বিভিন্ন নিয়মিত ভাষার সংখ্যা

একটি বর্ণমালা দেওয়া হয়েছে $\Sigma = \{ a,b \}$ , কতগুলি নিয়মিত ভাষা আছে যা $n$ -স্টেট নন-ডিস্ট্রিমেন্টিক সসীম অটোমেটন গ্রহণ করতে পারে ?

উদাহরণ হিসাবে, আসুন আমরা বিবেচনা করি $n=3$ । তারপরে আমাদের কাছে $2^{18}$ আলাদা রূপান্তর কনফিগারেশন এবং $2^3$ পৃথক শুরু- এবং শেষের রাষ্ট্রীয় কনফিগারেশন রয়েছে, সুতরাং আমাদের কাছে $2^{24}$ ভিন্ন ভাষার উপরের সীমা রয়েছে ।
তবে এর মধ্যে অনেকগুলি সমতুল্য হবে এবং যেহেতু এর জন্য পরীক্ষার বিষয়টি পিএসপিএসিই-সম্পূর্ণ, সুতরাং প্রতিটি সেটিংটি পরীক্ষা করা সম্ভবত অনিবার্য।
এমন কি অন্য উপায় বা সংযুক্তি যুক্তি যা প্রদত্ত উত্স দ্বারা গৃহীত বিভিন্ন ভাষার সংখ্যাকে আবদ্ধ করে?

— john_leo
সূত্র

নয়, কেবল 3 টি পৃথক সূচনা রাষ্ট্রের কনফিগারেশন রয়েছে ।

2^{3}

$2^3$

— ফ্র্যাঙ্কডব্লিউ 8:56

তাত্ক্ষণিক ধারণা: নিয়মিত ভাষাগুলি চূড়ান্তভাবে বহু সমতুল্য ক্লাস দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, সিএফ মাইহিল-নেরোড।

অটোমেটন সমর্থন করতে পারে সমতুল্য শ্রেণীর কতগুলি সেট ?

n

$n$

— রাফেল

দোমারাতজকি, কিসম্যান এবং শ্যালিতের দ্বারা "এন স্টেটের সাথে সসীম অটোমেটা স্বীকৃত স্বতন্ত্র ভাষার সংখ্যার উপর" এই পেপারটি গুগল করতে সহায়ক হতে পারে।

— হেনড্রিক জানুয়ারী

এখানে পেপার সিটিসিয়ার ইউআরএল আছে

— vzn

tcs.se এ প্রায় একই প্রশ্নটি খুঁজে পেয়েছে: মাপের একটি ডিএফএ দ্বারা গৃহীত ভাষার সংখ্যা কত?

— vzn

এটি এন স্টেটস সহ ফিনিট অটোমেটা দ্বারা স্বীকৃত পৃথক ভাষার সংখ্যার উপরের কাগজের সংক্ষিপ্তসার । কাগজটি তুলনামূলকভাবে সহজ সরবরাহ করে, তবুও এনএফএর দ্বারা স্বীকৃত স্বতন্ত্র ভাষার সংখ্যার উপর আঁট, নিম্ন এবং উপরের সীমানা থেকে অনেক দূরে। স্বতন্ত্র ডিএফএর সংখ্যার বিষয়ে তাদের আলোচনাটি অত্যন্ত অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ, তাই আমি সেই অংশটিও অন্তর্ভুক্ত করব।

সঙ্গে একটি DFA তে দ্বারা গৃহীত স্বতন্ত্র ভাষায় সংখ্যার জন্য বেশ কঠোর মধ্যে asymptotic দিয়ে এবার কাগজ শুরু একটি ইউনারী বর্ণমালা ধরে যুক্তরাষ্ট্র। এটি কোন শর্তে প্রদত্ত ইউনিারি ডিএফএ ন্যূনতম তা পর্যবেক্ষণ করেই করা হয়। এ জাতীয় ক্ষেত্রে অটোমেটনের বিবরণটি কোনও প্রাথমিক শব্দের সাথে ম্যাপ করা যেতে পারে (বাইজিকালি) এবং এই জাতীয় শব্দের সংখ্যাটি এমবিয়াস ফাংশনের সাহায্যে সুপরিচিত এবং সম্পন্ন হয় । ফলাফলটি ব্যবহার করে, ডিএফএ এবং এনএফএ ক্ষেত্রে উভয় অ-অ্যানারি বর্ণমালার সীমা প্রমাণিত। $n$ $n$

