সংক্ষেপে : টুরিং মেশিন অসীম ডেটাতে (চূড়ান্তভাবে নির্দিষ্ট) অসীম গণনা (চূড়ান্তভাবে নির্দিষ্ট করা) অসীম ফলাফল তৈরি করতে পারে (চূড়ান্তভাবে নির্দিষ্ট) অসীম ফলাফল তৈরি করতে পারে। প্রাথমিক ধারণাটি হ'ল এই অসম্পূর্ণতাগুলি সীমাবদ্ধ সত্তার সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, গাণিতিকভাবে উপযুক্ত উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এটি গণনার গাণিতিক শব্দার্থের ভিত্তি। আপনি যদি ট্যুরিং মেশিনের পরিবর্তে প্রোগ্রামগুলি বিবেচনা করেন তবে এই প্রোগ্রামগুলিতে অসীম ডেটা-স্ট্রাকচার (চূড়ান্তভাবে নির্দিষ্ট) থাকতে পারে। factএকটি সম্ভাব্য অ্যালগরিদম হিসাবে একটি সারণী ফাংশনের ক্ষেত্রেটি শেষ পর্যন্ত, একটি প্রোগ্রাম হিসাবে, বা একটি টিএম মডেল হিসাবে, অসীম বস্তুর অলস মূল্যায়নের সাথে সম্পর্কিত সম্পর্কিত একটি ইঙ্গিত বিশ্লেষণ করা হয় is
আরও অনেক বিশদ সহ
আপনার চূড়ান্ত প্রশ্ন সম্পর্কে, একটি টিএম সালিসী সংখ্যার উপর ভিত্তি করে গণনা করে না, তবে এই সংখ্যাগুলির প্রতীকী চিহ্নগুলিকে নির্বিচারে (সীমাহীন) প্রতীকগুলির দীর্ঘ স্ট্রিং হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করে। মডুলো যথাযথ এনকোডিং, এটি সঠিক যে তারা এই উপস্থাপনার মাধ্যমে এ জাতীয় সংখ্যার সাথে তুলনা করতে বা পাটিগণিত করতে পারে।
তবে মূল প্রশ্নটি সাধারণভাবে ট্যুরিং মেশিনগুলিতে অনন্তের ভূমিকা সম্পর্কে।
এই প্রশ্নের একটি সাধারণ উত্তর হ'ল টুরিং মেশিনগুলি কখনই অসীমতার মোকাবিলা করে না। এগুলি চূড়ান্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং টেপের সীমাবদ্ধ অংশে তারা যা গণনা করে তা সুনির্দিষ্ট সময়ে গণনা করা হয় (অতএব বৃহত্তর একটি সীমাবদ্ধ টেপই যথেষ্ট হবে)। সত্যটি হ'ল টিএম এর জায়গার প্রয়োজনীয়তার সময়টি সীমাহীন, যা অসীমের মতো নয়।
সুতরাং, কোনও টিএম দ্বারা গণনা করা যে কোনও উত্তর একটি সীমাবদ্ধ-রাষ্ট্র অটোমেটন (এফএসএ) দ্বারা গণনা করা যেতে পারে, যা ট্যাবুলেশনটি দেখার এক উপায় "কিছুটা হলেও"। অসুবিধাটি হ'ল কিছু ইনপুট আকার (এটি প্রায়শই সর্বদা আসে, কেবল যদি ইনপুটটি পড়তে হয়) অটোমেটনের আকারকে ছাড়িয়ে যাবে। তবে, আমরা কেবল আরও বড়টি ব্যবহার করতে পারি। সুতরাং আমরা যদি আনবাউন্ডেড ইনপুট আকারটি বিবেচনা করতে চাই, আমাদের এফএসএর অসীম অনুক্রমের প্রয়োজন যা গণনা করতে পারে। প্রকৃতপক্ষে আমাদের একটি সসীম-রাষ্ট্রীয় মেশিনের প্রয়োজন হতে পারে traditionalতিহ্যবাহী এফএসএর চেয়ে কিছুটা জটিল যেহেতু কোনও আউটপুট গণনা করা যেতে পারে (হ্যাঁ-উত্তর নয়), তবে একটি সসীম স্টেট ট্রান্সডুসার সম্ভবত করা উচিত।
সুতরাং, আমরা যদি এমন কোনও সমস্যার দিকে তাকিয়ে থাকি যার একটি অসীম উদাহরণ রয়েছে যেমন একটি জিসিডি গণনা করা, বা কেবল নির্বিচারে আকারের পূর্ণসংখ্যার গাণিতিক ব্যবহার করে আমরা দেখতে পাই যে অনন্ত এই অনন্ত হিসাবে আমাদের পিছনের দরজার মধ্য দিয়ে ফিরে আসছে এফএসএ সেট।
