মার্টিন-লফ টাইপ তত্ত্বের পরিচয়

36

টাইপ থিওরি সম্পর্কে পের মার্টিন-লফসের ধারণার সর্বোত্তম ভূমিকা কী হবে? আমি ওরেগন পিএল গ্রীষ্মকালীন স্কুল থেকে কিছু বক্তৃতা দেখেছি, কিন্তু আমি এখনও নিম্নলিখিত প্রশ্নটি দ্বারা বিস্মিত এক ধরণের:

এক প্রকার কি?

আমি জানি একটি সেট কী, যেহেতু আপনি এগুলি সাধারণ জেডএফ অ্যাকোমিকগুলি দ্বারা তাদের সংজ্ঞায়িত করতে পারেন এবং তাদের একটি খুব স্বজ্ঞাত কংক্রিটের মডেল রয়েছে; শুধু স্টাফ ভরা একটি ঝুড়ি মনে। তবে, আমি এখনও কোনও ধরণের যুক্তিসঙ্গত সংজ্ঞা দেখতে পাইনি এবং আমি ভাবছিলাম যে এমন কোনও উত্স আছে যা এই ধারণাটি ডামির জন্য ছড়িয়ে দেবে।

logic type-theory

— DST
সূত্র

4

HoTT বইয়ের একটি ভূমিকা রয়েছে যা প্রকার এবং সেটগুলির সাথে তুলনা করে, সম্ভবত এটি সাহায্য করবে, homotopytypetheory.org/book এর বিভাগ 1.1 দেখুন । তবে আরও গুরুত্বপূর্ণ, আপনি চান যে আমরা সরাসরি আপনার মাথার মধ্যে প্রকারের সঠিক ধারণাটি রোপণ করতে পারি, তবে সেটগুলির জন্য "তারা আসলে কী" তা জোর না করে জড়িত না করে সেটগুলি অ্যাক্সিম দ্বারা বর্ণিত বলে আপনি খুশি হন। আচ্ছা, প্রকারভেদগুলি প্রকারের জন্য অনুমানের বিধি দ্বারা বর্ণিত হয়। এবং তাদের একটি খুব স্বজ্ঞাত কংক্রিটের মডেল রয়েছে, আপনি জানেন, লেগো ব্লকগুলিতে ভরপুর একটি বেস্ক। আপনি এগুলি থেকে যা কিছু তৈরি করতে পারেন তা টাইপ।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

আমার মতে সেট থিউরি থেকে আমার মস্তিষ্ককে দূরে সরিয়ে নেওয়া সবচেয়ে বড় সমস্যা। তবে লেগো উপমাটি কতটা ভাল তা আমি নিশ্চিত নই। ব্লক কি কি? যদি x: A এবং y: A সাধারণত এগুলি পুনরাবৃত্তকারী তীরের ধরণ না হয় তবে আমি তাদের কাছ থেকে কিছুই তৈরি করতে পারি না। অবশ্যই আমি প্রায়ই বিভিন্ন ধরনের কাপড় মিশ্রিত করা যাবে তৃতীয় ধরনের বিল্ড কিছু ...

— DST

4

লেগো ব্লকগুলি টাইপ কনস্ট্রাক্টর। সুতরাং উদাহরণস্বরূপ

এবং

আপনি

এবং

, এবং

এবং

। আপনি নতুন প্রকারগুলিও তৈরি করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ

এবং

x : A

$x : A$

y : A

$y : A$

(x, y)

$(x,y)$

(x, x)

$(x,x)$

i n l (x)

$\mathsf{inl}(x)$

{r e l f}_{x}

$\mathsf{relf}_x$

λ z : A . x

$\lambda z : A . x$

I d (x, y)

$\mathsf{Id}(x,y)$

, এবং আরও অনেক কিছু। প্রকারগুলি সম্পর্কে লোকের বিভিন্ন স্বীকৃতি রয়েছে। সেটগুলি সেগুলির মধ্যে একটি, তবে অশোধিত। প্রকারগুলিও টপোলজিক্যাল স্পেসগুলির মতো। এগুলি প্রোগ্রামিংয়ের কাঠামোগত তথ্যের মতো। এগুলিও

