হিদোকু এনপি কি সম্পূর্ণ?

একজন Hidoku একটি হল $n \times n$ 1 থেকে কিছু আগে থেকে পূরণ পূর্ণসংখ্যার সঙ্গে গ্রিড $n^2$ । লক্ষ্যটি হ'ল গ্রিডে ধারাবাহিক পূর্ণসংখ্যার একটি পথ (1 থেকে $n^2$ ) সন্ধান করা। আরো কংক্রিট, গ্রিড প্রতিটি কক্ষে 1 থেকে একটি ভিন্ন পূর্ণসংখ্যা থাকা আবশ্যক $n^2$ এবং মান সঙ্গে প্রতিটি সেল $z ≠ n^{2}$ মান প্রতিবেশী সেল থাকতে হবে $z + 1$ (এছাড়াও তির্যকভাবে হতে পারে)।

প্রদত্ত হিডোকু দ্রবণযোগ্য কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার পক্ষে কি এনপি কঠিন? কি হ্রাস ব্যবহার করা যেতে পারে?

সম্পাদনা করুন: মন্তব্য অনুসারে, আমি একটু স্পষ্টতা দিচ্ছি। প্রদত্ত কক্ষগুলির একটি গ্রিড দেওয়া আছে, এর মধ্যে কয়েকটিতে ইতিমধ্যে মান রয়েছে (1 থেকে n² পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যা)। আমাদের অবশ্যই 1 থেকে অবধি পূর্ণসংখ্যার সমস্ত অবশিষ্ট কক্ষ পূরণ করতে হবে $n^2$ , যেমন কোনও দুটি কোষের মান একই হয় না এবং যে মান সাথে প্রতিটি কোষের প্রতিবেশী থাকে তার সাথে । অর্থাৎ, ঘরগুলি পূরণ করার পরে, আমাদের অবশ্যই পাথটি খুঁজে বের করতে হবে । গ্রিডে, যা প্রতিটি ঘরে যৌক্তিকভাবে পরিদর্শন করে। $z ≠ n²$ $z + 1$ $1, 2, 3,\cdots, n^2$

হিদোকু ওয়াউডের উদাহরণ হ'ল http://www.janko.at/Raetsel/Hidoku/018.c.gif । ইতিমধ্যে সমাধান হওয়া হিদোকু হ'ল http://diepresse.com/images/uploads/3/f/7/586743/spectrumsommerraetsel_7august_hidoku_schwer_loesung20100810172340.gif , যেখানে আপনি যে পথটি উল্লেখ করছি তা আপনি দেখতে পাচ্ছেন।

complexity-theory reductions np-hard

— IPSec
সূত্র

স্বজ্ঞাতভাবে, এর মাধ্যমে খুব বেশি চিন্তা না করে, এটি প্রথম নজরে পলটাইমকে দ্রবণযোগ্য মনে হয়। অনুমোদিত মানগুলিতে গতিশীল প্রোগ্রামিংয়ের মতো কিছু ( ) এবং শীর্ষগুলি ( )। সময়ে দ্রবণযোগ্য মনে হয় ।

1, \dots, n^{2}

$1, \dots, n^2$

v_{1}, \dots v_{n}

$v_1, \dots v_n$

O (n^{3})

$O(n^3)$

— পল জিডি

এই ধার সম্বলিত নোড সংযোগ গ্রাফ হিসাবে equivalently অনুকরণে করা যেতে পারে, যদি তারা উত্তরাধিকারী । তারপরে, আপনি হ্যামিল্টনের পথ খুঁজছেন। গ্রীক গ্রাফের হ্যামিল্টন পাথ অনুসারে Itai ET AL। (1982) এই সমস্যাটি গ্রিড গ্রাফগুলিতে এনপি-সম্পূর্ণ। আপনি তির্যক সংযোগগুলি মঞ্জুর করার কারণে এটি আপনার সমস্যার সাথে সাথে ফিট করে না তবে এটি খারাপভাবে হ্রাস পাবে।

N

$\mathbb{N}$

— রাফেল

@ রাফেল কি নির্ধারিত গ্রাফ ডিএজি না?

— পল জিডি

আমি দেখতে পাচ্ছি না এটি কীভাবে একটি ড্যাগ। যতদূর আমি বুঝতে পারি, ইনপুটটি হ'ল (অনির্দেশিত) গ্রিড গ্রাফ (এছাড়াও তির্যক প্রান্তযুক্ত) এবং লক্ষ্য হ্যামিলটোনীয় পাথ সন্ধান করা যেখানে পাথের কয়েকটি নোডের অবস্থান দেওয়া হয়।

— জর্জ

@ জর্জি ওকে, আমি গ্রিডে মূল্যবৃদ্ধির সর্বাধিক পথ সন্ধানের হিসাবে প্রশ্নটি ব্যাখ্যা করেছি!

