"দ্বিগুণ" গাণিতিক অগ্রগতিগুলি সনাক্ত করা 3SUM-হার্ড?

Question

এটি একটি সাক্ষাত্কার প্রশ্ন দ্বারা অনুপ্রাণিত ।

আমাদের এর পূর্ণসংখ্যার অ্যারে দেওয়া হয় এবং এটি নির্ধারণ করতে হয় যে আমি < জে < কে এইরকম পৃথক আছে কিনা$a_1, \dots, a_n$$i \lt j \lt k$

• $a_k - a_j = a_j - a_i$
• $k - j = j - i$

অর্থাত, সিকোয়েন্স এবং { আমি , ঞ , ট } গাণিতিক অগ্রগতি উভয় হয়।$\{a_i, a_j, a_k\}$$\{i,j,k\}$

এর জন্য একটি সহজ অ্যালগরিদম রয়েছে তবে একটি উপ-চতুষ্কোণ অ্যালগরিদম খুঁজে পাওয়া অধরা মনে হয়।$O(n^2)$

এই সমস্যাটা কি জ্ঞাত? আমরা কি এর 3SUM- কঠোরতা প্রমাণ করতে পারি? (বা হতে পারে একটি উপ-চতুর্ভুজ আলগোরিদিম সরবরাহ?)

আপনি যদি চান তবে আপনি অনুমান করতে পারেন । । । < একটি এন এবং এটি একটি r + 1 - কিছু পরিচিত ধ্রুবক কে > 2 এর জন্য একটি আর ≤ কে । (সাক্ষাত্কারে সমস্যা, কে = 9 )।$0 \lt a_1 \lt a_2 \lt ... \lt a_n$$a_{r+1} - a_{r} \le K$$K > 2$$K = 9$

Answer 1

এটি একটি উন্মুক্ত সমস্যা।

মিহাই পাত্রেস্কুর স্টক ২০১০ পত্রিকার " ডায়নামিক সমস্যার জন্য বহুভুজ নিম্ন স্তরের দিকে " পত্রিকার ফলাফলটি গ্রহণ করে সম্ভবত 3SUM- কঠোরতার কিছু দুর্বল রূপ প্রমাণিত হতে পারে । প্রথমে আমাকে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত সমস্যার ক্রম সংজ্ঞায়িত করা যাক। প্রতিটি সমস্যার ইনপুটটি পৃথক পূর্ণসংখ্যার একটি সাজানো অ্যারে ।$A[1..n]$

• 3 সুম: মতো পৃথক সূচকগুলি কি এ [ আই ] + এ [ জে ] = এ [ কে ] রয়েছে ?$i,j,k$$A[i] + A[j] = A[k]$

• Convolution3SUM: সেখানে সূচকের করছেন যেমন যে একজন [ আমি ] + + একটি [ ঞ ] = একটি [ আমি + + ঞ ] ?$i<j$$A[i] + A[j] = A[i+j]$

• গড়: মতো আলাদা সূচকগুলি কি এ [ আই ] + এ [ জে ] = ২ এ [ কে ] রয়েছে ?$i,j,k$$A[i] + A[j] = 2 A[k]$

• ConvolutionAverage: সেখানে সূচকের করছেন যেমন যে একজন [ আমি ] + + একটি [ ঞ ] = 2 একটি [ ( আমি + + ঞ ) / 2 ] ? (আপনি এই সমস্যাটিই জিজ্ঞাসা করছেন is)$i<j$$A[i] + A[j] = 2A[(i+j)/2]$

আমার পিএইচডি থিসিসে, আমি প্রমাণ করেছি যে এই চারটি সমস্যার জন্য গণনার একটি সিদ্ধান্ত-গাছের মডেলটিতে সময় প্রয়োজন যা কেবল "ইস α এ [ i ] + β এ [ জে ] + form ফর্মের অনুসন্ধানগুলিকে অনুমতি দেয় problems একটি [ কে ] + δ ধনাত্মক, নেতিবাচক, বা শূন্য? ", যেখানে α , β , γ , real আসল সংখ্যা (যা ইনপুটটির উপর নির্ভর করে না)। বিশেষত, এই মডেলটির যে কোনও 3SUM অ্যালগরিদমকে অবশ্যই প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করতে হবে "Is A [ $\Omega(n^2)$$\alpha A[i] + \beta A[j] + \gamma A[k] + \delta$$\alpha,\beta,\gamma,\delta$ বড়, ছোট, বা এর সমান একটি [ ট ] "অন্তত? Ω ( ঢ 2 ) বার নিম্ন আবদ্ধ গুনতি একটি সাধারণ মডেল subquadratic আলগোরিদিম বাতিল না -। প্রকৃতপক্ষে, এটাবিভিন্ন পূর্ণসংখ্যার র‌্যাম মডেলগুলিতেকিছু লগ ফ্যাক্টর শেভ করাসম্ভবBut তবে কোনও সাধারণ মডেল কী ধরণের আরও উল্লেখযোগ্যভাবে সহায়তা করবে তা কেউ জানে না।$A[i] + A[j]$$A[k]$$\Omega(n^2)$

একটি সতর্কতা অবলম্বন হ্যাশ হ্রাস ব্যবহার করে, Pǎtraşcu প্রমাণিত যে যদি 3SUM প্রয়োজন প্রত্যাশিত সময়, কোন ফাংশন জন্য চ , তারপর Convolution3SUM প্রয়োজন Ω ( ঢ 2 / চ 2 ( এন ⋅ চ ( এন ) ) ) প্রত্যাশিত সময়। সুতরাং, এটা বলা যুক্তিসঙ্গত যে কনভলিউশন 3 এসএমএম "দুর্বলভাবে 3SUM-হার্ড"। উদাহরণস্বরূপ, যদি Convolution3SUM মধ্যে সমাধান করা যেতে পারে হে ( ঢ 1.8 ) সময়, তারপর 3SUM মধ্যে সমাধান করা যেতে পারে হে $\Omega(n^2/f(n))$$f$$\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$$O(n^{1.8})$ সময়।$O(n^{1.9})$

আমি বিস্তারিত মাধ্যমে স্থল নি, তবে আমি বাজি ধরতে পারি চাই একটি সমান্তরাল যুক্তি যে বোঝা যে যদি গড় প্রয়োজন প্রত্যাশিত সময়, কোন ফাংশন জন্য চ , তারপর ConvolutionAverage প্রয়োজন Ω ( ঢ 2 / চ 2 ( এন ⋅ চ ( এন ) ) ) প্রত্যাশিত সময়। অন্য কথায়, কনভলিউশনএভারেজ হ'ল দুর্বলভাবে গড়-শক্ত "।$\Omega(n^2/f(n))$$f$$\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$

$\Omega(n^2)$$\Omega(n^2)$

---

$K$$O(n \log n)$

$B[0..Kn]$$B[i]=1$$A[1]+i$$A$$B$$O(Kn\log Kn) = O(n\log n)$$j$$A$$2A[1] + j$$A[i]+A[j]$$O(n)$$O(n)$

তবে আমি কনভলিউশন 3 এসএম বা কনভোলিউশনএভারেজের জন্য একই জাতীয় কৌশলটি জানি না!