আমরা কীভাবে ধরে নিতে পারি যে সংখ্যার প্রাথমিক ক্রিয়াকলাপগুলি ধ্রুব সময় নেয়?

73

সাধারণত অ্যালগরিদমগুলিতে আমরা সংখ্যার তুলনা, সংযোজন বা বিয়োগ সম্পর্কে চিন্তা করি না - আমরা ধরে নিই যে তারা সময়ে চালিত হয় । উদাহরণস্বরূপ, আমরা এটি ধরে নিই যখন আমরা বলি যে তুলনা-ভিত্তিক বাছাই করা , তবে যখন সংখ্যাগুলি রেজিস্টারগুলিতে ফিট না হয় তবে আমরা সাধারণত তাদের অ্যারে হিসাবে উপস্থাপন করি তাই মৌলিক ক্রিয়াকলাপগুলিকে উপাদান হিসাবে অতিরিক্ত গণনা প্রয়োজন। $O(1)$ $O(n\log n)$

দুটি সংখ্যার (বা অন্যান্য আদিম গাণিতিক ফাংশন) তুলনা করা যায় তা প্রমাণ করার কোনও প্রমাণ রয়েছে কি ? যদি না হয় তবে আমরা কেন বলছি যে তুলনা ভিত্তিক বাছাইটি হ'ল ? $O(1)$ $O(n\log n)$

আমি এই সমস্যার মুখোমুখি হয়েছি যখন আমি একটি এসও প্রশ্নের উত্তর দিয়েছিলাম এবং আমি বুঝতে পারি যে আমার অ্যালগরিদম কারণ শীঘ্রই বা পরে আমার বড় ইনট-এর সাথে ডিল করা উচিত, এটি সিউডো বহু-কালীন অ্যালগোরিদমও ছিল না, এটি ছিল । $O(n)$ $P$

— রাফেল
সূত্র

3

আপনি যদি সংখ্যার তুলনা করার জটিলতা গণনা করতে চলেছেন তবে আপনার জটিলতার সীমাটি ইনপুটটির বিট আকারের ক্ষেত্রেও লিখতে হবে। সুতরাং বিট নম্বর দেওয়া হয়েছে, ইনপুটটির বিট আকার এবং বাছাই সময়ে করা যেতে পারে।

N

$N$

w

$w$

n = N w

$n=Nw$

O (N w \log N) = O (n \log n)

$O(Nw \log N) = O(n \log n)$

— সাশো নিকোলভ

2

জটিলতা অধ্যয়নের মূলত দুটি "রাজ্য" বা "ব্যবস্থা" রয়েছে। সাধারণত অপারেশনগুলি "নির্দিষ্ট-প্রস্থ" অপারেশনের জন্য ধরে নেওয়া হয় যা বেশিরভাগ কম্পিউটার ভাষার জন্য একটি স্থিত-প্রস্থ নম্বর উপস্থাপনা থাকে যা ভাসমান পয়েন্ট যেমন 2-4 বাইট সহ (যেমন আইইইই স্ট্যান্ডার্ড দেখুন) অন্তর্ভুক্ত। তারপরে "স্বেচ্ছাচারিত নির্ভুলতা পাটিগণিত" রয়েছে যেখানে সংখ্যার স্বেচ্ছাসেবী আকার থাকে এবং অপারেশনগুলির জটিলতার আরও সতর্ক / সুনির্দিষ্ট অধ্যয়ন হয়। পূর্ববর্তী প্রসঙ্গটি প্রয়োগিত বিশ্লেষণে আরও বেশি এবং তাত্ত্বিক / বিমূর্ত বিশ্লেষণে পরবর্তীটি বেশি।

O (1)

