বাস্তব সংখ্যা সহ জটিলতা ক্লাস প্রতিষ্ঠা আছে?

একজন শিক্ষার্থী সম্প্রতি আমাকে তাদের জন্য এনপি-কঠোরতার প্রমাণ পরীক্ষা করতে বলেছে। তারা এর লাইন ধরে হ্রাস সম্পাদন করেছে:

আমি এই সমস্যা কমাতে যে দ্বারা NP-সম্পূর্ণ আমার সমস্যার হিসেবে পরিচিত (ক বহু সময় অনেক কিছু এক হ্রাস সহ) তাই এন পি-কঠিন। $P'$ $P$ $P$

আমার উত্তরটি ছিল মূলত:

যেহেতু এর সাথে মানগুলির উদাহরণ রয়েছে , এটি তুচ্ছভাবে টিউরিং-গণনাযোগ্য নয় যাতে আপনি হ্রাস এড়াতে পারেন। $P$ $\mathbb{R}$

আনুষ্ঠানিকভাবে সত্য হলেও, আমি এই পদ্ধতিকে অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ বলে মনে করি না: আমরা অবশ্যই বাস্তবের সাথে মূল্যায়ন করার ক্ষেত্রে আমাদের সীমাবদ্ধতাগুলি উপেক্ষা করে একটি সত্যিকারের মূল্যবান সিদ্ধান্তের (বা অনুকূলকরণ) সমস্যার "সহজাত জটিলতা" ধরতে সক্ষম হতে চাই সংখ্যার; এই বিষয়গুলির তদন্ত অন্য দিনের জন্য।

এটি অবশ্যই বলা বাহুল্য সহজ নয়, "সাবসেট সামমের বিচ্ছিন্ন সংস্করণটি এনপি-সম্পূর্ণ, সুতরাং ধারাবাহিক সংস্করণটি 'এনপি-হার্ড'ও হয়"। এই ক্ষেত্রে, হ্রাস সহজ তবে ধারাবাহিক সংস্করণ সহজ হওয়ার বিখ্যাত উদাহরণ রয়েছে যেমন লিনিয়ার বনাম ইন্টিজার প্রোগ্রামিং।

এটি আমার কাছে ঘটেছিল যে র‌্যাম মডেলটি স্বাভাবিকভাবেই আসল সংখ্যায় প্রসারিত হয়; প্রতিটি নিবন্ধককে একটি আসল নম্বর সঞ্চয় করতে দিন এবং সেই অনুযায়ী বুনিয়াদি ক্রিয়াকলাপগুলি বাড়িয়ে দিন। অভিন্ন দামের মডেলটি এখনও বোঝা যায় - যতই বিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে যেমন হয় - যদিও লগারিদমিক এক তা করে না।

সুতরাং, আমার প্রশ্নটি এখানে ফুটে উঠেছে: বাস্তব-মূল্যবান সমস্যার জটিলতার কোনও ধারণা প্রতিষ্ঠিত হয়েছে? তারা কীভাবে "স্ট্যান্ডার্ড" বিযুক্ত শ্রেণীর সাথে সম্পর্কিত?

^{গুগল অনুসন্ধানগুলিতে কিছু ফলাফল পাওয়া যায়, যেমন এটি , তবে আমার কাছে কী প্রতিষ্ঠিত এবং / বা দরকারী এবং কী নয় তা বলার উপায় নেই।}

— রাফেল
সূত্র

আপনি আকর্ষণীয় "জটিলতা এবং বাস্তব গণনা" পেতে পারেন amazon.com/Complexity- রিয়েল- সমঝোতা- লেনোর- ব্লুম