আসুন আরও বিশদে যাওয়া যাক। একটি জন্য বর্ণমালা -letter, নির্ধারণ $k$ উল্লেখ্য,। আমরাএবং।

\begin{aligned} f_{k} (n) & = the number of pairwise non-isomorphic minimal DFA's with n states \\ g_{k} (n) & = the number of distinct languages accepted by DFA's with n states \\ G_{k} (n) & = the number of distinct languages accepted by NFA's with n states \end{aligned}

$\begin{align*} f_k(n) &= \text{the number of pairwise non-isomorphic minimal DFA's with } n \text{ states}\\ g_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by DFA's with } n \text{ states}\\ G_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by NFA's with } n \text{ states} \end{align*}$

g_{k} (n) = \sum_{i = 1}^{n} f_{k} (i)

$g_k(n) = \sum_{i=1}^n f_k(i)$

f_{1} (k)

$f_1(k)$

g_{1} (k)

$g_1(k)$

ইউনারি ডিএফএ'র গণনা

একটি অবিচ্ছিন্ন ডিএফএ সাথে স্টেট হ'ল ন্যূনতম iff $M = (Q, \{a\},\delta, q_0,F)$ $q_0,\dots, q_{n-1}$

এটি সংযুক্ত আছে। সুতরাং, নাম পরিবর্তন করার পরে, এটি রূপান্তর চিত্রটিতে একটি লুপ এবং একটি লেজ থাকে, যেমন এবং কিছু । $\delta(q_i,a) = q_{i+1}$ $\delta(q_{n-1},a)=q_j$ $j \leq n-1$
লুপটি ন্যূনতম।
যদি , তারপর পারেন এবং বা এবং । $j \neq 0$ $q_{j-1} \in F$ $q_{n-1} \notin F$ $q_{j-1} \notin F$ $q_{n-1} \in F$

লুপ শব্দ iff সংক্ষিপ্ত দ্বারা সংজ্ঞায়িত $q_j,\dots, q_{n-1}$ $a_j \cdots a_{n-1}$ হয়আদিম, যার মানে এটা আকারে লেখা যায় না জন্য কিছু শব্দএবং কিছু পূর্ণসংখ্যা। সংখ্যাদৈর্ঘ্যের আদিম শব্দেরউপর-letter বর্ণমালার পরিচিত, দেখুন উদাঃ Lothaireসংযুক্তকারিতা শব্দের উপর। আমাদের কাছে

a_{i} = {\begin{cases} 1 if q \in F, \\ 0 if q \notin F \end{cases}

$\begin{equation*} a_i = \begin{cases} 1 \quad \text{if } q \in F, \\ 0 \quad \text{if } q \notin F \end{cases} \end{equation*}$

x^{k}

$x^k$

x

$x$

k \geq 2

$k \ge 2$

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$

n

$n$

k

$k$

যেখানে

হলMöbius ফাংশন।

সহায়তায়কাগজটি

এবং

সঠিক সূত্র প্রমাণ করেএবং asympototically (উপপাদ্য 5 এবং করোলারি 6),

দেখায়

ψ_{k} (n) = \sum_{d | n} μ (d) k^{n / d}

$\begin{equation*} \psi_k(n) = \sum_{d | n} \mu(d) k^{n/d} \end{equation*}$

μ (n)

$\mu(n)$

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$

f_{1} (n)

$f_1(n)$

g_{1} (n)

$g_1(n)$

\begin{aligned} g_{1} (n) & = 2^{n} (n - α + O (n 2^{- n / 2})) \\ f_{1} (n) & = 2^{n - 1} (n + 1 - α + O (n 2^{- n / 2})) . \end{aligned}

$\begin{align*} g_1(n) &= 2^n \left(n-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right) \\ f_1(n) &= 2^{n-1}\left(n+1-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right). \end{align*}$

ডিএফএ'র গণনা

$f_k(n)$

f_{k} (n) \geq f_{1} (n) n^{(k - 1) n} \sim n 2^{n - 1} n^{(k - 1) n} .