$O(1)$

— vzn

75

আমার মতো লোকেরা যারা জীবিকার জন্য অ্যালগরিদম অধ্যয়ন করেন, গণনার একবিংশ শতাব্দীর মানক মডেলটি হল পূর্ণসংখ্যা র‌্যাম । ট্যুরিং মেশিনের মডেলের চেয়ে আরও সঠিকভাবে প্রকৃত কম্পিউটারের আচরণ প্রতিফলিত করার লক্ষ্যে এই মডেলটির উদ্দেশ্য। রিয়েল-ওয়ার্ল্ড কম্পিউটারগুলি সমান্তরাল হার্ডওয়্যার ব্যবহার করে ধ্রুব সময়ে একাধিক-বিট ইন্টিজারগুলি প্রক্রিয়া করে; না নির্বিচারে পূর্ণসংখ্যার কিন্তু (কারণ শব্দ মাপ সময়ের ক্রমান্বয়ে বৃদ্ধি) না মাপ নির্দিষ্ট পূর্ণসংখ্যার, হয়।

মডেল একটি একক পরামিতি উপর নির্ভর করে বলা শব্দ আকার । প্রতিটি স্মৃতি ঠিকানা একটি একক বিট পূর্ণসংখ্যা বা শব্দ ধারণ করে । এই মডেলটিতে ইনপুট আকার হ'ল ইনপুট শব্দের সংখ্যা এবং একটি অ্যালগরিদমের চলমান সময় শব্দের উপর ক্রিয়াকলাপ । স্ট্যান্ডার্ড গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ (সংযোজন, বিয়োগ, গুণ, পূর্ণসংখ্যা বিভাগ, অবশিষ্ট, তুলনা) এবং বুলিয়ান ক্রিয়াকলাপগুলি (বিটওয়াইস এবং, বা, xor, শিফট, ঘোরান) সংজ্ঞা অনুসারে সময় প্রয়োজন । $w$ $w$ $n$ $O(1)$

আনুষ্ঠানিকভাবে, শব্দ আকার একটি ধ্রুবক নয় $w$ এই মডেলের আলগোরিদিম বিশ্লেষণ উদ্দেশ্যে। মডেলটিকে সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ করার জন্য আমাদের , অন্যথায় আমরা এমনকি একটি শব্দের মধ্যেও পূর্ণসংখ্যা সংরক্ষণ করতে পারি না । তবুও, বেশিরভাগ অ-সংখ্যাসূচক অ্যালগোরিদমগুলির জন্য, চলমান সময়টি প্রকৃতপক্ষে স্বতন্ত্র থাকে কারণ এই অ্যালগরিদমগুলি তাদের ইনপুটটির অন্তর্নিহিত বাইনারি উপস্থাপনের বিষয়ে চিন্তা করে না। মার্জোর্ট এবং হিপসোর্ট উভয়ই সময়ে চালিত হয় ; 3-কুইকোর্টের মাঝারিটি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে সময়ে চলে। একটি উল্লেখযোগ্য ব্যতিক্রম বাইনারি র‌ডিক্স সাজান যা সময়ে চলে in $w \ge \log_2 n$ $n$ $w$ $O(n\log n)$ $O(n^2)$ $O(nw)$

সেট করা আমাদের traditionalতিহ্যগত লোগারিদমিক ব্যয় র‌্যাম মডেল দেয়। তবে কিছু পূর্ণসংখ্যার র‌্যাম অ্যালগরিদম বৃহত্তর শব্দের আকারের জন্য ডিজাইন করা হয়েছে, যেমন অ্যান্ডারসন এট আল -র লিনিয়ার-টাইম পূর্ণসংখ্যার বাছাইকরণ অ্যালগোরিদম । , যার জন্য । $w = \Theta(\log n)$ $w = \Omega(\log^{2+\varepsilon} n)$

