একে অপরের সমস্যা হ্রাস করার সাধারণ কৌশলগুলি কী কী?

Question

গণনযোগ্যতা এবং জটিলতার তত্ত্বে (এবং সম্ভবত অন্যান্য ক্ষেত্রগুলি), হ্রাস সর্বব্যাপী। অনেক ধরনের আছে, কিন্তু নীতি অবশেষ একই: শো এক সমস্যা কিছু অন্যান্য সমস্যা হিসাবে হার্ড হিসাবে অন্তত হয় থেকে ম্যাপিং ঘটনাগুলোর দ্বারা মধ্যে সমাধান সমতুল্য জনকে । মূলত, আমরা যে কোনো সমাধানকারী দেন এছাড়াও সমাধান করতে পারে আমরা যদি এটা প্রাক প্রসেসর যেমন হ্রাস ফাংশন ব্যবহার করার অনুমতি দেয়।$L_1$$L_2$$L_2$$L_1$$L_1$$L_2$

আমি বছরের পর বছরগুলিতে আমার অংশীদারিত্বের হ্রাসগুলি সম্পাদন করেছি এবং কিছু আমাকে বক করতে থাকে। যদিও প্রতিটি নতুন হ্রাসের জন্য একটি (আরও বা কম) সৃজনশীল নির্মাণ প্রয়োজন, কাজটি পুনরাবৃত্তি বোধ করতে পারে feel ক্যানোনিকাল পদ্ধতির একটি পুল আছে?

হ্রাস কার্যাবলী গঠনের জন্য নিয়মিত কী কী কৌশল, নিদর্শন এবং কৌশল ব্যবহার করা যেতে পারে?

^{এটি একটি রেফারেন্স প্রশ্নে পরিণত হওয়ার কথা । অতএব, দয়া করে সাধারণ দেওয়ার বিষয়ে যত্নবান হোন, যুক্তিযুক্তভাবে উত্তরগুলি দেওয়া হয়েছে যা অন্তত একটি উদাহরণ দ্বারা চিত্রিত করা হয়েছে তবে তবুও অনেকগুলি পরিস্থিতি coverেকে রাখে। ধন্যবাদ!}

Comments

হ্রাসের জন্য উপযুক্ত অংশীদার এবং আইডিয়া সন্ধানের জন্য কিছু ধারণার জন্য এখানে দেখুন ।

— রাফেল

Answer 1

বিশেষ কেস

ধরে আমরা দেখাতে চাই হ্রাস কিছু ধারণা থেকে সম্মান সঙ্গে । তাহলে একটি হল বিশেষ ক্ষেত্রে এর , যে বেশ তুচ্ছ: আমরা মূলত পরিচয় ফাংশন ব্যবহার করতে পারেন। এর পিছনে স্বজ্ঞাততা স্পষ্ট: সাধারণ ক্ষেত্রে কমপক্ষে বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে কঠোর।$L_1 \leq_R L_2$$R$$L_1$$L_2$

"অনুশীলন" ইন, আমরাও তা প্রদত্ত হই এবং ভালো হ্রাস অংশীদার অবচয় সমস্যার সাথে আটকে আছে , অর্থাত্ একটি বিশেষ ক্ষেত্রে খোঁজার যে হতে প্রমাণিত হয়েছে -hard।$L_2$$L_1$$L_2$$R$

সাধারণ উদাহরণ

ধরে নেওয়া যাক আমরা দেখাতে চাই যে কেএনএপস্যাক হ'ল এনপি-হার্ড। ভাগ্যক্রমে, আমরা জানি যে সাবসেট-সুম এনপি-সম্পূর্ণ, এবং এটি প্রকৃতপক্ষে কেএনএপস্যাকের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। হ্রাস

$\qquad f(A,k) = (A, (1,\dots,1), k, |A|)$

যথেষ্ট; Knapsack উদাহরণস্বরূপ জিজ্ঞেস করে যে কিনা আমরা অন্তত মান অর্জন করতে পারেন আইটেম মান যাতে থেকে সংশ্লিষ্ট ওজন তলদেশে থাকা মোট। সাবসেট-সুম অনুকরণের জন্য আমাদের ওজন সীমাবদ্ধতার প্রয়োজন নেই, তাই আমরা কেবল তাটোলজিক্যাল মানগুলিতে সেট করি।$(V,W,v,w)$$v$$V$$W$$w$

সাধারণ অনুশীলনের সমস্যা

MAX-3SAT সমস্যাটি বিবেচনা করুন: একটি প্রস্তাবিত সূত্র দেওয়া হয়েছে এবং পূর্ণসংখ্যার ,। এর কোনও ব্যাখ্যা আছে যা কমপক্ষে ধারাগুলি পূরণ করে তা স্থির করুন । এটি এনপি-হার্ড দেখান।$\varphi$$k$$\varphi$$k$