-গোষ্ঠীগুলিরমতো। এটাই এর সৌন্দর্য, সম্ভাবনার nessশ্বর্য। একটি সম্ভাব্যতা চয়ন করুন এবং এটি দিয়ে চালান।

\sum_{z : A} I d (x, z)

$\sum_{z : A} \mathsf{Id}(x,z)$

ω

$\omega$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

31

একটি প্রকার গণনার সম্পত্তি। এটি আপনি কোলনের ডানদিকে লিখেছেন।

আমাকে এ সম্পর্কে বিস্তারিত জানাতে দিন। লক্ষ করুন যে পরিভাষাটি পুরোপুরি মানসম্পন্ন নয়: কিছু নিবন্ধ বা বইগুলি নির্দিষ্ট ধারণার জন্য বিভিন্ন শব্দ ব্যবহার করতে পারে।

একটি পদ একটি বিমূর্ত সিনট্যাক্সের একটি উপাদান যা গণনা উপস্থাপনের উদ্দেশ্যে তৈরি হয়। স্বজ্ঞাতভাবে, এটি একটি পার্স গাছ। সাধারণত, এটি একটি সীমাবদ্ধ গাছ যেখানে নোডগুলি কিছু বর্ণমালার অন্তর্ভুক্ত। একটি টাইপযুক্ত ক্যালকুলাস পদগুলির জন্য একটি বাক্য গঠন নির্ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, (অব্যক্ত) ল্যাম্বদা ক্যালকুলাসে তিন ধরণের নোড থেকে তৈরি পদ (লিখিত , , ইত্যাদি) রয়েছে: $M$ $N$

ভেরিয়েবল, আরটি 0 এর (একটি গণ্যকর সংগ্রহ), লিখিত , , ইত্যাদি; $x$ $y$
ভেরিয়েবলের প্রয়োগ, আরটি ১ টির (এর একটি গণ্যমানের সংগ্রহ, এর সাথে ভেরিয়েবলের সাথে বাইজেশন) লিখিত , ইত্যাদি; $\lambda x. M$
আবেদন, আরটি 2, লিখিত । $M \, N$

একটি শব্দ একটি সিনট্যাকটিক নির্মাণ। একটি শব্দার্থবিজ্ঞান শর্তাদি গণনার সাথে সম্পর্কিত। শব্দার্থবিজ্ঞানের অনেক প্রকার রয়েছে, সর্বাধিক প্রচলিত ক্রিয়াকলাপ (শর্তগুলি কীভাবে অন্য পদে রূপান্তরিত করা যায় তা বর্ণনা করে ) বা নোটোটেশনাল (সাধারণত সেট থিওরি থেকে নির্মিত অন্য স্থানের রূপান্তর দ্বারা পদগুলি বর্ণনা করে)।

একটি প্রকার শর্তাবলী একটি সম্পত্তি। একটি টাইপ সিস্টেম একটি untyped ক্যালকুলাস জন্য বর্ণনা করে যে পদটি যা ধরনের আছে। গাণিতিকভাবে, মূলতে, একটি টাইপ সিস্টেম হ'ল শর্তাদি এবং প্রকারের মধ্যে একটি সম্পর্ক। আরও সঠিকভাবে, একটি টাইপ সিস্টেমটি এমন সম্পর্কের একটি পরিবার, প্রসঙ্গে সূচকযুক্ত - সাধারণত, একটি প্রসঙ্গে ভেরিয়েবলের জন্য কমপক্ষে প্রকার সরবরাহ করা হয় (অর্থাত্ একটি প্রসঙ্গটি ভেরিয়েবল থেকে বিভিন্ন ধরণের একটি আংশিক ফাংশন), যেমন একটি শব্দটিতে কেবল একটি টাইপ থাকতে পারে প্রসঙ্গে যা এর সমস্ত বিনামূল্যে ভেরিয়েবলের জন্য একটি প্রকার সরবরাহ করে। কোন ধরণের গাণিতিক অবজেক্ট টাইপ সিস্টেমের উপর নির্ভর করে।

কিছু কিছু সিস্টেম সেট হিসাবে প্রকারভেদ, ইউনিয়ন এবং বোধগম্য মত তত্ত্ব ধারণা ব্যবহার করে টাইপ সঙ্গে বর্ণনা করা হয়। এটি পরিচিত গাণিতিক ভিত্তিতে বিশ্রাম নেওয়ার সুবিধা রয়েছে। এই পদ্ধতির একটি সীমাবদ্ধতা হ'ল এটি সমতুল্য ধরণের সম্পর্কে যুক্তি দেয় না।