— কর্ট

আমার কাছে মনে হয় আপনার শিক্ষার্থীর প্রতি আপনার উত্তরটি একটি সাধারণ কারণে অনাকাঙ্খিত ছিল: আমরা বাস্তবের উপর ভিত্তি করে যে পরিমাণ গণনা দেখতে পাই তা গণনাযোগ্য রিয়েলগুলি ব্যবহার করে পরিচালনা করা যেতে পারে । আমি জানি না যে এটি এমন একটি উত্তর যা আপনার শিক্ষার্থীর উদ্দেশ্যে ব্যবহারের জন্য উপযুক্ত, তবে এটি কমপক্ষে ট্যুরিং কম্পিউটিংয়ের যুক্তির অভাব সরিয়ে নেওয়া উচিত। দুর্ভাগ্যক্রমে, আমি এই বিষয়গুলির আরও বিকাশের জন্য যথেষ্ট বিশেষজ্ঞ নই।

— বাবু

@ বাউউ যতক্ষণ গণনাযোগ্যতা হিসাবে চলে যায়, এটি একটি যুক্তিসঙ্গত বাধা হতে পারে (তবে তাদের অবশ্য একটি কথা বলা উচিত!)। তবে জটিলতায় কী ঘটে?

— রাফেল

@ রাফেল আমার বক্তব্যটি হ'ল এটি এমনকি কোনও বাধাও নয় এবং এটি বিবৃত করার দরকার নেই। এটি কেবল অনিবার্য। একটি গণনার মধ্যে আপনি যে রিয়েলগুলি বিবেচনা করতে পারবেন তা হ'ল গণনাযোগ্য রিয়েলস (চার্চ-টিউরিং থিসিস)। সুন্দর অংশটি দৃশ্যত এটি যথাযথ যত্ন সহ প্রাসঙ্গিক কোনও গণিতের কোনও পরিবর্তন করে না। গণনামূলক বাস্তবের বাইরে যাওয়া হ'ল টুরিং হায়ারার্কির উচ্চ স্তরের ব্যবহার, আকর্ষণীয় জল্পনা কল্পনা, বাস্তবের কোনও কিছুর উপর সম্ভবত খুব সামান্য প্রভাব থাকে (শঙ্কিত অনিবার্য)।

— বাবু

উত্তর:

হ্যাঁ. সেখানে.

অন্যান্য উত্তরে উল্লিখিত আসল র‌্যাম / বিএসএস মডেল রয়েছে। মডেলটির কিছু সমস্যা রয়েছে এবং এএফআইএকি সম্পর্কে এটি নিয়ে খুব বেশি গবেষণা কার্যক্রম নেই। তর্কসাপেক্ষভাবে, এটি গণনার কোনও বাস্তববাদী মডেল নয় ।

রিয়েল কম্পিউটারের আরও সক্রিয় ধারণা হ'ল উচ্চতর টাইপ গণনা মডেল। প্রাথমিক ধারণাটি হ'ল আপনি উচ্চতর ধরণের ফাংশনের জন্য জটিলতা নির্ধারণ করেন এবং তারপরে প্রকৃত সংখ্যাগুলি উপস্থাপনের জন্য উচ্চতর ধরণের ফাংশন ব্যবহার করেন।

উচ্চতর ধরণের ফাংশনগুলির জটিলতার অধ্যয়ন কমপক্ষে [1] এ ফিরে যায়। সাম্প্রতিক কাজের জন্য প্রকৃত অপারেটরগুলির জটিলতার বিষয়ে আকিতোশি কাওয়ামুরা কাগজপত্র পরীক্ষা করে দেখুন।

বাস্তব ফাংশনগুলির জটিলতার জন্য ধ্রুপদী রেফারেন্স হ'ল কের -১ কো-এর বই [২]। ক্লাউস ওয়েইরাচ []] এর অতি সাম্প্রতিক বইয়ের 6th ষ্ঠ অধ্যায়েও সত্যিকারের কমপিটেশনের জটিলতা নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে (তবে এটি জটিলতার চেয়ে কমপিউটিবিলিটির দিকে বেশি মনোনিবেশিত)।

[1] স্টিফেন কুক এবং ব্রুস কাপ্রন, "সসীম ধরণের প্রাথমিক সম্ভাব্য কার্যকারিতার বৈশিষ্ট্য", 1990
[২] কের -১ কো, "রিয়েল ফাংশনগুলির গণ্য জটিল", 1991।
[3] ক্লাউস ওয়েহরাউচ '"গণনাযোগ্য বিশ্লেষণ", 2000।

— Kaveh
সূত্র

উচ্চতর ধরণের ফাংশন মডেলটি বাস্তব র‌্যাম মডেলের চেয়ে আরও বাস্তবসম্মত কী করে?