তবে আরও একটি সমস্যা আছে। উপরের বিশ্লেষণটি কেবল তখনই কাজ করে যখন আমরা ফলাফলের সাথে সমাপ্ত গণনাগুলি বিবেচনা করি। তবে সমস্ত টিএম তা করে না। কেউ কেউ অসীম সেটের সদস্যদের গণনা করতে পারে। এটি একটি টিএম এর ক্ষেত্রে সাধারণত যেটির দশমিক সংখ্যা গণনা করেπএবং অনির্দিষ্টকালের জন্য নতুন যুক্ত করে রাখুন। অবশ্যই এটি সীমাবদ্ধ সময়ে কেবল একটি সীমাবদ্ধ উত্তর গণনা করে তবে আমরা যা আগ্রহী তা হ'ল অসীম গননা দ্বারা উত্পাদিত অসীম অনুক্রম really লক্ষ্য করুন যে আমাদের কাছে এখন অসীমের দুটি দিক রয়েছে: গণনার অনন্ততা, ফলাফলের অনন্ততা (অর্থাত্ কয়েকটি গণিত ডেটা)। প্রকৃতপক্ষে এটি এমনকি সীমাহীন ইনপুট বিবেচনা করতে পারে ... তবে আসুন আমরা এই জটিলতাটিকে অগ্রাহ্য করি যা তথ্যের সীমাহীন স্ট্রিমগুলির সাথে সম্পর্কিত deals এও নোট করুন যে এই জাতীয় গণনাগুলি হ্যাঁ বাদে অন্য একটি আউটপুট দেয়
তারপরে আবারও, আমরা সীমাবদ্ধ মেশিনের সাথে সীমাবদ্ধ গণনার অসীম ক্রম দ্বারা এটি প্রতিস্থাপন করতে পারি। তবে আমরা কি প্রতারণা করছি?
শারীরিক দৃষ্টিকোণ থেকে, আমরা সবচেয়ে ভাল করতে পারি। আমরা কেবলমাত্র সীমাবদ্ধ মেশিনগুলি কীভাবে তৈরি করতে পারি তা কমপক্ষে পদার্থবিজ্ঞানের শিল্পের বর্তমান অবস্থা অনুযায়ী, যা অদূর ভবিষ্যতে সেই বিষয়ে খুব বেশি পরিবর্তিত হবে বলে আশা করা যায় না।
তবে গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে আমরা কীভাবে এই অসম্পূর্ণতাগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং ট্র্যাকটেবল পদ্ধতিতে পরিচালনা করতে পারি।
আপনি যখন এফএসএর এমন একটি অসীম সেট বিবেচনা করেন যা উত্তরগুলির অসীম সেট গণনা করতে বাছাই করতে পারে তবে আপনি এটিকে নির্বিচারে করতে পারবেন না। আপনি যা করছেন তা বোধগম্য হয় তা নিশ্চিত করতে আপনার কয়েকটি সুরক্ষার প্রয়োজন। এটি সর্বজনবিদিত যে আপনি নিয়মিত সেটের অসীম ইউনিয়ন সহ সিঙ্গলটন সেটগুলির সীমাহীন ইউনিয়নের সাথে তুচ্ছভাবে কোনও সেট তৈরি করতে পারেন। সুতরাং, কোনও বিধিনিষেধ ছাড়াই অটোমাতার স্বেচ্ছাসেবী অসীম ইউনিয়ন বিবেচনা আপনাকে আর কোথাও নিয়ে যাবে না। আপনি এমনকি একই সেট অটোম্যাটে বিবেচনা করে যা আপনাকে বেমানান উত্তর দেয়।
আপনি যা চান তা হ'ল ধারাবাহিকতার ধারণাটি সংজ্ঞায়িত করা। তবে এর জন্য কিছু সতর্কতা দরকার। আসুন আমরা ধরে নিই যে আপনি কোনও টিএম অনুকরণ করতে অটোমেটার একটি অসীম অনুক্রম ব্যবহার করছেন যা হ্যাঁ বা না উত্তর দেয় বা থামে না। সমস্যাটি হ'ল এফএসএ সর্বদা একটি উত্তর দিয়ে থামিয়ে রাখে যেমন হ্যাঁ বা না। তবে আপনি যদি এমন কোনও এফএসএ ব্যবহার করেন যা নির্বাচিত ইনপুটটির পক্ষে আসলে যথেষ্ট বড় আকারের হয় না, তবে এর উত্তর কী দেওয়া উচিত। হ্যাঁ এবং না উভয়ই মামলার জন্য সংরক্ষিত থাকে যখন এফএসএ আসলে টিএম গণনাটি শেষ করে দেয়, এবং এর একটি উত্তর অসম্পূর্ণ গণনার সাথে ব্যবহার করলে কেবল বিভ্রান্তি ঘটে। আপনি যা চান তা একটি উত্তর যা বলে: " দুঃখিত, আমি খুব ছোট এবং আমি বলতে পারি না Please দয়া করে পরিবারের কোনও বড় লোকের সাথে চেষ্টা করুন "। অন্য কথায় আপনি একটি উত্তর চান যেমন
ওভারফ্লো , বা জানেন না। আসলে এটি শব্দার্থবিজ্ঞানীরা " অপরিজ্ঞাত " বা " নীচে " বলে এবং প্রায়শই লিখিত "⊥"।
সুতরাং আপনার অটোম্যাটা দরকার যেখানে 3 প্রকারের রাজ্য রয়েছে: গ্রহণযোগ্য, অ-গ্রহণযোগ্য এবং অপরিজ্ঞাত। অপরিজ্ঞাত রাষ্ট্রটিকে অটোমেটনের অনুপস্থিত অংশের জন্য দাঁড়িয়ে থাকা রাষ্ট্র হিসাবে দেখা যেতে পারে যা গণনা বন্ধ করতে বাধ্য করে। সুতরাং, যখন গণনা বন্ধ হয়ে যায়, রাষ্ট্রটি যেখানে থামবে তার উপর নির্ভর করে আপনি উত্তরটি হ্যাঁ , না , বা অপরিজ্ঞাত পেয়েছেন ।
