বিড়ালছানা দত্তক সমস্যার জটিলতা

Question

আমি যখন ওয়্যারিং দৈর্ঘ্য মিনিমাইজেশন সম্পর্কে এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করছিলাম তখন এটি প্রকাশিত হয়েছিল । আমি এটিকে "বহুবিবাহী বিবাহ" সমস্যা বলতে যাচ্ছিলাম, তবে ইন্টারনেট, তাই বিড়ালছানা। হ্যাঁ!

মনে করুন আমাদের কাছে বিড়ালছানা রয়েছে যা এন লোকেরা গ্রহণ করতে হবে , এম > এন । প্রতিটি বিড়ালছানা জন্য, আমি এবং প্রতিটি ব্যক্তির j একটি খরচ সি i জে আছে । আমরা সমস্ত বিড়ালছানা গৃহীত হওয়ার মোট ব্যয় হ্রাস করতে চাই। বাধাগুলির একটি সেটও রয়েছে: প্রতিটি ব্যক্তি j আপনার জে বিছানাগুলির চেয়ে বেশি গ্রহণ করতে সক্ষম ।$M$$N$$M > N$$i$$j$$c_{ij}$$j$$u_j$

সীমাবদ্ধতা ছাড়াই সমস্যাটি সহজ; প্রতিটি বিড়ালছানা সেই ব্যক্তির সাথে যাচ্ছি যার জন্য সি i জ ন্যূনতম। সীমাবদ্ধতাগুলির সাথে কি এই সমস্যার জন্য একটি কার্যকর অ্যালগরিদম আছে বা এটি এনপি-হার্ড?$i$$j$$c_{ij}$

Answer 1

এটি ন্যূনতম ব্যয় সর্বাধিক প্রবাহ সমস্যা।

একটি গ্রাফ , যেখানে A বিড়ালছানাগুলির সেট, বি হল মানুষের সেট।$G=(A\cup B\cup \{s,t\},E)$$A$$B$

আসুন প্রান্তগুলির সক্ষমতা এবং গ : E → R + একটি প্রান্তের ব্যয় হবে। আমরা তা নিশ্চিত করি$C:E\to \mathbb{R}^+$$c:E\to \mathbb{R^+}$

1. তার মাঝে একটি প্রান্ত হয় , যেখানে একটি আমি ∈ একজন এবং খ ঞ ∈ বি , আর সি ( একটি আমি , খ ঞ ) = 1 , গ ( একটি আমি , খ ঞ ) = গ আমি , $a_i,b_j$$a_i\in A$$b_j\in B$$C(a_i,b_j)=1$$c(a_i,b_j)=c_{i,j}$ ।
2. এবং a i ∈ A এবং C ( s , a i ) = 1 , c ( s , a i ) = 0 এর মধ্যে একটি প্রান্ত রয়েছে ।$s$$a_i\in A$$C(s,a_i)=1$$c(s,a_i)=0$
3. এবং টি এবং সি ( বি জে , টি ) = ইউ জে , সি ( বি জে , টি ) = 0 এর মধ্যে একটি প্রান্ত রয়েছে ।$b_j\in B$$t$$C(b_j,t)=u_j$$c(b_j,t)=0$

যদি সর্বোচ্চ প্রবাহ , তবে আমরা জানি একটি সমাধান রয়েছে there আপনি ন্যূনতম ব্যয় সর্বাধিক-প্রবাহ থেকে একটি ন্যূনতম ব্যয় সমাধান তৈরি করতে পারেন।$M$

Answer 2

এটি সর্বনিম্নতম সর্বনিম্ন ওজনের নিখুঁত মিলের সমস্যা। সম্পূর্ণ দ্বিপাক্ষিক গ্রাফ বিবেচনা করুন , যা এল একটি নোড রয়েছে ঠ আমি প্রতিটি বিড়ালছানা জন্য আমি , আর নিয়ে গঠিত তোমার দর্শন লগ করা ঞ নোড কপি দ ঞ প্রতিটি ব্যক্তির জন্য ঞ , এবং প্রান্ত ই আমি ঞ ∈ ই মধ্যে l আমি এবং আর জে এর প্রতিটি কপি , ওজন সি আই $(L , R , E)$$L$$l_i$$i$$R$$u_j$$r_{j}$$j$$e_{ij} \in E$$l_i$$r_{j}$$c_{ij}$ ।

আমরা জানি অন্যথায় সমস্ত বিড়ালছানা ব্যক্তিদের জন্য বরাদ্দ করা যায় না।$|L| \leq |R|$

যেহেতু নিখুঁত ম্যাচিং সব নোড মেলানো, আমরা ডামি নোড যোগ করতে হবে (পেতে | এল | = | আর | সমস্ত নোড শূন্য ওজন প্রান্ত এবং তাদের সংযোগ) আর ।$L$$|L| = |R|$$R$

Answer 3

সম্ভবত আগ্রহের বিষয়টি হল পর্যবেক্ষণ যা কোনও ব্যক্তি এই সমস্যার বিভিন্ন ক্ষেত্রে পার্টিশনকে হ্রাস করতে পারে। প্রদত্ত উপাদানের সঙ্গে দেশভাগের একটি দৃষ্টান্ত হল সঙ্গে কুই যা থেকে এমনকি আমরা একটি উপসেট চয়ন করতে এস ⊆ { 1 , ... , কুই } সঙ্গে | এস | = Q / 2 যেমন যে Σ আমি ∈ এস এক্স আমি = Σ আমি ∉ এস এক্স আমি = $\{x_1,\dots,x_q\}$$q$$S \subseteq \{1,\dots,q\}$$|S|=q/2$$\sum_{i\in S} x_i = \sum_{i\not\in S} x_i = K$। (দ্রষ্টব্য যে ঠিক অর্ধে উপাদানগুলি বেছে নেওয়ার প্রয়োজনীয়তা স্বাভাবিক ফর্ম নয় তবে এই ফর্মটি এখনও এনপি-হার্ড)) প্রতিটি বিড়ালছানাটি সেটের একটি উপাদান হতে দিন; দু'জন লোক থাকুক; ওজন এবং c i 2 = - x i ; দিন তোমার দর্শন লগ করা 1 = U 2 = Q / 2 । তারপর ফ্লার্ট গ্রহণ এই ক্ষেত্রটিকেই টি সর্বাধিক এর 0 iff দেশভাগের দৃষ্টান্ত একটি সমাধান আছে।$c_{i1} = x_i$$c_{i2} = -x_i$$u_1 = u_2 = q/2$$0$

$C$$Cq$

মূল সমস্যাটির জটিলতা সম্পর্কে এটি কী বলেছে তা আমি নিশ্চিত নই, তবে প্রায়শই দেখা যায় "মিনিমাইজ / ম্যাক্সিমাইজগুলির মধ্যে একটি হ'ল এনপি-হার্ড, অন্যটি পিতে রয়েছে" মিশ্রিত অপটিমাইজেশন সমস্যার জন্য সেটআপ, আমি একটি সন্ধান করতে চাই দক্ষ অ্যালগরিদম।