একটি বাধা সমস্যা সহ কাজের সময়সূচী

Question

প্রদত্ত কাজ জে 1 , জে 2 , । । । , জে এন , প্রতিটি কাজ শেষ করার জন্য টি আই > 0 , টি আই ∈ এন সময় প্রয়োজন।$n$$J_1,J_2,...,J_n$$T_i > 0, T_i \in N$

প্রতিটি কাজ অবশ্যই একটি একক মেশিন এম দ্বারা প্রসেসড এবং পোস্ট-প্রসেস করা উচিত যা একসাথে কেবলমাত্র 1 টি কাজ পরিচালনা করতে পারে এবং উভয় পর্যায়ে সময় প্রয়োজন 1 ইউনিট। প্রাক-প্রক্রিয়াজাতকরণের পরে, আনলিমিটেড পাওয়ার সহ একটি মেশিনে প্রেরণ করা হয় (যা সমান্তরালভাবে সীমাহীন সীমাহীন সংখ্যক কাজের পরিচালনা করতে পারে) এবং এটি টি সময়ে প্রস্তুত হবে$J_i$ , তারপর এটি পাঠানো হবে (অবিলম্বে) মেশিন এম থেকে আবার পোস্ট-প্রসেসিংয়ের জন্য।$T_i$

সম্পর্কিত সিদ্ধান্ত সমস্যা হ'ল:

ইনপুট: প্রক্রিয়াকরণ বার এর এন কাজ, পূর্ণসংখ্যা একটি কে ≥ 2 এন প্রশ্ন: আমরা সময় সমস্ত কাজ প্রক্রিয়া করতে পারি ≤ কে উপরের "বোতলের" মডেল ব্যবহার করছেন?$T_i >0, T_i \in \mathbb{N}$$N$$K\geq 2N$
$\leq K$

এই সমস্যাটির একটি নাম আছে?
এর জটিলতা কী? (এটি বা এটি এন পি- কমপ্লিট?) $\sf{P}$$\sf{NP}$

২৯ শে মার্চ আপডেট করুন:
এম.কাফারো তার উত্তরে সঠিকভাবে লক্ষ্য করেছেন, সমস্যাটি নিয়ন্ত্রণহীন ন্যূনতম সমাপ্ত সময় সমস্যা (ইউএমএফটি) এর অনুরূপ (শিডিউলিং অ্যালগরিদমের হ্যান্ডবুকের অধ্যায় 17 দেখুন ) যা -হার্ড (ডাব্লুতে প্রমাণিত হয়েছেকার্ন এবং ডাব্লিউ নাভিজন, "একক মেশিনে সময়ের সাথে একাধিক কর্মের সময়সূচী নির্ধারণ", টোয়েন্ট ইউনিভার্সিটি, 1993)। আমি দেখতে পাচ্ছি, কিছু কিছু পার্থক্য রয়েছে কারণ আমার মডেলটিতে:$\sf{NP}$

• প্রাক / পোস্ট প্রসেসিং সময় স্থির থাকে (সময়ের 1 ইউনিট)
• কাজ শেষ হওয়ার সাথে সাথে এটি তাত্ক্ষণিক পোস্ট-প্রসেসড করা উচিত (ইউএমএফটি মডেল বিলম্বের অনুমতি দেয়)

আমি কার্ন এবং নাভিজন প্রমাণ অনলাইনে খুঁজে পাইনি, তাই উপরের বিধিনিষেধগুলি সমস্যার অসুবিধা পরিবর্তন করে কিনা তা আমি এখনও জানি না।

অবশেষে আপনি পুরো প্রক্রিয়াটিকে একটি বড় চুলা সহ একক রান্না রোবটের মতো ভাবতে পারেন ; রোবট একবারে বিভিন্ন ধরণের খাবার প্রস্তুত করতে পারে (সবগুলি একই সময়ে প্রস্তুত করার প্রয়োজন হয়), চুলায় রাখুন, এবং সেগুলি রান্না করার সাথে সাথে এটি চুলা থেকে সরিয়ে ফেলতে হবে এবং কিছু ঠান্ডা উপাদান যুক্ত করতে হবে ... " কুক রোবট সমস্যা " :-)

Comments

খুশী হলাম। আমার একটা অনুভূতি আছে যে বাধাটি জিনিসগুলিকে সরল করে তোলে।

— রাফেল

সীমাবদ্ধ সর্বদা যাচাই করা হয়, যেহেতু প্রাক এবং পোস্ট-প্রসেসিং ব্যয়গুলি উভয় সময় 1 ইউনিট এবং আপনার এন চাকরী রয়েছে। আপনি কি এই সীমাবদ্ধতাটি সঠিক? $k \geq 2 n$$n$

