ওআর এবং এমওডি গেটগুলির সাথে গভীরতা -২ সার্কিটগুলি সর্বজনীন নয়?

Question

এটি সুপরিচিত যে প্রতিটি বুলিয়ান ফাংশন depth গভীরতার 2 এর বুলিয়ান সার্কিট ব্যবহার করে উপলব্ধ করা যায় (ভেরিয়েবলগুলি, তাদের তুচ্ছকরণ এবং ধ্রুবক মানের উপরে) প্রথম স্তরে এবং গেটগুলি এবং উপরের স্তরে একটি একক ওআর গেট রয়েছে; এই সহজভাবে হয় DNF উপস্থাপনা এর ।$f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$$f$

অন্য একটি গেট যা সার্কিট জটিলতায় খুব আগ্রহী তা গেট। সাধারণ সংজ্ঞাটি নিম্নলিখিত:$MOD_m$

$$\mathrm{MOD}_m(x_1,\dots,x_k)=\cases{ 1 & if \(\sum x_i \equiv 0 \mod m\) \\ 0 & if \(\sum x_i \not\equiv 0 \mod m\) \\ }$$

এই গেটগুলির মাঝে মাঝে আশ্চর্য শক্তি থাকে; উদাহরণস্বরূপ, যে কোনও বুলিয়ান ফাংশনটি কেবলমাত্র $\mathrm{MOD}_6$ গেটের সাথে গভীরতা -2 সার্কিট দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে (এটি লোকগাথাগুলি তবে আমি আগ্রহী, কেউ আগ্রহী)।

তবে, অন্য একটি লোককাহিনীটি হ'ল উপরের একক ওআর গেটের সাথে সার্কিটগুলি এবং নীচের স্তরের \ ম্যাথর্ম {এমওডি} _ মি$\mathrm{MOD}_m$ গেটস ( $m$ একবার এবং সকলের জন্য স্থির করা হয়েছে এবং বিশেষত সমস্ত গেটগুলির জন্য একই) not সর্বজনীন, অর্থাত্ $m$ যে কোনও মানের জন্য , এখানে বুলিয়ান ফাংশন রয়েছে যা $\mathrm{OR} \circ \mathrm{MOD}_m$ সার্কিট দ্বারা গুণতে পারে না ।

আমি এই দাবির জন্য কোনও প্রমাণ বা কমপক্ষে কিছু দিক খুঁজছি।

Comments

প্রথম অনুচ্ছেদে, হয় আপনার গেটের দরকার নেই বা আপনাকে বলতে হবে "প্রতিটি মনোটোন বুলিয়ান ফাংশন"।

— Tsuyoshi Ito

আপনি সঠিক; সাধারণ অনুমানটি হ'ল আপনার যেমন ভেরিয়েবলগুলি রয়েছে, তাদের তুচ্ছতা এবং স্বচ্ছ মান রয়েছে (পরিবর্তনের জন্য গুরুত্বপূর্ণ)। আমি স্পষ্টভাবে এটি লিখতে হবে।

— গাদি এ

আমি অনুমান করি যে , ইনপুট ভেরিয়েবলের সংখ্যা, , মডুলাস থেকে আলাদা ? $n$$n$

— ক্রিস্টোফার আরনসফেল্ট হ্যানসেন

হ্যাঁ, সে সম্পর্কে দুঃখিত।

— গাদি এ

আমি এই বিষয়ে আগ্রহী। আপনি কি প্রথম লোককৌনিক সত্যের জন্য কিছু রেফারেন্স জানেন? আমি অবাক হই, যদি সার্কিটের পরবর্তী শ্রেণিতে আপনি কেবল একটি বা ওআরকে অনুমতি দেন তবে প্রাক্তনে আপনি কতজনকে অনুমতি দেন?

— জুয়ান বার্মেজো ভেগা

Answer 1

বুলিয়ান এবং ফাংশন গণনা করা যায় না। ধরুন যে প্রকৃতপক্ষে অ্যান্ড ফাংশনটি একটি সার্কিট দ্বারা গণনা করা হয়েছে । তারপরে এটি অনুসরণ করে যে এমওডির সাবসিক্রিটগুলির মধ্যে একটির অবশ্যই আগে থেকেই গণনা করতে হবে এবং ইতিমধ্যে ফাংশন করতে হবে যা অসম্ভব।$\text{OR} \circ \text{MOD}$

Comments

না, সে ঠিক আছে। এখানে অন্তর্নিহিত অনুমানটি হ'ল এন ধ্রুবক এবং আমাদের মোড_এন গেটস সহ একটি বৃহত সংখ্যক ইনপুট পরিচালনা করতে সক্ষম হওয়া উচিত।

— গাদি এ

@ গাদিএ আহ, ঠিক আছে আপনার প্রশ্নে এটি পরিষ্কার ছিল না, কমপক্ষে এমন লোকদের ক্ষেত্রে যারা এই ক্ষেত্রের সাথে পরিচিত নয়। আমি একটি ছোটখাট সম্পাদনা করেছি যা এটি স্পষ্ট করা উচিত।

— গিলস 'খারাপ হয়ে যাওয়া বন্ধ করুন'

হ্যাঁ, আমার প্রশ্নটি খুব খারাপভাবে বানানো হয়েছিল, দুঃখিত।

— গাদি এ

@ গিলস আপনি কি আমাকে এখানে ফ্যান-ইন বিবেচনা করতে পারেন তা ব্যাখ্যা করতে পারেন? আমার জন্য সমস্যাটি হ'ল আমি দেখতে পাচ্ছি না যে কেন এমডির সাবসিয়ারিট অ্যান্ড গুনতে পারে না? এই মোড এবং এটি এবং এর কতগুলি ইনপুট রয়েছে?