এলোমেলোভাবে নিখুঁত মিলের নমুনা

Question

মনে করুন এম এর সাথে আমার গ্রাফ আছে ( জি ) এর (অজানা) জি এর নিখুঁত ম্যাচের সেট রয়েছে । মনে করুন এই সেটটি শূন্য নয়, তবে এম ( জি ) থেকে এলোমেলোভাবে সমান নমুনা নেওয়া কতটা কঠিন ? যদি আমি ইউনিফর্মের কাছাকাছি একটি বিতরণে ঠিক আছি, তবে বেশ অভিন্ন নয় তবে কী কোনও কার্যকর অ্যালগরিদম আছে?$G$$M(G)$$G$$M(G)$

Comments

আপনি সম্পর্কে আরও কিছু জানেন ? বা অন্য কথায়, আপনি কি কোনও সীমাবদ্ধ গ্রাফ ক্লাসে আগ্রহী? $G$

— জুহো

@ জুহো আমি সাধারণ গ্রাফের জন্য ফলাফলগুলি পছন্দ করি, বিশেষত ঘন গ্রাফের জন্য (তাই যুবাল তার উত্তরে যা উল্লেখ করেছেন তা আশাব্যঞ্জক বলে মনে হচ্ছে)। আমি এর আগে প্ল্যানার গ্রাফের জন্য কিছু ফলাফল দেখেছি, আমি মনে করি। তবে, যেহেতু এটি একটি সাধারণ প্রশ্ন, আপনার যদি গ্রাফের কিছু আকর্ষণীয় পরিবারের জন্য উত্তর থাকে তবে উত্তরগুলি এখনও পাওয়া সার্থক কারণ অন্যরা এই প্রশ্নের জন্য অনুসন্ধান করতে পারে তা জানতে আগ্রহী।

— আর্টেম কাজনাটচিভ

কেবল পরিষ্কার করে বললে, আমি ধরে নিচ্ছি যে আপনার হাতে ? $M(G)$

— রাফেল

@ রাফেল আমার ধারণা আপনি যদি করেন তবে প্রশ্নটি তুচ্ছ হবে। আসলে আমি মনে প্রশ্ন তুলনামূলকভাবে সহজবোধ্য হবে যদি আপনি ঠিক ছিল , যেহেতু সাধারণত গণনা এবং নমুনা দেওয়ার মধ্যে একটি চিঠিপত্র থাকে। অথবা আপনি "হাতের কাছে" অন্য কোনও উপায়ে বোঝাচ্ছেন? $|M(G)|$

— আর্টেম কাজনাটচিভ

আমি দেখি. আমি আপনার শব্দবন্ধগুলি অস্পষ্ট পেয়েছি, যা আমি সংশোধন করার চেষ্টা করেছি। আমি কি ঠিক পেয়েছি?

— রাফেল

Answer 1

ঘন গ্রাফ থেকে নিখুঁত ম্যাচিং নমুনা নেওয়ার বিষয়ে জের্রাম এবং সিনক্লেয়ারের (১৯৮৯) একটি শাস্ত্রীয় কাগজ রয়েছে । জেররাম, সিনক্লেয়ার এবং ভিগোদা (2004; পিডিএফ) এর আরেকটি শাস্ত্রীয় কাগজ দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ থেকে নিখুঁত ম্যাচিংয়ের নমুনা নিয়ে আলোচনা করেছে।

এই দুটি কাগজই মার্কোভ চেইনে দ্রুত মিশ্রণ ব্যবহার করে এবং তাই নমুনাগুলি কেবল প্রায় অভিন্ন। আমি ধারণা করি যে অভিন্ন নমুনা নেওয়া কঠিন is

Answer 2

যদি আপনি ধরে নেন যে আপনার গ্রাফটি পরিকল্পনাকারী, তবে এই নমুনা সংক্রান্ত সমস্যার জন্য একটি বহুপদী সময় পদ্ধতি রয়েছে।

প্রথমত, নিখুঁত মিলগুলির সংখ্যা গণনা করার সমস্যাটি প্ল্যানার গ্রাফগুলির জন্য পিতে রয়েছে। ( https://en.wikedia.org/wiki/FKT_algorithm ) (জেরুমের গণনা, নমুনা ও সংহতকরণ সম্পর্কিত বইয়ের প্রথম অধ্যায়ে এই সত্যের একটি ভাল প্রকাশ পাওয়া যাবে))

$e$$G$$G \setminus e$$e$$G$

(এটি মিলিয়ে ম্যাচগুলি একটি "স্ব-হ্রাসযোগ্য" কাঠামো হ'ল এটি গ্রহণ করে, সুতরাং গণনা সমস্যা এবং অভিন্ন নমুনা সংক্রান্ত সমস্যাগুলি মূলত একই this আপনি আরও দেখতে এখানে জেভিভি "একটি ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশন থেকে সম্মিলিত কাঠামোর র্যান্ডম জেনারেশন" দেখতে পারেন) দৃষ্টিকোণ।)

একটি সাধারণ প্রমাণ যা এটি সঠিক বিতরণ দেয়:

$c(H)$$H$$n!$$n = H/2$

$e_1, \ldots, e_n$

$\frac{ c(G \setminus e_1)}{c(G)} \frac{ c(G \setminus \{e_1, e_2\} )}{c(G \setminus e_1)} \ldots \frac{ c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) }{c(G \setminus \{ e_1, \ldots, e_{n-2} \} )}$

$c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) = 1$$G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}$$e_n$$1 / c(G)$