গিলোটিন কাট বনাম সাধারণ কাট

Question

কাটিং সমস্যাগুলি এমন সমস্যা যেখানে একটি বড় বড় অবজেক্টকে কয়েকটি ছোট ছোট বস্তুতে কাটা উচিত। উদাহরণস্বরূপ, কল্পনা করুন আপনার একটি কারখানা রয়েছে যা কাঁচা কাচের বড় শীট, প্রস্থ এবং দৈর্ঘ্যের । বেশ কয়েকটি ক্রেতা রয়েছেন, যার প্রত্যেকেই সীমাহীন সংখ্যক ছোট কাচের শীট চায়। ক্রেতা দৈর্ঘ্যের শিট চাই এবং প্রস্থের । আপনার লক্ষ্যটি হ'ল বড়টি থেকে ছোট শীটগুলি কাটা, যেমন ব্যবহৃত মোট ব্যবহার সর্বাধিক হয় এবং বর্জ্য হ্রাস করা হয় ( কাটা এবং প্যাকিংয়ের অন্যান্য ধরণের সমস্যাও রয়েছে )।$W$$L$$i$$l_i$$w_i$

কাটা সমস্যাগুলির মধ্যে একটি সাধারণ বিধিনিষেধ হ'ল কাটগুলি অবশ্যই গিলোটিন কাট হতে হবে , অর্থাত্ প্রতিটি বিদ্যমান আয়তক্ষেত্রটি কেবল দুটি ছোট ছোট আয়তক্ষেত্রকেই কাটা যেতে পারে; এল-আকার ইত্যাদি তৈরি করা অসম্ভব স্পষ্টতই, গিলোটিন কাট সহ সর্বাধিক ব্যবহৃত ক্ষেত্র সীমাবদ্ধতা ছাড়াই সর্বাধিক ব্যবহৃত ক্ষেত্রের চেয়ে ছোট হতে পারে।

আমার প্রশ্নটি হল: অনুকূল গিলোটিন কাটা এবং সর্বোত্তম জেনার কাটের মধ্যে অনুপাতের উপরের এবং নীচের সীমাগুলি কী?

সম্পর্কিত কাজ: গান এবং অন্যান্য। (২০০৯) একটি আলগোরিদিম বর্ণনা করুন যা একটি সীমাবদ্ধ ধরণের গিলোটিন কাট ব্যবহার করে - দ্বিগুণ-গিলোটিন কাট । তারা জ্যামিতিক প্রতিবন্ধকতা ব্যবহার করে প্রমাণ করেছেন যে সর্বাধিক দ্বিগুণ-গিলোটিন কাট সর্বাধিক গিলোটিন কাটার মধ্যে অনুপাত 6 দ্বারা আবদ্ধ হয় । আমি সর্বাধিক গিলোটিন কাটা সর্বাধিক সাধারণ কাটার মধ্যে অনুপাত সম্পর্কে তুলনামূলক ফলাফল খুঁজছি।$\frac{6}{7}$

Answer 1

যদিও এই আঁট নয়, আমি আপার এবং লোয়ার বাউন্ড দিতে পারে এবং 3 / 4 গিলোটিন কাট এবং সাধারণ মধ্যেও মধ্যে সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে অনুপাত উপর।$1/4$$3/4$

আমাদের সাথে উপরের আবদ্ধ শুরু করা যাক এবং অনুমান আমরা একটি পার্শ্ব দৈর্ঘ্য সঙ্গে কাচের একটি বর্গক্ষেত্র টুকরা দেওয়া হয় । উপরন্তু, আমরা ঠিক এক ক্রেতা যিনি প্রস্থের আয়তক্ষেত্রাকার কাচের চাদর আগ্রহী আছে 1 - ε এবং দৈর্ঘ্য 1 + + ε । সাধারণ মধ্যেও ব্যবহার করে, নিচের ছবি মত সন্তোষজনক সমাধান সৌন্দর্য কিছু, আকাঙ্ক্ষিত আয়তক্ষেত্র চার পক্ষ দৈর্ঘ্য একটি সামান্য বর্গ কাছাকাছি স্থাপিত ε মাঝখানে।$2$$1-\varepsilon$$1+\varepsilon$$\varepsilon$

এটি সহজে দেখা যায় যে গিলোটিন কাটগুলির মাধ্যমে এই কাটিয়া প্যাটার্নটি অর্জন করা যায় না। আসলে, গিলোটিন কাট ব্যবহার করে যে কোনও কাটিং প্যাটার্নটি মূল বর্গক্ষেত্রের মধ্যে কাঙ্ক্ষিত আয়তক্ষেত্রগুলির সর্বাধিক 3 টি ফিট করতে পারে। ফলস্বরূপ, গিলোটিন কাট এবং সাধারণ মধ্যেও মধ্যে খারাপ অনুপাত অন্তত হয় ।$3/4$

এর পরে, আমরা নিম্ন সীমাটি দেখুন a যাক এবং এল কাচের আসল পত্রকের পাশ লেন্থ হও। সাধারণত্ব ক্ষতি ছাড়া, আমরা অনুমান করতে পারেন একজন ক্রেতা অস্তিত্ব আছে যে আমি যেমন যে W আমি ≤ ওয়াট এবং ঠ আমি ≤ এল । অন্যথায়, আমরা শীতকালীন কাট বা সাধারণ কাট ব্যবহার করি না কেন, মূল শীটটি ব্যবহারযোগ্য নয়। যাইহোক, গিলোটিন মধ্যেও ব্যবহার করে, আমরা সবসময় বাইরে আসল পত্রকের অন্তত এক চতুর্থাংশ কেবল আয়তক্ষেত্র ক্রেতা দ্বারা পছন্দসই সমতলতা দ্বারা কেটে যাবে আমি নিম্নলিখিত ছবিতে প্রদর্শিত হয়েছে।$W$$L$$i$$w_i \leq W$$l_i \leq L$$i$

$i$$1/4$

আমি সচেতন যে নিম্ন সীমাটি বেশ দুর্বল এবং সম্ভবত আরও কিছু কাজ করে এটি উন্নত করা যেতে পারে। কিন্তু এটি একটি শুরু।

Comments

উত্তম উত্তর - সিএস স্ট্যাক এক্সচেঞ্জে আপনাকে স্বাগতম!

— ডেভিড রিচার্বি