3 এসএটি একটি বিশেষ কেস; মিটার সাথে φ পর্যায়ে ক্লজগুলির সংখ্যা।$f(\varphi) = (\varphi, m)$$m$$\varphi$

উদাহরণ

ধরে নিই আমরা SUBSET-SUM সমস্যাটি তদন্ত করছি এবং দেখাতে চাই যে এটি এনপি-হার্ড।

আমরা ভাগ্যবান এবং জানি যে পার্টিশনের সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ। আমরা নিশ্চিত করে নিই যে এটি প্রকৃতপক্ষে SUBSET-SUM এর একটি বিশেষ কেস এবং গঠনের

$\qquad \displaystyle f(A) = \begin{cases} \left(A, \frac{1}{2}\sum_{a \in A} a\right) &, \sum_{a \in A} a\mod 2 = 0 \\ \left(A, 1 + \sum_{a \in A} |a|\right) &, \text{else} \end{cases}$

যেখানে পার্টিশনের ইনপুট সেট, এবং যে পরে একটি উপসেট জিজ্ঞেস উপসেট-সমষ্টি জন্য একটি দৃষ্টান্ত হল থেকে summing । এখানে, আমাদের কেস কোনও ফিটিং নেই সেদিকে ; সেক্ষেত্রে আমরা একটি স্বেচ্ছাচারী অপরিবর্তনীয় উদাহরণ দিই।$A$$(A,k)$$A$$k$$k$

অনুশীলন সমস্যা

বিবেচনা করুন সমস্যা দীর্ঘতম-path: একটি নির্দেশ গ্রাফ দেওয়া , নোড এর এবং পূর্ণসংখ্যা , সিদ্ধান্ত নেন সেখানে একটি সহজ থেকে পাথ কিনা করার মধ্যে অন্তত দৈর্ঘ্যের ।$G$$s,t$$G$$k$$s$$t$$G$$k$

দেখান যে দীর্ঘতম পাথ এনপি-হার্ড।

হ্যামিলটন-চক্র একটি সুপরিচিত দ্বারা NP-সম্পূর্ণ সমস্যা ও দীর্ঘতম-path একটি বিশেষ ক্ষেত্রে দেখা যায়; অবাধ নোডের জন্য মধ্যে যথেষ্ট। বিশেষত নোট করুন যে হ্যামিলটন-পাঠ থেকে হ্রাস করার জন্য আরও বেশি কাজের প্রয়োজন।$f(G) = (G,v,v,n)$$v$$G$

Comments

এখানে ট্র্যাভেল ক্রেতার সমস্যা (টিপিপি) নামে একটি উদাহরণ রয়েছে যা এর বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে অনেক কঠিন সমস্যা রয়েছে।

— জুহো

গণনযোগ্যতার আরেকটি উদাহরণ হ'ল বিশেষ থামানো সমস্যা (যা সাধারণত সরাসরি অনির্বাচিত প্রমাণিত হয়), সাধারণ থামানো সমস্যার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।

— রাফেল

কেএনএপস্যাক কি সত্যিই সাবসেট-এসইএম থেকে সঠিক হ্রাস? KNAPSACK মান জিজ্ঞাসা করে এবং সাবসেট-সুম সঠিক মান জিজ্ঞাসা করে, না? যেমন একটি সাবসেট-স্যাম উদাহরণ ল্যাঙ্গেল বর্ণটি একটি 'না' উদাহরণ হতে পারে (মান 5 এর সাথে কেবল একটি আইটেম থেকে আমি 4 পেতে পারি না), তবে আপনার কেএনএপস্যাক হ্রাস এটিকে হ্রাস করবে le ল্যাংল এবং , তাই এটি সেখানে 'হ্যাঁ' উদাহরণ হবে ... বা আমি কিছু মিস করছি? $>=v$$\langle \{5\},4 \rangle$$\langle \{5\},\{1\},4,1 \rangle$$5>4$

— জননি

Answer 2

কাছের সমস্যা হিসাবে পরিচিত vera

যখন কোন সমস্যার মুখোমুখি হয়, তখন ইতিমধ্যে শক্ত প্রমাণিত কোনও অনুরূপ সমস্যার জন্য অনুসন্ধান করার চেষ্টা করা ভাল। বা, সম্ভবত আপনি তাত্ক্ষণিকভাবে দেখতে পারেন যে কোনও সমস্যা জানা সমস্যাগুলির সাথে খুব মিল।

উদাহরণ সমস্যা

একটি সমস্যা বিবেচনা করুন

$$\text{DOUBLE-SAT} = \{ \varphi \mid \varphi \text{ is a boolean formula with at least 2 satisfying assignments } \}$$