অনুশীলনে উত্থিত অনেক অ্যালগরিদমের জন্য, আকারের শব্দটি কেবল একটি সমস্যা নয় এবং আমরা খুব সহজ ইউনিফর্ম-ব্যয়ের র‌্যাম মডেলটিতে ফিরে আসতে পারি (এবং করতে পারি)। কেবল গুরুতর অসুবিধা নেস্টেড গুণ, যা গড়ে তুলতে ব্যবহার করা যেতে পারে থেকে আসে খুব বড় পূর্ণসংখ্যার খুব দ্রুত। আমরা যদি অবিচ্ছিন্ন সময়ে নির্বিচারে পূর্ণসংখ্যার গাণিতিক সম্পাদন করতে পারি , তবে আমরা বহুবর্ষীয় সময়ে PSPACE- এ যে কোনও সমস্যা সমাধান করতে পারি । $w$

আপডেট: আমার আরও উল্লেখ করা উচিত যে "স্ট্যান্ডার্ড মডেল" এর ব্যতিক্রম রয়েছে, যেমন ফেরারের পূর্ণসংখ্যা গুণক অ্যালগরিদম , যেটি মাল্টিট্যাপ টিউরিং মেশিন ব্যবহার করে (বা সমানভাবে, "বিট র‌্যাম"), এবং বেশিরভাগ জ্যামিতিক অ্যালগোরিদম, যা তাত্ত্বিকভাবে বিশ্লেষণ করা হয় পরিষ্কার কিন্তু আদর্শ "বাস্তব র‌্যাম" মডেল ।

হ্যাঁ, এটি কৃমি একটি ক্যান।

— JeffE
সূত্র

3

আমি জানি আমার ভোট দেওয়ার কথা, তবে এটি বলার থেকে নিজেকে থামাতে পারি না: এটি সেরা উত্তর is কৌশলটি হ'ল (1) পাটিগণিত ক্রিয়াকলাপ সংজ্ঞা অনুসারে স্থির সময় এবং এটি ঠিক আছে কারণ তত্ত্ব অনুসারে আপনি যে কোনও মডেল চয়ন করতে পারেন, এবং (২) আপনার নির্দিষ্ট মডেল বাছাই করার কিছু কারণ থাকতে হবে এবং এই উত্তরটি সেগুলি কী তা ব্যাখ্যা করে।

— আরজিরিগ

আমি আরজিগের সাথে একমত, (এছাড়াও আমি কেবল ভোট দেওয়ার কথা বলছি), তবে কিছুটা সমস্যা হ'ল ইনপুট আকার ইনপুট সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত নয়, যেমন আমার যদি ইনপুট থাকে তবে আমার বৃহত্তম সংখ্যাটি , এবং আমি যদি গণনার মডেলটি বেছে নিই যেভাবে আমি পছন্দ করি, এর ফলে সিউডো হওয়ার বহুত্বকালীন সময়ের অ্যালগোরিদম হয়ে যায় , আমি কি ঠিক আছি?

n

$n$

m

$m$

P

$P$

1

আপনার ইনপুট বেশি সংখ্যার গঠিত তাহলে বিট, তারপর মডেল আপনি তাদের বিভক্ত করতে হবে মাপসই , -বিট খন্ডে শুধু বাস্তব জীবনের মতো। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনার এবং মধ্যে পূর্ণসংখ্যা থাকে , তবে আপনার প্রকৃত ইনপুট আকারটি । সুতরাং, সিউডো-বহুপদী মত চলমান বার সময় এখনও ইনপুট আকার সূচকীয় যখন বড়।

w

$w$

w

$w$

N

$N$

0

$0$

M

$M$

N \log_{w} M = (N \lg M) / (\lg w)

$N\log_w M = (N\lg M)/(\lg w)$

O (N M)

$O(NM)$

M

$M$

— জেফি

রিয়েল র‌্যাম মডেলটিতে এমন কোনও অ্যালগরিদম বিশ্লেষণ করা আছে যা গোপনে "অর্ডার টাইপ র‌্যাম" অ্যালগোরিদম নয়? আমি এ নিয়ে কখনই বেশি চিন্তা করিনি, তবে দ্রুত উদাহরণ দিয়ে আসতে পারছি না যা তা নয়।