$\begin{equation*} f_k(n) \ge f_1(n) n^{ (k-1)n} \sim n 2^{n-1}n^{(k-1)n}. \end{equation*}$

Δ \subset Σ

$\Delta \subset \Sigma$

M

$M$

M_{Δ}

$M_{\Delta}$

M

$M$

Δ

$\Delta$

S_{k, n}

$S_{k,n}$

M

$M$

k

$k$

{0, 1, \dots, k - 1}

$\{0,1,\dots,k-1 \}$

$M_{ \{0 \}}$ $f_1(n)$ $n$
যে কোনও নির্বাচন করা $k-1$ functions $h_i : Q \to Q$ for $1 \le i < k$ and defining $\delta(q,i) = h_i(q)$ জন্য $1 \le i < k$ এবং $q \in Q$ ।

পর্যবেক্ষণ হয় যে তারপর $S_{n,k}$ রয়েছে $f_1(n) n^{ (k-1)n}$ বিভিন্ন এবং ন্যূনতম ভাষা।

এনএফএ এর গণনা

জন্য $G_1(n)$ একটি তুচ্ছ নিম্ন সীমানা আছে $2^n$ , যেহেতু প্রতিটি উপসেট $\epsilon, a,\dots, a^{n-1}$ কিছু এনএফএ এর সাথে গ্রহণযোগ্য হতে পারে $n$ যুক্তরাষ্ট্র। নিম্ন সীমাটি কিছুটা উন্নত হয়েছে, তবুও প্রমাণটি দীর্ঘতর। পোমারেন্স এট আল দ্বারা অ্যানারি ক্ষেত্রে
কাগজের বিবরণী জটিলতা তা দেখায় $G_1(n) \le \left( \frac{c_1 n}{\log n}\right)^n$ .
Proposition 10 shows that, for $k \ge 2$ we have

n 2^{(k - 1) n^{2}} \leq G_{k} (n) \leq (2 n - 1) 2^{k n^{2}} + 1.

$\begin{equation*} n 2^{(k-1)n^2} \le G_k(n) \le (2n-1) 2^{kn^2} +1. \end{equation*}$ The proof is quite short, hence I include it verbatim (more or less). For the upper bound, note that any NFA can be specified by specifying, for each pair

(q, a)

$(q,a)$ of state and symbol, which subset of

Q

$Q$ equals

δ (q, a)

$\delta(q,a)$ (hence the factor

2^{k n^{2}}

$2^{kn^2}$ . We may assign the final states as follows: either the initial state is final or not, and since the names of the states are unimportant, we may assume the remaining final states are

{1, \dots, k}

$\{1,\dots,k\}$ for

k \in [0.. n - 1]

$k \in [0..n-1]$ . Finally, if we choose no final states, we obtain the empty language.
For the lower bound the authors proceed in a similar way as in the proof for the DFA case: Define an NFA

M = (Q, Σ, δ, q_{0}, F)

$M=(Q,\Sigma,\delta,q_0, F)$ with

Σ = {0, 1, \dots, k - 1}

$\Sigma = \{ 0,1,\dots,k-1 \}$ ,

Q = {q_{0}, \dots, q_{n - 1}}

$Q=\{ q_0,\dots, q_{n-1} \}$ and

δ

$\delta$ :

\begin{aligned} δ (q_{i}, 0) & = q_{(i + 1) \mod n} for 0 \leq i < n \\ δ (q_{i}, j) & = h_{j} (i) for 0 \leq i < n, 1 \leq j < k \end{aligned}

$\begin{align*} \delta(q_i,0) &=q_{(i+1) \mod n} \quad \text{for } 0 \le i <n \\ \delta(q_i,j) &=h_j(i) \quad \text{for } 0 \le i <n,\, 1 \le j < k \end{align*}$ where

h_{j} : {1, \dots, n - 1} \to 2^{Q}

$h_j: \{ 1,\dots,n-1\} \to 2^Q$ is any set-valued function. Finally, let

F = {q_{i}}

$F=\{q_i\}$ for any

i \in [0.. n - 1]

$i \in [0..n-1]$ . There are

2^{(k - 1) n^{2}}

$2^{(k-1)n^2}$ such functions and

n

$n$ ways to choose the set of final states. One can then show that no two such NFA's accept the same language.

— john_leo
সূত্র