আমরা দেখাতে চাই । আমরা দ্রুত নোট করি যে এটি আমাদের কাছে ইতিমধ্যে জানা একটি সমস্যার খুব কাছাকাছি, যা সন্তুষ্টি সমস্যা (স্যাট) ।$\mathsf{NP}$

to দেখাতে সোজা। শংসাপত্র দুটি কার্য। স্পষ্টতই, অ্যাসাইনমেন্টগুলি কোনও সূত্রকে সন্তুষ্ট করে কিনা তা বহুপক্ষীয় সময়ে পরীক্ষা করা যায়।$\mathsf{NP}$

$\mathsf{NP}$ -hardness থেকে কমানো থেকে অনুসরণ করে । একটি সূত্র , আমরা একটি নতুন ভেরিয়েবল প্রবর্তন করে এটি সংশোধন করি । আমরা সূত্রে একটি নতুন ধারা । এখন, যদি সন্তুষ্টযোগ্য হয় তবে এটি এবং both শীর্ষ উভয়ের সাথেই সন্তুষ্ট হবে । সুতরাং, কমপক্ষে 2 সন্তোষজনক কার্য রয়েছে। অন্যদিকে, যদি সন্তুষ্ট না হয় তবে এর মান নির্বিশেষে এটি অবশ্যই সন্তুষ্ট হবে না ।$\text{SAT}$$\varphi$$v$$(v \vee \neg v)$$\varphi$$v = \perp$$v = \top$$\varphi$$\varphi$$v$

এটি অনুসরণ করে যে হল -সম্পূর্ণ, যা আমরা এটি দেখাতে চেয়েছিলাম।$\text{DOUBLE-SAT}$$\mathsf{NP}$

কাছাকাছি সমস্যাগুলি সন্ধান করা

সমস্যা হ্রাস একটি শিল্পের মতো এবং অভিজ্ঞতা এবং দক্ষতার প্রায়শই প্রয়োজন। ভাগ্যক্রমে, অনেক কঠিন সমস্যা ইতিমধ্যে জানা গেছে । গ্যারি এবং জনসনের কম্পিউটার এবং ইন্টারেক্টিবেবিলিটি: থিওরি অফ এনপি-কমপ্লেনেসেসের জন্য একটি গাইড একটি ক্লাসিক যা তার পরিশিষ্টটি বহু সমস্যার তালিকাভুক্ত করেছে। গুগল স্কলারও বন্ধু।

Answer 3

গণ্যতার ক্ষেত্রে, আমরা প্রায়শই ট্যুরিং মেশিনের সেটগুলি তদন্ত করি। এটি হ'ল আমাদের অবজেক্টগুলি ফাংশন এবং আমাদের একটি গডেল নাম্বারে অ্যাক্সেস রয়েছে । এটি দুর্দান্ত কারণ আমরা যতক্ষণ না কম্পিউটারযোগ্য থাকব ততক্ষণ ইনপুট ফাংশনটি দিয়ে আমরা যা চাই তা করতে পারি।

ধরে নেওয়া যাক আমরা দেখাতে চাই যে নয়। আমাদের লক্ষ্য কিয়ামের সমতুল্য হওয়া$L$

$\qquad \langle M \rangle \in K \iff \langle f_M \rangle \in L$

সঙ্গে বিরাম সমস্যা (বা অন্য কোন undecidable ভাষা / সমস্যা)।$K = \{ \langle M \rangle \mid M(\langle M \rangle) \text{ halts} \}$

সুতরাং, আমাদের একটি ম্যাপিং নিয়ে আসা দরকার যাতে সর্বদা হয়। এটি একটি সৃজনশীল কাজ যা কিয়ামতের সমতুল্যতার দ্বারা অবহিত। এটি কীভাবে কাজ করে তার একটি ধারণা পেতে কয়েকটি উদাহরণ দেখুন:$\langle M \rangle \mapsto \langle f_M \rangle$$f_M$

• of এর পরিপূরক কমাতে ম্যাপিং$A_{\mathrm{TM}}$
• এই ভাষাগুলির যে কোনওটি অন্য ভাষায় হ্রাস করতে ম্যাপিং সম্ভব?

যে দেখানোর জন্য একই কাজ হ্রাস অংশীদার, যেমন অ-আধা নির্ধার্য ভাষায় চয়ন করে আধা নির্ধার্য নয় :$L$$\overline{K}$

• প্রদত্ত ট্যুরিং মেশিন দ্বারা ভাষার নিয়মিততা কি অর্ধ-নির্ধারণযোগ্য সম্পত্তি হিসাবে গৃহীত হয়?
• গণনাযোগ্য ধ্রুবক ফাংশনগুলির সেটটি পুনরাবৃত্তভাবে গণনাযোগ্য?