— লুই

1

@ লুইস: হ্যাঁ, প্রচুর: ভোরোনাই ডায়াগ্রাম, ইউক্লিডিয়ান সংক্ষিপ্ততম পাথ, পুনরাবৃত্তিমূলক কাটিয়া, সরল বিভাজন গাছ, .... তবে এর সর্বোত্তম উদাহরণ গাউসিয়ান নির্মূলকরণ, যা সময়ে বাস্তব র‌্যাম মডেলটিতে চালিত হয় (বা ইউনিট-ব্যয় পূর্ণসংখ্যার র‌্যাম, তবে পূর্ণসংখ্যার র‌্যামে সময় প্রয়োজন

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{4})

$O(n^4)$

— জেফি

24

এটি কেবল প্রসঙ্গে নির্ভর করে। যখন সঙ্গে তার আচরণ বিট স্তর জটিলতা আলগোরিদিম, আমরা বলি না যে দুটি যোগে বিট টি সংখ্যার , আমরা বলতে হয় । জন্য একইভাবে গুণ ইত্যাদি $n$ $O(1)$ $O(n)$

— ম্যাসিমো কাফেরো
সূত্র

আপনার উল্লেখকৃত নিবন্ধ থেকে: "দুটি পৃথক উপায়ে পরিমাপ করা যেতে পারে: একটি পূর্ণসংখ্যা হিসাবে পরীক্ষা করা বা গুণিত হওয়ার ক্ষেত্রে এবং একটিটি সেই সংখ্যায় বাইনারি সংখ্যা (বিট) সংখ্যার দিক থেকে", তবে এটি সত্য নয়, আমরা ইনপুট আকার দ্বারা সর্বদা পরিমাপ করা উচিত।

1

@ সাইদআমিরি: এটি কেবল ব্যবহৃত এনকোডিংয়ের উপর নির্ভর করে। নিবন্ধে, উদাহরণস্বরূপ, যদি ইনপুটটি অ্যানারি এনকোডিং ব্যবহার করে নির্দিষ্ট পূর্ণসংখ্যা ট্রায়াল বিভাগের জন্য কেবল । এটি ইনপুট আকারে বহুপদী! এর অর্থ কি বিচার বিভাগ দ্বারা ফ্যাক্টরিং ? না, অ্যালগরিদমটি সিউডো-বহুভুজ । সাধারণ বাইনারি এনকোডিং ব্যবহার করে, আপনি ইনপুট আকারে আবার একটি সূচকীয় অ্যালগরিদম পান। যেমনটি বলা হয়েছে, এটি ঘটে কারণ ইনপুট বিটের সংখ্যাটি তার এনকোডিং পরিবর্তন করে দ্রুততর হয়ে উঠেছে।

n

$n$

θ (n^{1 / 2})

$\theta(n^{1/2})$

P

$P$

n

$n$

— ম্যাসিমো কাফারো

যাইহোক, সিউডো-পলিনোমিয়াল অ্যালগরিদমগুলি আসলে কার্যকর হতে পারে, যদি প্রকৃত উদাহরণগুলিতে তাদের পরামিতিগুলির প্রস্থের ক্রম যথাযথভাবে কম হয়। সর্বাধিক বিখ্যাত উদাহরণ হ'ল ন্যাপস্যাক সমস্যা সমাধানের জন্য সিউডো-পলিনোমিয়াল অ্যালগরিদম।