— ম্যাসিমো ক্যাফারো

দুঃখিত, আগের মন্তব্যে আমি কী বোঝাতে চেয়েছি তা সম্পর্কে আমি পরিষ্কার ছিলাম না। হয় স্পষ্টভাবে একটি "নির্দিষ্ট সময়সীমা" হিসাবে ইনপুট দেওয়া অথবা আপনি একটি অ্যালগরিদম জন্য জিজ্ঞাসা করা হয় কমান ট ? $k$$k$

— ম্যাসিমো কাফেরো 12

@ মাসিমো ক্যাফারো: ইনপুট হিসাবে দেওয়া হয়েছে (অপ্টিমাইজেশান সমস্যাটিকে সিদ্ধান্ত গ্রহণের সমস্যা হিসাবে তৈরি করতে)। তুমি কি লক্ষ্য হিসেবে আমি লিখেছি ট ≥ 2 এন কারন যদি ট < 2 এন উত্তর জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ নেই। তবে সম্ভবত এটি বিভ্রান্তিকর এবং আমার এটি মুছে ফেলা উচিত। $k$$k \geq 2n$$k < 2n$

— ভোর

আপনার প্রশ্নটি " ডাব্লু ইউ, এইচ। হুগভিন এবং জে কে লেনস্ট্রা (2004) দ্বারা " বিলম্ব এবং ইউনিট-টাইম অপারেশন সহ একটি টু-মেশিন ফ্লো শপ ইন মেকসপাইজিং টু টু মেশিন ফ্লো শপ এ এনপি-সম্পূর্ণ প্রমাণিত কার্ন এবং নাভিজন এটি সমাধান করেনি। আমি উদ্ধৃতি দিয়েছি: "ইউনিট প্রসেসিং টাইম টাস্কগুলির সাথে বিশেষ মামলার জটিলতার অবস্থা ন্যূনতম এবং সঠিক বিলম্বের জন্য উভয় ক্ষেত্রেই উন্মুক্ত ছিল। ন্যূনতম বিলম্বিত একের জটিলতার অবস্থান কার্ন এবং নাভিজন (1991) দ্বারা একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন হিসাবে উত্থাপিত হয়েছে।"

— পিটার শোর

Answer 1

ডাব্লু। ইউ, এইচ। হুগভিন এবং জে কে লেনস্ট্রা (2004) "দেরি এবং ইউনিট-টাইম অপারেশনস সহ একটি টু-মেশিন ফ্লো শপ ইন মাইনস্পাইজিং ম্যাপস্প্যান" এ প্রশ্নটি এনপি-হার্ড প্রমাণিত হয়েছে । এটি কাগজের ৯ নং বিভাগে প্রমাণিত:

উপপাদ্য 24. স্বেচ্ছাসেবী মধ্যস্থতাকারী বিলম্বের সাথে একক মেশিনে দুটি ইউনিট টাইম অপারেশন সহ একক মেশিনে মেকস্প্যানকে হ্রাস করার সমস্যাটি দৃ strongly়ভাবে এনপি-হার্ড।

সঠিক মডেল এখানে চর্চিত যে কাজ যে নিতে ইউনিট সময় কিছু বিলম্ব সময় দ্বারা পৃথক দুটি অপারেশন নিয়ে গঠিত টি আমি । সমস্যাটি হ'ল এনপি-সম্পূর্ণ উভয়ই হ'ল যখন প্রতিটি কাজের জন্য দেরি টি i এর সঠিক মূল্য নির্দিষ্ট করা হবে এবং যখন প্রতিটি কাজের জন্য কিছুটা ন্যূনতম বিলম্বের সময় নির্দিষ্ট করা থাকে।$i$$T_i$$T_i$

Answer 2

এটি প্রবর্তিত তথাকথিত মাস্টার-স্লেভ শিডিয়ুলিং মডেলের মতো দেখায় সাহনি । বিশেষত, আপনার সমস্যাটি একক-মাস্টার মাস্টার-স্লেভ সিস্টেমের আওতায় পড়ে। আপনি কয়েকটি ক্ষেত্রে আলাদা করতে পারেন:

1) আপনি যদি চাকরি কার্যকর করার আদেশে (আপনার ক্ষেত্রে হিসাবে) কোনও অতিরিক্ত বাধা যুক্ত না করেন তবে সমস্যাটি বলা হয় ন্যূনতম সমাপ্তির সময় সমস্যা (ইউএমএফটি) বলা হয় এবং এটি এনপি-হার্ড হিসাবে দেখানো হয়েছে;