$\tau$

$A$ $B$
$\tau_0 \rightarrow \tau_1$

পদ এবং প্রকারের মধ্যকার সম্পর্ক যা সাধারণত টাইপ করা ল্যাম্বদা ক্যালকুলাসকে সংজ্ঞায়িত করে সাধারণত টাইপিং বিধি দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয় । টাইপিং বিধিগুলি কোনও টাইপ সিস্টেমকে সংজ্ঞায়িত করার একমাত্র উপায় নয়, তবে এগুলি সাধারণ। তারা কম্পোজিশনাল টাইপ সিস্টেমগুলির জন্য, যেমন টাইপ সিস্টেমগুলির জন্য ভাল কাজ করে যেখানে কোনও পদটির টাইপ (গুলি) সাবটারমের ধরণের থেকে তৈরি হয়। টাইপিং বিধিগুলি প্রকারভেদে একটি প্রকারের সিস্টেমকে সংজ্ঞায়িত করে: প্রতিটি টাইপিং নিয়ম এমন একটি অট্টালিকা যেটি বলে যে অনুভূমিক নিয়মের উপরে সূত্রগুলির কোনও ইনস্ট্যান্টিশনের জন্য, নিয়মের নীচের সূত্রটিও সত্য। টাইপিংয়ের নিয়মগুলি কীভাবে পড়বেন দেখুন ? আরো বিস্তারিত জানার জন্য. এখানে কি কোনও টুরিং সম্পূর্ণ টাইপড ল্যাম্বদা ক্যালকুলাস রয়েছে? আগ্রহেরও হতে পারে।

$\Gamma \vdash M : \tau$ $M$ $\tau$ $\Gamma$

\frac{x : τ \in Γ}{Γ ⊢ x : τ} (Γ) \frac{Γ, x : τ_{0} ⊢ M : τ_{1}}{Γ ⊢ λ x . M : τ_{0} \to τ_{1}} (\to I) \frac{Γ ⊢ M : τ_{0} \to τ_{1} Γ ⊢ N : τ_{0}}{Γ ⊢ M N : τ_{1}} (\to E)

$\dfrac{x:\tau \in \Gamma}{\Gamma \vdash x : \tau}(\Gamma) \qquad \dfrac{\Gamma, x:\tau_0 \vdash M : \tau_1}{\Gamma \vdash \lambda x.M : \tau_0 \rightarrow \tau_1}(\mathord{\rightarrow}I) \qquad \dfrac{\Gamma \vdash M : \tau_0 \rightarrow \tau_1 \quad \Gamma \vdash N : \tau_0}{\Gamma \vdash M\,N : \tau_1}(\mathord{\rightarrow}E)$

$A$ $B$ $\lambda x. \lambda y. x\,y$ $(A \rightarrow B) \rightarrow A \rightarrow B$ $(\mathord{\rightarrow}I)$ $(\mathord{\rightarrow}E)$ $(\Gamma)$

সহজভাবে টাইপ করা ল্যাম্বদা ক্যালকুলাসের সেটগুলি সেট হিসাবে ব্যাখ্যা করা সম্ভব। এটি প্রকারগুলির জন্য একটি ডায়নোটেশনাল শব্দার্থক দেওয়ার পরিমাণ। বেস শর্তাদির জন্য একটি ভাল ডেনোটেশনাল শব্দার্থবিজ্ঞান প্রতিটি বেস শব্দটিকে তার সমস্ত প্রকারের ডেনোটেশনের সদস্য হিসাবে অর্পণ করে।