— পল জিডি

উত্তর:

আমি মনে করি এটি কমপ্লিট: রাফেলের দ্বারা যেমনটি লক্ষ্য করা গেছে, হোল সমস্যা নিয়ে গ্রিড গ্রাফগুলিতে হ্যামিল্টোনিয়ান চক্রটি এনপি-সম্পূর্ণ ( অ্যালন ইটাই, ক্রিস্টোস এইচ পাপাদিমিট্রিও, জেমে লুইজ সাজার্কিফাইটার: গ্রিড গ্রাফের হ্যামিল্টন পাথস) সিয়াম জে.কম্পুট। 11 (4): 676-686 (1982) )। $\sf{NP}$

সুতরাং গর্ত সহ একটি গ্রিড গ্রাফ দেওয়া , আপনি সহজেই একটি সমতুল্য হিডোকু খেলা তৈরি করতে পারেন যেখানে প্রাথমিক নির্দিষ্ট কোষগুলি সমস্ত এমনকি তির্যক পূরণ করে; খালি অদ্ভুত ত্রিভুজগুলি একটি অপরিবর্তিত গ্রাফ গঠন করে যা মূল গ্রিড গ্রাফ সমতুল্য এবং হিদোকুর একটি সমাধান থাকে যদি এবং কেবলমাত্র গ্রিড গ্রাফের হ্যামিলটোনীয় পাথ থাকে। $G$ $G$

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

চিত্র 1: ছিদ্রযুক্ত গ্রিড গ্রাফ এবং সমতুল্য হিদোকু ধাঁধা (নীল কোষগুলি প্রাথমিক নির্দিষ্ট সংখ্যাযুক্ত কোষগুলিকে উপস্থাপন করে ( প্রথম, শেষ)), সাদা কোষগুলি এমন কোষ যা খেলোয়াড়কে পূরণ করতে হবে, বেগুনি রেখা প্রাথমিক নির্দিষ্ট নম্বরযুক্ত কক্ষগুলির ক্রম নির্দেশ করে)। $12 \times 12$ $1$ $144$

বর্গক্ষেত্র তৈরি করতে সহায়ক (ভরাট) লাইনগুলি নীচে বা ডানদিকে যুক্ত করা যেতে পারে।

গ্রিড গ্রাফ থেকে হিডোকু ধাঁধাতে হ্রাসের আরেকটি উদাহরণ: 6x4 গ্রিড গ্রাফটি একটি বৃহত্তর 13x13 গ্রিডে এম্বেড করা হয়েছে; এমনকি ত্রিভুজগুলি নির্দিষ্ট সংখ্যায় পূর্ণ থাকে এবং বাকী ফ্রি সেলগুলি মূল গ্রিড গ্রাফের সমতুল্য।

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

রূপান্তর সহ পুরো ছবিটি এখানে ডাউনলোড করা যায় ।

উত্তরটি সম্পূর্ণ করার জন্য কিছু অতিরিক্ত নোট:

সমস্যাটি হিদাতো নামেও পরিচিত ; বোর্ডের একটি স্বেচ্ছাসেবী আকার থাকতে পারে (তবে বর্গাকার ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ হিসাবে এটি এনপি-হার্ড থেকে যায়);
স্টিভেন স্টাডনিকি তার উত্তরে যথাযথ প্রমাণ হিসাবে প্রমাণিত নয় যে প্রাথমিকভাবে আংশিকভাবে পূরণ করা গ্রিডটিকে পূর্ণসংখ্যার অ্যারে হিসাবে দেওয়া না হলেও কিছুটা সংক্ষিপ্ত প্রতিনিধিত্ব করা হয়; তবে এটি এনপিতে স্পষ্টতই যদি প্রাথমিক বোর্ডকে পূর্ণসংখ্যার উপস্থাপনের যুক্তিসঙ্গত তালিকা ব্যবহার করে দেওয়া হয় ; $n \times n$
আমি মনে করি যে গেমের মূল নিয়মগুলি বলে যে সমাধানটি অনন্য হওয়া উচিত ; সুতরাং সমস্যাটি মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে (ইউএস-হার্ড), এবং এনপি-তে থাকার সম্ভাবনা কম।

সংক্ষেপে, আমরা যদি অনন্য সমাধানের সীমাবদ্ধতা ছেড়ে দিই এবং একটি তালিকা সহ প্রাথমিক বোর্ডটি নির্দিষ্ট করি $n^2$ পূর্ণসংখ্যার তবে গেমটি com অসম্পূর্ণ। $\sf{NP}$

— মাস
সূত্র

এটি কি কোনও ডিএজি নয়? আমি কি পুরোপুরি প্রশ্নটি ভুল বুঝেছি?

