশ্নের উত্তর দেয় তা পরিষ্কার নয়। এছাড়াও, কি

L_{n}

$L_n$ ?

— ডেভ ক্লার্ক

@ গিলিস অ্যানালিটিক সংমিশ্রক, আইলেনবার্গের বইগুলি, বার্স্টেল, রেইটেন’র বই

— uli

ফর্মাল পাওয়ার সিরিজের @ গিলস অটোমাতা -তাত্ত্বিক দিকগুলি।

— uli

@ প্যাট্রিক ৮87: ১) ঠিক, টাইপো; ধন্যবাদ! 2) সীমাবদ্ধ ভাষার জন্য, উত্পাদনের ফাংশনটি একটি বহুপদী (এবং এর সাথে যুক্তিযুক্ত)। যেমন

Q (z) = 1

$Q(z)=1$ , এই পদ্ধতির কাজ করবে না। লিঙ্কযুক্ত উপপাদ্যটি একটি রৈখিক একজাতীয় পুনরাবৃত্তি দিয়ে শুরু হয়; আমি মনে করি না যেগুলি এমন ক্রমগুলি বর্ণনা করতে পারে যা সবার জন্য শূন্য

k \geq n_{0}

$k \geq n_0$ (এবং কমপক্ষে একটি মানের জন্য শূন্য নয়)। নিশ্চিত না, যদিও। আমি যদি সত্যই বলে থাকি, আমরা যে বক্তব্যটির কথা বলছি তা কেবল অসীম নিয়মিত ভাষার জন্যই রয়েছে; সীমাবদ্ধ ভাষার কোনও কাঠামো না থাকায় এটি পুরোপুরি অবাক হবে না।

— রাফায়েল

@ রাফেল হ্যাঁ, আমার চিন্তাভাবনাও একই রকম ছিল ... এটি উপপাদকের উপস্থাপনে যথেষ্ট মারাত্মক ঘাটতি বলে মনে হচ্ছে, যদি এটি সীমাবদ্ধ ভাষার জন্য না ধরে থাকে, যেহেতু (ক) সীমাবদ্ধ ভাষা নিয়মিত, (খ) উপপাদ্য ইঙ্গিত দেয় সীমাবদ্ধ ভাষা নিয়মিত নয় এবং (গ) কোনও ভাষা সীমাবদ্ধ কিনা তা নির্ধারণ করা (সাধারণভাবে) অনির্বাচ্য ... আমার অর্থ, মাইহিল-নেরোড এবং পাম্পিং লেমায় সমস্যা নেই; তারা সীমাবদ্ধ ভাষার জন্য কাজ করে।

— প্যাট্রিক 87