অন্তর্দৃষ্টিবাদী টাইপ তত্ত্ব (মার্টিন-ল্যাফ টাইপ থিয়োরি নামেও পরিচিত) আরও জটিল যা কেবল ল্যাম্বডা ক্যালকুলাস টাইপ করে, কারণ এর ক্যালকুলাসে আরও অনেক উপাদান রয়েছে (এবং বেসের পদগুলিতে আরও কয়েকটি ধ্রুবক যুক্ত করে)। তবে মূল নীতিগুলি একই রকম। মার্টিন-লফ টাইপ তত্ত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হ'ল প্রকারগুলিতে মূল পদগুলি থাকতে পারে (তারা নির্ভরশীল প্রকারগুলি ): বেস পদগুলির মহাবিশ্ব এবং প্রকারের মহাবিশ্ব একই রকম হয়, যদিও এগুলি সাধারণ সিনট্যাকটিক বিধি দ্বারা চিহ্নিত করা যায় (সাধারণত হিসাবে পরিচিত বাছাই করা, অর্থাত্ পুনর্লিখন তত্ত্ব অনুসারে শর্তাবলী বাছাই করা)।

$:$

বেশিরভাগ ধরণের সিস্টেমগুলিকে গণিতের সাধারণ ভিত্তির সাথে বেঁধে দেওয়ার জন্য সেট-তাত্ত্বিক শব্দার্থবিদ্যা দেওয়া হয়েছে। প্রোগ্রামিং ভাষা এবং গণিতের ভিত্তি কীভাবে সম্পর্কিত? এবং ফাংশন প্রকারের সিনমেটিক এবং সিনট্যাক্টিক ভিউগুলির মধ্যে পার্থক্য কী? এখানে আগ্রহী হতে পারে। টাইপ থিওরিটিকে গণিতের ভিত্তি হিসাবে ব্যবহার করার কাজও রয়েছে - সেট থিওরিটি historicতিহাসিক ভিত্তি, তবে এটিই কেবল সম্ভাব্য পছন্দ নয়। Homotopy টাইপ তত্ত্ব এই দিক একটি গুরুত্বপূর্ণ মাইলফলক: এটি এর শব্দার্থবিদ্যা বর্ণনা ইচ্ছাকৃত পরিপ্রেক্ষিতে intuitionistic টাইপ তত্ত্ব homotopy তত্ত্ব এবং এই কাঠামোর মধ্যে সেট তত্ত্ব নির্মান।

আমি বেঞ্জামিন পিয়ার্সের বইগুলি টাইপ এবং প্রোগ্রামিং ভাষা এবং প্রকার এবং প্রোগ্রামিং ভাষাগুলিতে অ্যাডভান্সেস টপিকগুলি প্রস্তাব দিই । এগুলি আনুষ্ঠানিক গাণিতিক যুক্তির সাথে মৌলিক পরিচিতি ব্যতীত পূর্বশর্ত ছাড়া অন্য যে কোনও স্নাতকের জন্য অ্যাক্সেসযোগ্য। টিএপিএল অনেক ধরণের সিস্টেম বর্ণনা করে; নির্ভরশীল প্রকারগুলি এটিটিএপিএল-এর দ্বিতীয় অধ্যায়ের বিষয়।

— গিলস 'তাই খারাপ হওয়া বন্ধ করুন'
সূত্র

ট্যাপেলের জন্য +1। সেই বইটি পড়ার থেকে আমি নিজেকে বেশ কিছুটা শিখতে পেরেছিলাম।

— গাই কোডার

আমি নিশ্চিত না যে নির্ভরশীল প্রকারগুলি সম্পর্কে শিখতে এটিটিএপএল একটি ভাল সূচনা পয়েন্ট।

— মার্টিন বার্গার

15

সেট তত্ত্ব এবং মার্টিন-ল্যাফ টাইপের তত্ত্ব কীভাবে পৃথক হয়েছে সে সম্পর্কে সেট আপ তত্ত্ব থেকে আগত কারও পক্ষে আরও ভাল প্রশ্ন হতে পারে যে সেটগুলি কী তা প্রতিবিম্বিত করা। সেট তত্ত্ব এবং গণিতের ভিত্তি সম্পর্কে আপনার স্বীকৃতিগুলি আপনি মঞ্জুর করে নি এমন প্রশ্নবিদ্ধ সেট-তাত্ত্বিক অনুমানগুলিতে সংক্রামিত হবে। হায়রে মার্টিন-লফ টাইপ তত্ত্ব এই অনুমানগুলি ভাগ করে না।

প্রচলিত বোঝার বিপরীতে, সেট তত্ত্ব দুটি সম্পর্কের একটি তত্ত্ব : সমতা এবং সেট সদস্যপদ , কেবল সদস্যপদ নির্ধারণ নয়। এবং এই দুটি সম্পর্কই যথেষ্ট স্বতন্ত্র পর্যায়ে নির্মিত।