— ম্যাসিমো কাফারো

প্রথমে আমার উল্লেখ করা উচিত যে আপনার রেফারেন্সযুক্ত উইকি পৃষ্ঠাটি ভাল নয় কারণ এর কোনও ভাল রেফারেন্স নেই, এছাড়াও আপনি কেন জানেন না কেন আমি সিউডো-বহু-কালীন অ্যালগরিদম সম্পর্কে কথা বলছি তা হতে পারে কারণ ইনপুট আকারটি সাধারণত বাটলেটিনিক হয় এই ক্ষেত্রে? তবে আমি তাদের সম্পর্কে কথা বলছি না, আমি বেশিরভাগ সমস্যাগুলির বিষয়ে কথা বলছি যা ইনপুট আকারের ধারণা অনুসারে এমনকি বাছাইয়ের মতো এর মধ্যে রয়েছে কারণ আমরা প্রতারণা করতে পারি না এবং বলতে পারি এনপিসি সমস্যা আমি মনে করি আমাদের উচিত নয় বলুন বাছাই করা হল তুলনা উপেক্ষা করার মতো আমাদের কাছে প্রামাণিক প্রমাণ রয়েছে।

P

$P$

P

$P$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

ইনপুটটির আকারের প্রতি আপনার দৃষ্টি নিবদ্ধ করার জন্য সিউডো-পলিনোমিয়াল অ্যালগরিদমগুলি নিয়ে আলোচনা করছি, আপনাকে দেখানোর জন্য যে এটি বিভ্রান্তিকর হতে পারে। এখানে আরও একটি উদাহরণ। আপনাকে ইনপুট হিসাবে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দেওয়া হবে, বলুন , এবং অ্যালগরিদম একটি লুপ চালায় যা এটি পুনরাবৃত্তির জন্য সময়ের ক্রিয়াকলাপ করে । ইনপুট আকারের ফাংশন হিসাবে পরিমাপ করা এই সাধারণ লুপ অ্যালগরিদমের জটিলতা হ'ল । যেহেতু ইনপুট আকার, তাই আলগরিদম ইনপুট আকারে সূচকীয়! এই ব্যাপারে চিন্তা করো. "এটি কেবল প্রসঙ্গে নির্ভর করে" এর সাথে আমি কী বোঝাতে চাইছি তা এখন আপনি বুঝতে পারেন।

n

$n$

O (1)

$O(1)$

n

$n$

O (n) = O (2^{l g n})

$O(n) = O(2^{lg n})$

l g n

$lg n$

— ম্যাসিমো কাফারো

16

উল্লিখিত প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য: অ্যালগরিদবিদরা র‌্যাম মডেলটি ব্যবহার করে প্রায়শই প্রায়শই এটি করেন। বাছাইয়ের জন্য, অনেক ক্ষেত্রে লোকেরা সহজ তুলনা মডেলটিও বিশ্লেষণ করে , যা আমি যুক্ত লিঙ্কটিতে আরও কিছুটা আলোচনা করি।

তারা এটি কেন করে সে সম্পর্কে অন্তর্নিহিত প্রশ্নের জবাব দেওয়ার জন্য : আমি বলব যে এই মডেলটিতে কয়েকটি ধরণের সংশ্লেষীয় অ্যালগরিদমগুলির জন্য বেশ ভাল ভবিষ্যদ্বাণীপূর্ণ শক্তি রয়েছে, যার মধ্যে নম্বরগুলি সমস্ত "ছোট" এবং বাস্তব মেশিনে নিবন্ধগুলিতে ফিট।

সংখ্যা সংক্রান্ত অ্যালগোরিদম সম্পর্কে অন্তর্নিহিত ফলোআপের উত্তর দিতে: না, প্লেইন পুরাতন র‌্যাম মডেলটি এখানে মান নয়। এমনকি গাউসিয়ান নির্মূলের জন্য কিছু যত্ন প্রয়োজন require সাধারণত, র‌্যাঙ্কের গণনার জন্য শোয়ার্জ লেমমা প্রবেশ করবে (উদাহরণস্বরূপ, এখানে বিভাগ 5 )। আর একটি ক্যানোনিকাল উদাহরণ হ'ল এলিপসয়েড অ্যালগরিদম বিশ্লেষণ, যা বিশ্লেষণ করার জন্য কিছু যত্ন প্রয়োজন ।