— রাফেল

@ রাফেল, আমি মনে করি আমি এটি সংযুক্ত প্রশ্নে ব্যাখ্যা করেছি। যদি আপনি চিকিত্সার মাধ্যমে আরও কিছু চান তবে বেশ কয়েকটি রয়েছে, এর একটি হ'ল ওয়েরাউচের 9 নং অধ্যায়। আইআইআরসি, আরেকটি ভাল এটি টাকার এবং স্টোলেনবার্গ-হানসেনের একটি নিবন্ধ।

— কাভেহ

আমার দৃষ্টিতে রিয়েল-র‌্যাম মডেলের দুটি প্রধান সমস্যা রয়েছে: একদিকে এগুলি স্বেচ্ছাসেবী সংক্ষিপ্ততার যুক্তিযুক্ত আনুষঙ্গিক সংখ্যার অনুপস্থিতি যা তাত্ক্ষণিকভাবে তাদের প্রধান সম্পত্তি, অন্যদিকে এটি বাস্তব সংখ্যার তুলনা করতে দেয় যা এএফআইকে কেউ জানে না। অনুশীলনে কীভাবে করবেন। ফলস্বরূপ কিছু বাস্তব কার্য যা আমরা দক্ষতার সাথে অনুশীলনে গণনীয় বিবেচনা করি তা মডেলটিতে গণনাযোগ্য নয়, কিছু মডেলটিতে দক্ষতার সাথে গণ্যযোগ্য বাস্তব কার্যগুলি অনুশীলনে মোটেও গণনাযোগ্য নয় comp

— কাভেহ

@ কাভেঃ আমি পুরো আলোচনার, প্রশ্নে এবং উত্তরগুলিতে অস্পষ্ট হয়ে পড়েছি। আমরা কি traditionalতিহ্যবাহী অগণণযোগ্য বাস্তবের কথা বলছি, বা গণনাযোগ্য বাস্তবের কথা বলছি। আপনার শেষ মন্তব্য থেকে, আপনি "বাস্তব ফাংশনগুলির বিষয়ে কথা বলছেন যা আমরা অনুশীলনে দক্ষতার সাথে গণ্যযোগ্য বিবেচনা করি", সুতরাং আমি এটি বিশ্বাস করতে পারি যে এটি গণনাযোগ্য বাস্তব সম্পর্কে। আসলে বলতে কী বোঝ?

— babou

আপনি যে মডেলটি বর্ণনা করেছেন সেটি ব্লাম-শাব-সামেল (বিএসএস) মডেল (এছাড়াও রিয়েল র‌্যাম মডেল) হিসাবে পরিচিত এবং প্রকৃতপক্ষে জটিলতা ক্লাসগুলি সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়েছিল।