আমরা স্বেচ্ছাসেবী বিষয়গুলির সমতার তত্ত্ব হিসাবে (কেবল সেটগুলি নয়) প্রথম-আদেশের যুক্তি তৈরি করি। প্রথম অর্ডার যুক্তি প্রমাণের একটি অনানুষ্ঠানিক ধারণা ব্যবহার করে । ধারণার প্রমাণটি কেবল প্রথম অর্ডার যুক্তিতেই আনুষ্ঠানিকভাবে প্রকাশযোগ্য নয়।
তারপরে আমরা সেট-ও সদস্যতার তত্ত্ব হিসাবে প্রথম-অর্ডার লজিকের শীর্ষে সেট-তত্ত্বটি তৈরি করি।
সেটটির সদস্যপদ এবং সাম্যতা তখন সম্প্রসারণের স্বীকৃতির সাথে সম্পর্কিত যা বলে যে দুটি সদস্যের সমান হয় যখন তারা একই সদস্য থাকে।
শেষ অবধি, (১) এর প্রমাণের অনানুষ্ঠানিক ধারণাটি নির্দিষ্ট সেট (প্রুফ ট্রি) হিসাবে প্রাক্তন-পরে যৌক্তিকরণ পায়।

এটি উপলব্ধি করা গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হ'ল প্রমাণের ধারণাটি এইভাবে সেট তত্ত্বের মধ্যে দ্বিতীয় শ্রেণির নাগরিক ।

এই সেট আপটি প্রচলিত ছোট / মাঝারি আকারের গণিতের জন্য সূক্ষ্মভাবে কাজ করে, তবে এখন আমরা সমস্ত সীমাবদ্ধ সহজ গোষ্ঠীর শ্রেণিবদ্ধকরণ বা তুচ্ছ কম্পিউটার প্রোগ্রামগুলির যাচাইকরণের মতো বড় আকারের প্রমাণগুলি মোকাবেলা করছি, কারণ এটি পৃথক হয়ে যায়, কারণ এটি নিজেকে সহজে যান্ত্রিকীকরণের দিকে নিয়ে যায় না।

$T$ $T$

$\lambda$

— মার্টিন বার্গার
সূত্র

এটি অত্যন্ত কার্যকর ছিল। আমি মনে করি যে কেউ গঠনমূলক গণিতে আসার একটি বড় বিষয় হ'ল অনেক কিছু শিখতে হবে।

— dst

আমি রাজী. কারও অগ্রহণযোগ্য সেট-তাত্ত্বিক অনুমানগুলি প্রকাশ করতে কিছুক্ষণ সময় লাগে। প্রচুর আগদা প্রোগ্রামিং করা আমাকে সহায়তা করেছিল এবং আপনি যদি কম্পিউটার বিজ্ঞানের ব্যাকগ্রাউন্ড থেকে এসে থাকেন তবে আপনার জন্যও কাজ করতে পারে।

— মার্টিন বার্গার

10

মার্টিন-লফ টাইপ তত্ত্বের সহজ পথ সম্পর্কে আমি সচেতন নই। আমি অনুমান করি যে নিম্নলিখিতগুলি ভূমিকা হিসাবে কাজ করতে পারে।

বি নর্ডস্ট্রম, কে। পিটারসন, জেএম স্মিথ, মার্টিন-ল্যাফের টাইপ থিয়োরি ।
বি নর্ডস্ট্রম, কে। পিটারসন, জেএম স্মিথ, মার্টিন-ল্যাফের টাইপ থিওরিতে প্রোগ্রামিং ।

যাইহোক, আপনি যদি "কী কী ধরণের" প্রশ্নটি নিয়ে বিস্মিত হন তবে আমি প্রথমে আরও সহজ টাইপ-তত্ত্বগুলিতে যাওয়ার পরামর্শ দিই। যে কোনও টাইপ করা প্রোগ্রামিং ভাষা করতে পারে তবে উদাহরণস্বরূপ ওকামল, এফ # এবং হাস্কেল বিশেষভাবে দরকারী। কিছুটা সহজ করে বলা যায় যে মার্টিন-ল্যাফ টাইপ তত্ত্ব দুটি উপায়ে উল্লিখিত ভাষার পিছনের প্রকারগুলি প্রসারিত করে:

সঙ্গে নির্ভরশীল ধরনের । আপনি এগুলি বিভিন্ন প্রোগ্রামিং ভাষায় টেমর আকারে পান।
পরিচয়ের ধরণ সহ। এটি পূর্ববর্তী নির্ভরশীল ধরণের তত্ত্বগুলির মার্টিন-লফের প্রধান উদ্ভাবন।

নির্ভরশীল ধরণের পিছনের মূল ধারণাটি সহজ: প্রকারগুলি প্রোগ্রামগুলির মাধ্যমে পরামিতি করতে পারে। উপরে বর্ণিত যেমন প্রচলিত টাইপিং সিস্টেমে এটি সম্ভব (কিছুটা সহজ করা) সম্ভব নয়। সহজ হলেও, পরিণতিগুলি গভীর: নির্ভরশীল ধরণেরগুলি কারি-হাওয়ার্ডের চিঠিপত্রটিকে প্রথম-আদেশের গঠনমূলক যুক্তিতে তুলনা করে। পরিচয়ের ধরণগুলি কিছুটা অস্বাভাবিক। যদি / যখন আপনি হাস্কেলের মতো ভাষার সাথে স্বাচ্ছন্দ্য বোধ করেন তবে আপনি আগদা শিখতে পারেন যা মূলত মার্টিন-ল্যাফ টাইপের তত্ত্বের সাথে হাস্কেল। আমি অনুভব করেছি যে উপরে বর্ণিত বইগুলি পড়ার চেয়ে প্রোগ্রামারটির জন্য আগদা শেখা অনেক সহজ।

— মার্টিন বার্গার
সূত্র

আমি আসলে হাস্কেলকে চিনি। আমার সমস্যাটি হ'ল যে কোনও টিউটোরিয়াল কেবল প্রকারগুলি কীভাবে সংজ্ঞায়িত করতে হয় তা আপনাকে জানায় তবে সেগুলি আসলে কী তা নয়। এটি আপনার সমস্ত ডেটার সাথে কিছু জাদুর ট্যাগ হিসাবে সংযুক্ত রয়েছে বলে মনে হচ্ছে, যাতে টাইপ চেকারটি একটি পলিমারফিক ফাংশনটির সঠিক সংস্করণ বেছে নিতে পারে এবং পরীক্ষা করে বোঝা যায় যে জিনিসগুলি বোধগম্য নয়। তারা এখনও প্রশ্নটি কী ধরণের তা খোলা রেখে দেয়। আমি এটি দেখে বিশেষত হতবাক, যেহেতু ভয়েভডস্কি এন্ড কো এই বিষয়ে সমস্ত গণিতকে ভিত্তি করে দেওয়ার চেষ্টা করছেন, তবুও, আমি এর সঠিক সংজ্ঞা কখনও দেখিনি seen

— DST

2

Γ ⊢ M : α

$\Gamma \vdash M : \alpha$

M

$M$

α

$\alpha$

M

$M$

M

$M$

Γ

$\Gamma$

প্রকারগুলি হ্যাস্কেল, মার্টিন-ল্যাফ টাইপ তত্ত্ব এবং ভয়েভডস্কির হোমোপোপী টাইপ তত্ত্বে খুব স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে। এতে কোনও দ্বিধা নেই। উদাহরণস্বরূপ পরিশিষ্ট A.2 সমস্ত পদ এবং প্রকারের হোমোপিপি টাইপ তত্ত্বের জন্য একটি প্রুফ-সিস্টেম দেয়। আপনি যদি আরও কঠোরতা চান তবে কক বা আগদার আনুষ্ঠানিকতার দিকে নজর দিতে পারেন ।

— মার্টিন বার্গার

2

হতে পারে আপনার গিলে ফেলতে হবে যে প্রকারগুলি কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় তার ব্যতীত অন্য কোনও সারমর্ম নেই। উদাহরণস্বরূপ সেটের সাথে এটি আলাদা নয়, সেগুলি সেট তত্ত্বের অক্ষর দ্বারা দেওয়া হয়। (এটি একেবারে সত্য নয়, তবে এটি বোঝা তবুও গুরুত্বপূর্ণ))

— মার্টিন বার্গার