এবং পরিশেষে: লোকেরা স্ট্রিং বাছাই সম্পর্কে ভেবেছিল এমনকি সম্প্রতিও।

আপডেট: এই প্রশ্নটির সমস্যাটি হ'ল "আমরা" এবং "ধরে নেওয়া" এতটা সুনির্দিষ্টভাবে নির্দিষ্ট করা হয়নি। আমি বলব যে র‌্যাম মডেলটিতে যারা কাজ করেন তারা সংখ্যার অ্যালগরিদম বা জটিলতা তত্ত্ব করেন না (যেখানে বিভাগের জটিলতা নির্ধারণ একটি উদযাপন ফলাফল ছিল )।

— লুই
সূত্র

হুমমম, মনে হচ্ছে এটি একটি আকর্ষণীয় উত্তর ....

এটির পুরোপুরি প্রশ্নের উত্তর না দেওয়ার কোনও কারণ আছে কি?

— লুই

7

আমি এর কোনও গবেষণা খুঁজে পাই না, তবে কোজেন "অ্যালগরিদমের ডিজাইন এবং বিশ্লেষণ" এর প্রবর্তনে বলেছেন যে মডেল "পরিমিত পরীক্ষার পর্যবেক্ষণকে আরও সঠিকভাবে [লগ-কাস্টম মডেলের তুলনায়] পরিমিত করে ডেটার জন্য" আকার (যেহেতু গুণন সত্যিই এক একক সময় নেয়) "" মডেলটি কীভাবে আপত্তিজনকভাবে ব্যবহার করা যেতে পারে তার উদাহরণ হিসাবে তিনি এই কাগজটির একটি রেফারেন্সও দেন । $O(1)$ $O(1)$

এটা একেবারে একটি legit মূল্যায়ন (না অন্তত কারণ এটি পাইথন থাকবে) নয়, কিন্তু এখানে চালু করা থেকে কিছু সংখ্যা এর python -mtimeit "$a * $b"জন্য $aমধ্যে এবং । (আমি at 66 এ থামলাম কারণ সেই সময় যখন পাইথন সিনট্যাক্স পূর্ণসংখ্যার লিটারালগুলি গ্রহণ করা বন্ধ করে দেয় এবং আমাকে আমার মূল্যায়ন কোডটি কিছুটা স্যুইচ করতে হবে, তাই আমি পাইনি। p) $10^{\{1,2,...,66\}}$ $b = 2*$a

প্রতিটি সংখ্যা 10,000,000 লুপের গড়, যেখানে প্রতিটি লুপে 3 রানের সেরা সময় লাগে। আমি ত্রুটি বার বা কিছু করতাম তবে তা আরও চেষ্টা করা উচিত। : p যাই হোক না কেন, এটি আমার কাছে বেশ ধ্রুবক বলে মনে হচ্ছে, এমনকি - কিছুটা অবাক করা কারণ যেহেতু 43, যা আমার সন্দেহকে আরও এই মূল্যায়নটি বিশেষত বোগাস এবং আমার এটি সিতে করা উচিত in $10^{50}$ $\log_{10}(\tt{sys.maxint})$

— Dougal
সূত্র

এই বিশেষ ক্ষেত্রে আপনি ঠিক কাজ অভিজ্ঞতায় হতে (কিন্তু আমি নিশ্চিত নই :) কিন্তু যেমন কটাক্ষপাত করা এই , এটা মনে হয় কিন্তু, তাই না এটি একটি ব্যবহারিক সমস্যা। এছাড়াও আপনি কি এমন কোনও কাগজ দেখতে পেয়েছেন যা বাছাইকরণকে ?

