বহুভুজের এলোমেলো নমুনা

Question

আমি বহুভুজের মধ্যে অভিন্ন র্যান্ডম পয়েন্ট নমুনা করতে চাই ...

যদি একটি বৃহত সংখ্যার নমুনা থাকে তবে তারা একই অঞ্চল থাকলে দুটি অঞ্চলে পড়ার সমান সম্ভাবনা।

এটি বেশ সহজ যদি এটি একটি বর্গক্ষেত্র ছিল যেহেতু আমি আমার স্থানাঙ্ক হিসাবে [0,1] এ দুটি এলোমেলো সংখ্যা নেব।

আমার আকৃতিটি একটি নিয়মিত বহুভুজ, তবে আমি এটি যে কোনও বহুভুজের জন্য কাজ করতে চাই।

/programming/3058150/how-to-find-a-random-point-in-a-quadrangle

Answer 1

1. বহুভুজ ত্রিভঙ্গীকরণ
2. কোনটি ত্রিভুজটিতে বিন্দুটি থাকা উচিত তা নির্ধারণ করুন (ত্রিভুজ অঞ্চলগুলির ওজন)
3. এই পোস্টে বর্ণিত ত্রিভুজের বিন্দুটি নমুনা করুন

Comments

এই প্রশ্নটি আপনার লিঙ্ক করা পুরানোটির সদৃশ নয়?

— রাফেল

@ রাফেল: সম্পর্কিত, তবে আরও সাধারণ, আমি বলব।

— এ.শুলজ

Answer 2

একটি সহজ উপায় হ'ল আপনার বহুভুজের জন্য সীমানা বাক্সটি খুঁজে পাওয়া এবং প্রত্যাখ্যানের নমুনা ব্যবহার করা: বাউন্ডিং বক্স থেকে নমুনা গ্রহণ করুন এবং যদি বহুভুজের মধ্যে পড়ে তবে তা গ্রহণ করুন, যা সম্ভাবনার সাথে ঘটবে $1/2$ কমপক্ষে (আমার মনে হয়)

আরেকটি সম্ভাবনা হ'ল আপনার বহুভুজটি ত্রিভঙ্গীকরণ করা। প্রথমে অনুপাতযুক্ত উপায়ে ত্রিভুজটি নমুনা করুন, তারপরে ত্রিভুজের একটি এলোমেলো বিন্দুর নমুনা করুন। পরবর্তীটি সহজ: অ্যাফাইন ট্রান্সফর্মেশনগুলি পর্যন্ত সমস্ত ত্রিভুজগুলি ফর্মের$\{(x,y) : x,y \geq 0, x+y \leq 1\}$। সেই বিতরণ থেকে অভিন্ন বিন্দুর নমুনা করতে, প্রথম নমুনা$x \in [0,1]$ ঘনত্ব অনুযায়ী $2(1-x)$ (যেমন একটি ইউনিফর্ম নমুনা $r \in [0,1]$ এবং গণনা $x = 1-\sqrt{1-r}$) এবং তারপরে নমুনা $y \in [0,1-x]$ অভিন্ন (যেমন একটি ইউনিফর্ম নমুনা) $s \in [0,1]$ এবং গণনা $y = (1-x)s$)। একটি এমনকি সহজ পদ্ধতি নমুনা হয়$x,y \in [0,1]$, এবং যদি $x+y > 1$ প্রতিস্থাপন করা $(x,y)$ সঙ্গে $(1-x,1-y)$।

Comments

প্রত্যাখ্যানের নমুনাটি 2 মাত্রায় সর্বাধিক 1/2 এর সাথে সম্ভাব্যতার সাথে প্রত্যাখ্যান করবে তবে উচ্চতর মাত্রায় প্রত্যাখ্যানের সম্ভাবনাটি আরও খারাপ হতে পারে।

— ডিডাব্লিউ

প্রত্যাখ্যান স্যাম্পলিংয়ে 1/2 এর চেয়ে বড় প্রত্যাখ্যান হার থাকতে পারে। শুধু একটি সর্পিল সম্পর্কে চিন্তা করুন, সামান্য extruded।

— এ.শুলজ

বহুভুজের উত্তল হওয়ার নিশ্চয়তা থাকলে কী হবে?