এই ডোমেনের কিছু আকর্ষণীয় সমস্যাগুলি হচ্ছে ক্লাসগুলি , এবং অবশ্যই = কিনা তা নিয়ে প্রশ্ন । দ্বারা আমরা মানে সমস্যা polynomially নির্ধার্য হয়, সমস্যা polynomially যাচাইযোগ্য হয়। ক্লাস সম্পর্কে কঠোরতা / সম্পূর্ণতা সংক্রান্ত প্রশ্ন রয়েছে । সম্পূর্ণ সমস্যার উদাহরণ হ'ল , কোয়াড্র্যাটিক পলিনোমিয়াল সিস্টেমের সমস্যা, যেখানে ইনপুটটি সত্যিকারের বহুভুজ হয় $P_R$ $NP_R$ $P_R$ $NP_R$ $P_R$ $NP_R$ $NP_R$ $NP_R$ $QPS$ ভেরিয়েবলগুলিরএবং $m$ ডিগ্রি সর্বাধিক 2 এবং প্রতিটি বহুপদীতে সর্বোচ্চ 3 ভেরিয়েবল থাকে। প্রশ্ন আছে কিনা একটি সাধারণ বাস্তব সমাধান , যেমন যে $p_1, ..., p_n$ $\subseteq$ $R[x_1, ..., x_n]$ $R^n$ $p_1(a), p_2(a), ... p_n(a) = 0$ । এটি একটি সম্পূর্ণ সমস্যা। $NP_R$

তবে আরও মজার বিষয় হল এর মধ্যে সম্পর্কের বিষয়ে কিছু কাজ হয়েছে , (প্রোবালিস্টিকালি চেকযোগ্য প্রুফস), রিলগুলি, অর্থাৎ ক্লাস , এবং এটি কীভাবে বীজগণিত গণনার মডেলগুলির সাথে সম্পর্কিত তার মধ্যে সম্পর্ক নিয়ে কিছু কাজ হয়েছে। বিএসএস মডেল সমস্ত সকলেরকাছে রিয়েলস দেয়। এটি সাহিত্যে আদর্শ, এবং আমরা আজ যা জানি তা হ'ল এর "স্বচ্ছ দীর্ঘ প্রমাণ" এবং "স্বচ্ছ সংক্ষিপ্ত প্রমাণ" রয়েছে। "স্বচ্ছ দীর্ঘ প্রমাণগুলি" দ্বারা নিম্নলিখিত উহ্য হয়: মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয় $PCP$ $PCP_R$ $NP$ $NP_R$ $NP_R$ । এছাড়াও একটি এক্সটেনশান রয়েছে যা বলে যে, "প্রায় (সংক্ষেপিত) সংক্ষিপ্ত সংস্করণ "টিও সত্য। আমরা প্রমাণকে স্থিতিশীল করতে পারি এবং চেয়ে কম অনেকগুলি (বাস্তব) উপাদান পরীক্ষা করে ত্রুটিগুলি সনাক্ত করতে পারি? এটি স্ট্রেট লাইন প্রোগ্রাম দ্বারা প্রদত্ত অবিচ্ছিন্ন বহুবর্ষের জন্য জিরোগুলির অস্তিত্ব সম্পর্কে প্রশ্নগুলির দিকে পরিচালিত করে। এছাড়াও, "স্বচ্ছ দীর্ঘ প্রমাণগুলি" বলতে আমাদের বোঝায় $PCP_R(poly, O(1))$ $n$

"স্বচ্ছ" - কেবল, পড়তে হবে, $O(1)$
দীর্ঘ - বাস্তব উপাদানগুলির অতিমানবিক সংখ্যা।

প্রমাণ বাঁধা হয় , এবং আসল মূল্যবান সমস্যাগুলি দেখার একটি উপায় নিশ্চিত হ'ল এটি কীভাবে সাবসেটের যোগফলের সাথে সম্পর্কিত হতে পারে - এমনকি বাস্তব মূল্যবান সমস্যাগুলির জন্য প্রায় আনুমানিক আলগোরিদিমগুলি আকর্ষণীয় হবে - অপ্টিমাইজেশনের জন্য - লিনিয়ার প্রোগ্রামিং আমরা জানি ক্লাসে রয়েছে, তবে হ্যাঁ এটি কী আকর্ষণীয়তা সমস্যারক্ষেত্রে সম্পূর্ণতা / কঠোরতার উপর প্রভাব ফেলতে পারে তা দেখতে আকর্ষণীয় হবে। এছাড়াও, অন্য একটি প্রশ্ন ? $3SAT$ $FP$ $NP_R$ $NP_R$ $=$ $co\text{-}NP_R$