2) একই প্রাক এবং পোস্ট প্রসেসিং অর্ডার: একটি নির্মাণের জন্য একটি অ্যালগরিদম ডিজাইন করা সম্ভব$O(n \log n)$ ন্যূনতম সমাপ্তি সময় (ওপিএমএফটি) সময়সূচী সংরক্ষণ করে অর্ডার ;

অতএব, 1 এর ক্ষেত্রে আপনার সমস্যাটি হার্ড, যখন এটি $NP$$P$ কেস 2।

অতিরিক্ত সম্পর্কিত সমস্যাগুলি হ'ল:

3) বিপরীত ক্রম Postprocessing: কোনো প্রদত্ত preprocessing বিন্যাস জন্য , এটা সম্ভব একটি বিপরীত-অর্ডার তফসিল গঠন করা হয়, উল্লেখ হিসেবে ক্যানোনিকাল বিপরীত ক্রম সময়তালিকা (CrOS)। একটি প্রাক প্রসেসিং ক্রমুয়েশন utation দেওয়া , সম্পর্কিত সিআরওএস অনন্য। এটি সহজেই প্রতিষ্ঠিত করা যায় যে প্রতিটি ন্যূনতম ফিনিস-টাইম রিভার্স অর্ডার (আরওএমএফটি) সময়সূচীটি একটি ক্রোস।$σ$$σ$

4) কোনও অপেক্ষার প্রক্রিয়া সীমাবদ্ধতা:

ক) [এমএফটিএনডাব্লু] অপসারণ-প্রক্রিয়া-সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে সমাপ্তির সময়কে ন্যূনতম করুন; খ) [ওপি-এমএফটিএনডাব্লু] এটি এমএফটিএনডাব্লুয়ের অর্ডার-সংরক্ষণ সংস্করণ। এটি হ'ল, অপেক্ষায় থাকা প্রক্রিয়া এবং অর্ডার-সংরক্ষণের সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে সমাপ্তি সময়কে ন্যূনতম করুন; গ) [আরও-এমএফটিএনডাব্লু] কোনও অপেক্ষার প্রক্রিয়া এবং বিপরীত-অর্ডার সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে সমাপ্তির সময়কে ন্যূনতম করুন।

$a$$b$$c$ একটি বহুপাক্ষিক সময়ের সমাধান স্বীকার করে।

সময়সূচির হ্যান্ডবুকের অতিরিক্ত বিবরণ , অধ্যায় 17।

Comments

$n$

সাহনি দেখিয়েছেন যে আপনি সর্বদা ঠিক দাস ব্যবহার করতে পারেন : "উপলব্ধ প্রসেসর দুটি বিভাগে বিভক্ত: মাস্টার এবং ক্রীতদাস If$n$$n$$n$$n$

আমার মতো মনে হচ্ছে সাহ্নির এনপি-কঠোরতার প্রমাণটি সমালোচনামূলকভাবে এই প্রক্রিয়াটি ব্যবহার করে যে প্রাক-প্রসেসিংয়ের সময় এবং প্রক্রিয়াকরণের পরে সময় নির্বিচারে হতে পারে। ওপি-র সমস্যাটি এই সমস্ত বারের সাথে সমান 1 টি হয় the প্রমাণ কি এই ক্ষেত্রে কাজ করে?

— পিটার শোর

ভোর, আপনি যে কাগজটি উল্লেখ করেছেন সেটি হ'ল বইয়ের ১ chapter তম অধ্যায় থেকে অনেক অনুপস্থিত অংশ রয়েছে with তবে অনুপস্থিত অংশটি আপনাকে সঠিকভাবে বুঝতে বাধা দেবে (স্বরলিপি স্বরলিপি ইত্যাদি)।

— ম্যাসিমো কাফেরো

পিটার, আমি নিশ্চিত নই এবং আমার প্রমাণও পরীক্ষা করা দরকার; যদি এটি কেবল প্রাক-প্রক্রিয়াজাতকরণের পূর্বে সময়> 0 প্রয়োজন হয় তবে এটি অনিয়ন্ত্রিত ন্যূনতম সমাপ্তি সময় সমস্যার কথা বিবেচনা করার সময় ওপির সমস্যাটি অন্তর্ভুক্ত করা উচিত। একই যুক্তি দ্বারা, এটি O ( n) এর পরিবর্তে নেতৃত্ব দেওয়া উচিত$O(n \log n)$