O (n)

$O(n)$

O (n \cdot \log n \cdot \log m)

$O(n \cdot \log n \cdot \log m)$

7

আপনি ঠিক বলেছেন, সাধারণভাবে আমরা ধরে নিতে পারি না যে তারা । $O(1)$

কঠোরভাবে বলতে গেলে, আমরা যদি তুলনাগুলি ব্যবহার করে এন সংখ্যাগুলির সাথে একটি অ্যারে বাছাই করতে চাই এবং সবচেয়ে বড় সংখ্যা এম হয়, তবে সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে, প্রতিটি তুলনা বিট স্তরে তুলনা জড়িত থাকতে পারে । এবং যদি আমাদের অ্যালগরিদম তুলনা করে, তবে এর সম্পূর্ণ জটিলতা হবে । $O(\log M)$ $O (N \log N)$ $O (N \log N \log M)$

তবে, আপনি কেবলমাত্র খুব বড় মানের জন্য পার্থক্যটি লক্ষ্য করবেন , এটি কোনও একক রেজিস্টারে সংরক্ষণ করা যাবে না, আপনি ডগালের পরীক্ষা থেকে দেখতে পারেন। $M$

— এরেল সেগাল-হালেভি
সূত্র

O (\log m)

$O(\log m)$ না , আমি সবচেয়ে বড় সংখ্যা সেট হয় মানে ।

O (\log n)

$O(\log n)$

m

$m$

হ্যাঁ, তবে যদি বাছাই করার জন্য N আলাদা আলাদা নম্বর থাকে, তবে বৃহত্তমটির আকার হ'ল বিট।

O (l o g N)

$O(log N)$

— এরেল সেগাল-হালেভি

না এটি ইনপুট সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত নয়, আপনি যদি এটির ইনপুট সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত করতে চান তবে আমার কাছে ইনপুট নম্বর রয়েছে এবং সবচেয়ে

n

$n$

n^{n^{n}}

$n^{n^n}$

আপনি ঠিক বলেছেন, আমি আমার উত্তর সংশোধন করেছি।

— এরেল সেগাল-হালেভি

4

আমি বলব যে আমরা সাধারণত ও (1) পাটিগণিত ক্রিয়াকে ধরে নিই কারণ আমরা সাধারণত 32-বিট ইন্টিজার বা 64-বিট ইন্টিজার বা আইইইই 754 ভাসমান পয়েন্ট সংখ্যাগুলির প্রসঙ্গে জিনিসগুলি করি। ও (1) সম্ভবত সেই ধরণের পাটিগণিতের জন্য খুব ভাল অনুমান।

তবে সাধারণভাবে, এটি সত্য নয়। সংযোজন, বিয়োগ, গুণ এবং বিভাগ সম্পাদনের জন্য আপনার সাধারণত একটি অ্যালগরিদম প্রয়োজন। বুলোস, বার্গেস এবং জেফারিজের গণ্যতা এবং লজিক স্প্রিংসগুলির প্রমাণ (গুলি) বোঝার উপায় হিসাবে মনে রাখবেন, আমার ৪ র্থ সংস্করণের অনুলিপিতে, কমপক্ষে, বিভিন্ন ফরমাল সিস্টেম, রিকার্সিভ ফাংশন এবং অ্যাবাকাস মেশিনগুলির কয়েকটি হিসাবে বিবেচনা করুন।

এই দুটি ক্রিয়াকলাপ কেন ও (1) নয় কেন তার সহজ-সরল দেখার জন্য আপনি চার্চ সংখ্যার সাথে বিয়োগের জন্য বিয়োগের জন্য ল্যাম্বদা-ক্যালকুলাস শর্তাদি দেখতে পারেন। সংযোজন, গুণ এবং ক্ষয়ক্ষতি দেখতে এটি কিছুটা শক্ত, তবে আপনি যদি চার্চ সংখ্যার রূপটি নিজেরাই বিবেচনা করেন তবে তা সেখানে।

— ব্রুস এডিগার
সূত্র