— পল জিডি

@ পেলজিডি: না, আমি এটি একটি ডিএজি বলে মনে করি না, এটি একটি তির্যক প্রান্তযুক্ত গ্রিড গ্রাফ। খেলাটি একটি আংশিক ভরা বোর্ডের সাথে শুরু হয় এবং প্লেয়ারটি অবশ্যই সেল 1 থেকে শুরু হয়ে অर्थোগোনাল বা তির্যক পদক্ষেপগুলি তৈরির শেষের দিকে পৌঁছাতে হবে (তবে সম্ভবত আমি নিয়মগুলি খুব ভালভাবে স্মরণ করি না ... এখন আমি এটি যাচাই করি)

— ভোর

তবে এটি বলেছে "ধারাবাহিক সংখ্যার একটি পথ সন্ধান করুন"।

— পল জিডি

সম্ভবত এর সহজ অর্থ হ'ল এটি একই কক্ষটি দু'বার দেখতে পারবেন না এবং সমস্ত কক্ষ অবশ্যই পরিদর্শন করতে হবে

— ভোর

"লক্ষ্যটি গ্রিডে ক্রমাগত পূর্ণসংখ্যার একটি পথ (

থেকে

) খুঁজে পাওয়া"?

1

$1$

n^{2}

$n^2$

— পল জিডি

এক সূক্ষ্ম ধরা: যখন আমি মনে করি যে, শ্যামাঙ্গিণী এর উত্তর ব্যাখ্যা কেন এটা দ্বারা NP-কঠিন হবে একটি প্রশংসনীয় ভাল কাজ করে, তা অবিলম্বে পরিষ্কার নয় যে সমস্যা মধ্যে দ্বারা NP, আপনাকে ইনপুট আকার কি সংজ্ঞায়িত উপর নির্ভর করে! নোট করুন যে কোনও গ্রিডের জন্য সমস্যার স্পেসিফিকেশন আসলে আকারের হতে হবে না ; এটিতে পূর্ণসংখ্যা (আকারের ) এবং কয়েকটি সংখ্যার তিনটি সংখ্যা থাকে $n\times n$ $\Omega(n)$ $n$ $\lg n$ প্রাথমিক মানগুলিরট্রিপল্ট নির্দিষ্ট না করে থাকে তবে আপনার মোট ইনপুট আকারটি আসলে হতে পারে বলছেন যে স্থানাঙ্কযুক্ত ঘর $(x_i, y_i, w_i): x_i, y_i\leq n, w_i\leq n^2$ মান ; এই ত্রিভুজগুলির প্রত্যেকটির আকার , সুতরাং আপনার কমপক্ষে $(x_i, y_i)$ $w_i$ $\lg n + \lg n + \lg n^2 = 4\lg n\in O(\lg n)$ $\Omega(n)$ । $o(n)$

এটি আপনার পক্ষে কমপক্ষে need প্রয়োজন খুব সম্ভব $\Omega(n)$

(অনুরূপ ইস্যুগুলির আলোচনার জন্য, সাম্প্রতিক নুরিকাবে জটিলতার বিষয়ে আমার প্রশ্নটি কিছুক্ষণ আগে দেখুন সিটিওরি.এসই সাইটে নুনিকাবে )

— স্টিভেন স্টাডনিকি
সূত্র

অ্যানারিতে বোর্ডের আকার নির্দিষ্ট না করা আমাকে অযৌক্তিক ব্যাখ্যা হিসাবে আঘাত করে।

— ডেভিড আইজেনস্ট্যাট

@ ডেভিডইজনস্ট্যাট এটি প্রাকৃতিক ব্যাখ্যাটি অগত্যা নয় , তবে এটি আমার কাছে একেবারে বৈধ বলে মনে হচ্ছে।

— স্টিভেন স্টাডনিকি

@ স্টিভেনস্ট্যাডনিকি: আমি আপনার সাথে একমত, আমি বাইনারি ধাঁধাটির এনপি-সম্পূর্ণতার প্রমাণে একই ধরণের নোট তৈরি করেছি যা আমি সম্প্রতি cstheory.stackexchange.com এ পোস্ট করেছি। যদিও অ-অখণ্ডত উপস্থাপনাটি এতটা যুক্তিসঙ্গত নয় :-)। আমি আমার উত্তরে একটি নোট যুক্ত করব। এবং সমাধানের স্বতন্ত্রতার সমস্যাটিও আমার সমাধান করা উচিত; কারণ আমি মনে করি যে মূল বিধিগুলি বলে যে সমাধানটি অনন্য হওয়া উচিত।

— ভোর