— যুবাল ফিল্মাস

যদি আপনার বাউন্ডিং-বাক্সগুলি অক্ষ-সংযুক্ত থাকে, তবে উত্তেজনা কোনও সহায়ক নয়; পূর্ববর্তী প্রশ্নের উত্তরগুলির পরামর্শ অনুসারে, খুব বড় এক্সের জন্য কেবল (0, 1), (1, 0) এবং (x, x) সহ একটি ত্রিভুজটি বিবেচনা করুন - এটি তার সীমানা বাক্সের একটি ছোট্ট অনুপাত গ্রহণ করবে এক্স অনন্ত যেতে হিসাবে আপনি যদি সবচেয়ে ছোট ছোট বাউন্ডিং বাক্সের বিষয়ে কথা বলছেন তবে আপনার উত্তল আকৃতিটি যে পরিমাণ ভলিউমটি নিয়েছে আপনি সম্ভবত তার সীমানা অর্জন করতে পারেন তবে আপনাকে বাক্সটি সন্ধান করতে হবে ...

— স্টিভেন স্টাডনিকি

Answer 3

এটি কিছুটা ক্রেজি, তবে আপনার বহুভুজ খুব অদ্ভুত থাকলেও ভালভাবে কাজ করা উচিত।

ইউনিট ডিস্ক থেকে আপনার বহুভুজের একটি কনফরমাল মানচিত্র খুঁজে পেতে রিমন ম্যাপিং উপপাদকটি ব্যবহার করুন , এটির উপসেট হিসাবে দেখছেন$\mathbb{C}$। দেখুন, উদাহরণস্বরূপ উল্লেখগুলি:

http://siam.org/pdf/news/1297.pdf

তারপরে মেট্রোপলিস-হেস্টিংস এমসিসিএম স্যাম্পলিংয়ের প্রস্তাবনের ঘনত্ব হিসাবে ডিস্কে অভিন্ন ঘনত্বের পুশফোরওয়ার্ডটি ব্যবহার করুন ।

Comments

কনফর্মাল মানচিত্রগুলি প্রয়োজনীয়ভাবে অঞ্চল-সংরক্ষণের নয়; তারা সংরক্ষণের কোণ , তবে এটি প্রায় গ্যারান্টিযুক্ত যে বহুভুজটি সমানভাবে নমুনা না করে।

— স্টিভেন স্টাডনিকি

সুতরাং এটি এমসিএমসিতে একটি প্রস্তাব হিসাবে ব্যবহার করার দরকার, প্রকৃত নমুনা হিসাবে নয়। পয়েন্ট কেয়ার অসমতার সাথে আপনি ইউনিফর্ম থেকে কনফরমাল মানচিত্রের প্রকরণটি ধ্রুবক দ্বারা আবদ্ধ করতে পারেন।

— নিক

আমি সম্ভবত এখনও এটি মিস করছি; উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় নির্দেশিত আলোচনায় বলা হয়েছে যে 'ট্রায়াল বিতরণ' এখনও সরাসরি হওয়া দরকার পছন্দসই বিতরণের জন্য সমানুপাতিক ; যেমন, না$aP(x)\lt f(x)\lt bP(x)$ কিছু ধ্রুবক জন্য $a$ এবং $b$, কিন্তু $f(x) = cP(x) \forall x$। ম্যাপযুক্ত ঘনত্বের স্থানীয় বৈকল্পিকতা স্যাম্পলিংয়ে এখনও স্থানীয় বৈকল্পিকতায় নিয়ে যাবে।

— স্টিভেন স্টাডনিকি

মেট্রোপলিস হেস্টিংস এমসিএমসির পুরো বিষয়টি হ'ল প্রস্তাবটি সত্যিকারের বিতরণ নয়। এমসিএমসি চেইনের কনভার্জেন্সি গতি নির্ভর করে প্রস্তাবটি কতটা সত্যিকারের বন্টনের প্রায় কাছাকাছি চলেছে তার উপর। আপনি যে নমুনা দেওয়ার চেষ্টা করছেন তা বিবেচনা না করেই সর্বাধিক প্রচলিত প্রস্তাবটি বর্তমান পয়েন্টে গাউসিকে রাখছে ...

— নিক অ্যালগার