ক্লাসের কথা চিন্তা করার সময় , বহুগুণিত পাটিগণিত সম্পর্কে যুক্তি দেখানোর অনুমতি দেওয়ার জন্য গণনা ক্লাসও রয়েছে। যদিও ফাংশন ক্লাস হয় উপর সংজ্ঞায়িত , যার জন্য সেখানে টুরিং মেশিন একটি বহুপদী সময় বিদ্যমান এবং একটি বহুপদী সম্পত্তি যে সঙ্গে , এবং , $NP_R$ $\#P$ $f$ $\{0,1\}^\infty$ $\rightarrow$ $\mathbb{N}$ $M$ $p$ $\forall n$ $\in$ $\mathbb{N}$ $x$ $\in$ $\{0,1\}^{n}$ $f(x)$ গন্য স্ট্রিং সংখ্যা যে টুরিং মেশিন গ্রহণ । বাস্তবের জন্য আমরা এই ধারণাটি প্রসারিত করি এখানে রয়েছে অ্যাডেটিভ বিএসএস মেশিন - বিএসএস মেশিনগুলি কেবল সংযোজন করে এবং গুণগুলি (কোনও বিভাগ নেই, বিয়োগফল নেই)। অ্যাডিটিভ বিএসএস মেশিনগুলির সাথে ( গণনায় নোডগুলি কেবল সংযোজন এবং গুণনের অনুমতি দেয়) এর মডেলটি এমন হয়ে ওঠে যেখানে অ্যাডিটিভ বিএসএস মেশিনগুলি গ্রহণ করে এমন ভেক্টরগুলির মধ্যে গণনাটি বেশি। সুতরাং, গণনা ক্লাস হল $y \in$ $\{0,1\}^{p(n)}$ $M$ $\{x,y\}$ $\# P$ $\#P_{add}$ এই শ্রেণিটি বেটি সংখ্যাগুলির অধ্যয়ন এবং এলারের বৈশিষ্ট্যগুলিও কার্যকর।

— user3483902
সূত্র

আসল র‌্যাম (র‌্যান্ডম অ্যাক্সেস মেশিন), বা বিএসএস (ব্লাম-শাব-সামেল) মেশিনটি এই মডেল, যা পূর্বে উল্লিখিত ছিল এই শ্রেণিগুলি সম্পর্কে যুক্তিযুক্ত কারণ হিসাবে ব্যাপকভাবে গ্রহণযোগ্য।

— ব্যবহারকারী 3483902

না, দাবিটি সম্পূর্ণ মিথ্যা false উদাহরণস্বরূপ সিসিএ-নেট এ দেখুন এবং দেখুন যে কতজন গবেষক সেই মডেলটি ব্যবহার করছেন।

— কাভেহ

ঠিক আছে, পোস্টে জটিলতা ক্লাসগুলির জন্য ব্যবহৃত মডেলগুলি বিএসএস মডেল ব্যবহার করে এবং সময় বাড়ার সাথে সাথে অন্য মডেলগুলিও থাকতে পারে, এই অন্যান্য মডেলগুলি পোস্টে জটিলতা ক্লাসগুলির সাথে কাজ করে? বিটিডাব্লু, মন্তব্যটি ক্লাসে উদ্বেগজনকভাবে ব্যবহৃত মডেলগুলি সম্পর্কে একটি স্পষ্টতা ছিল, যা পোস্টটি সম্বোধন করেছিল, তাই অন্য মডেলগুলি রয়েছে কিনা সে সম্পর্কে কোনও স্পষ্টতা ছিল না। আবার, ক্লাসে ব্যবহৃত মডেলগুলির সম্পর্কে স্পষ্টতা ছিল, কোনও দাবি ছিল না।

— ব্যবহারকারী 3483902