---

1. এখানেই গডেল নম্বরটি আসে: আমরা এই ম্যাপিংটির (কম্পিউটারের) নিখরচায় মূল্য পাই।

Answer 4

এটা জড়িত জটিলতা শ্রেণীর উপর নির্ভর করে, এবং এক একটি প্রদত্ত থেকে কমাতে চায় কিনা একটি অজানা থেকে , অথবা একটি অজানা একটি প্রদত্ত করার । সাধারণ পরিস্থিতি হ'ল সমস্যাগুলি এনপি হার্ড বা এনপি কমপ্লিট প্রমাণ করা। একটি সাধারণ কৌশল হ'ল একটি ডোমেইনে "গ্যাজেটগুলি" তৈরি করা যা একটি নির্দিষ্ট উপায়ে আচরণ করে, অন্য ডোমেনের আচরণ অনুকরণ করে। উদাহরণস্বরূপ, SAT কে ভার্টেক্স কভারে রূপান্তর করতে, একটিটি ভার্টেক্স কভারে "গ্যাজেটস" তৈরি করে যা স্যাট এর ধারাগুলির সাথে একই রকম আচরণ করে, যেমন নীচের স্লাইড শোতে: কৃষ্ণমূর্তি দ্বারা NP সম্পূর্ণ হ্রাস (হ্যামিল্টনের পথের উদাহরণ সহ)।$A$$B$$B$$A$

একটি কার্যকর কৌশলটি হ'ল সমস্যা সমাধানের জটিল সংকলন থেকে সমস্যার বড় সংকলন থেকে কাজ করা এবং অধ্যয়নরত সমস্যার "আপাত নিকটতম সমস্যাগুলি" খুঁজে পাওয়া। এই রেখাগুলি বরাবর একটি দুর্দান্ত রেফারেন্স হ'ল কম্পিউটার এবং ইন্টারেক্টিবিলিটি, এনপি সম্পূর্ণতার তত্ত্বের গাইড, গ্যারি এবং জনসন বিভিন্ন সমস্যার ধরণের দ্বারা সংগঠিত।

Comments

আপনি যদি প্রশ্নটিতে পাদটীকা লক্ষ্য করেন তবে আমি অবাক হই। আমি মনে করি উত্তরগুলি খুব সুনির্দিষ্ট হওয়া উচিত এবং কীভাবে একটি নির্দিষ্ট পদ্ধতি প্রয়োগ করা হয় তা প্রদর্শন করা উচিত। এটি বেশ অস্পষ্ট এবং সাধারণ বলে মনে হচ্ছে। উন্নতি হিসাবে, কীভাবে গ্যাজেটগুলি নির্মাণ এবং ব্যবহার করা যায় তা আপনি কীভাবে দেখান?

— জুহো

এছাড়াও: আপনি ব্যাখ্যা করতে পারেন যে কিছু কেন জড়িত জটিলতার ক্লাসগুলির উপর নির্ভর করে এবং কীভাবে। এছাড়াও, যদি আমি থেকে যেতে চান থেকে বা থেকে , আমি তারপর কি করবেন? "নিকটতম সমস্যা" সম্পর্কে কী - আপনি এক জোড়া সমস্যার উদাহরণ দিতে পারেন? $A$$B$$B$$A$

— জুহো

পাওয়ারপয়েন্টটি ব্যবহৃত হচ্ছে গ্যাজেটগুলির দুটি উদাহরণ দেখায়। নিকটতম সমস্যার উদাহরণ: ধরুন সংখ্যা তত্ত্ব সম্পর্কিত কোনও সমস্যা আছে one সংখ্যা তত্ত্ব সম্পর্কিত জি অ্যান্ড জে এর একটি বিভাগ আছে। ইত্যাদি। এনপি বাইরে অন্যান্য জটিলতা ক্লাস হিসাবে, অনেক আছে, কিন্তু সমস্যাগুলির তালিকাগুলি পুরোপুরি বা তাত্ক্ষণিকভাবে প্রাপ্ত হয় না। সুতরাং অন্য কথায় মূল প্রশ্নটি সংকীর্ণ করার জন্য সম্ভবত এটি এনপি সম্পূর্ণ কমানোর মধ্যে সীমাবদ্ধ হওয়া উচিত ...?

— vzn

আমি উত্তরে সমস্ত তথ্য যুক্ত করার পরামর্শ দিচ্ছি, কারণ মন্তব্যগুলি যে কোনও সময় মুছে ফেলা হতে পারে। স্লাইডগুলির লিঙ্কটি আগামীকালও ভেঙে যেতে পারে। কি আমি কাছাকাছি সমস্যার সাথে এ পেয়ে ছিল: কি আমি কি করবেন ঠিক একবার আমি একটা সমস্যা অনুরূপ এটি (অনুমান করছি যে একটি মোট শিক্ষানবিস করছি)?

— জুহো