এখন, আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে আপনি যা চান তা হ'ল অটোম্যাটার সীমাহীন ক্রম । উভয় হ্যাঁ এবং কোন সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়
অনির্ধারিত কিন্তু হ্যাঁ সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয় কোন । তারপরে দুটি অটোমেটা সামঞ্জস্য হয় যখন তারা একই ইনপুটটিতে ধারাবাহিক উত্তর দেয়।
এটিকে অটোম্যাটাতে বাড়ানো যেতে পারে যা অন্যান্য ধরণের জবাবগুলি গণনা করে। উদাহরণস্বরূপ যদি তারা লাল, নীল, সবুজ ... এর মতো রঙগুলি গণনা করে থাকে তবে আপনি অপরিবর্তিত রঙটি যুক্ত করতে পারেন যা অন্য সকলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। উত্তরটি হ'ল অঙ্কগুলির যেমন অসীম অনুক্রমπ, তারপরে প্রতিটি ডিজিটকে ধারাবাহিকভাবে এবং স্বতন্ত্রভাবে অপরিবর্তিত করে প্রতিস্থাপন করা যায় যাতে এটি 3.14 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ । । । সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ 3.1415 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ । । । এবং সাথে
⊥ । 59 5159 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ । । ।তবে দ্বিতীয়টির সাথে সামঞ্জস্য নেই 3.1416 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ । । ।। আসলে, এই অর্থে,3.1416 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ । । । এর প্রায় অনুমান নয় π। আমরা বলি যে উত্তরটি অন্যটির চেয়ে আরও ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যখন এতে অন্যান্য তথ্যতে পাওয়া যায় এমন সমস্ত তথ্য এবং সম্ভবত আরও অনেক কিছু থাকে। এটি আসলে একটি আংশিক ক্রম।
আমি এই তাত্ত্বিক দিকগুলি আরও বিকাশ করব না, যা ট্যুরিং মেশিনের উপর ভিত্তি করে কিছুটা বিশ্রী হয়। মুল বক্তব্যটি হ'ল এই ধারণাগুলি এই ধারণাটি নিয়ে আসে যে গণনা ডোমেনগুলি (ডেটা বা মেশিনগুলিই হোক), জালাগুলির মতো গাণিতিক কাঠামো গঠন করে, যেখানে অসীম বস্তুটি সীমাহীনভাবে সীমিত হিসাবে সীমিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে সীমাহীন ক্রমবর্ধমান (অর্থাত্ আরও ভাল এবং আরও ভাল সংজ্ঞায়িত) অনুক্রমসমূহ সীমাবদ্ধ বস্তু অসীম ক্রমগুলি সংজ্ঞায়িত করার জন্য আরও কিছু সরঞ্জাম এবং ধারাবাহিকতার ধারণা প্রয়োজন। ডানা স্কট এর শব্দার্থবিজ্ঞানের তত্ত্বটি মূলত এটিই, এবং এটি গণনাযোগ্যতার ধারণাগুলি সম্পর্কে কিছুটা ভিন্ন দৃষ্টিভঙ্গি দেয়।
তারপরে, ট্যুরিং মেশিন, বা অন্যান্য আনুষ্ঠানিক ডিভাইসগুলি যা "অসীম গণনা" করতে পারে সেগুলি মেশিনগুলির সীমাবদ্ধতার সীমাবদ্ধতার সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, এটি আরও ভাল এবং আরও ভাল সংজ্ঞায়িত। ইনপুট বা আউটপুট যাই হোক না কেন, মেশিনগুলি যে ডেটা দিয়ে গণনা করে তার জন্য একই true
আমি এর মধ্যে যে সরলতম ডকুমেন্টটি পড়েছি তা হ'ল ডানা স্কট দ্বারা লিখিত বক্তৃতার নোটগুলির হাতে লেখা সেট, যা প্রায়শই আমস্টারডামের বক্তৃতা নোট হিসাবে পরিচিত। তবে ওয়েবে এটি খুঁজে পাইনি। একটি অনুলিপিটির কোনও পয়েন্টার (এমনকি এটি অসম্পূর্ণ, যেমন আমি এর একটি অংশ রয়েছে) স্বাগত হবে। তবে আপনি স্কটের অন্যান্য প্রাথমিক প্রকাশনাগুলির দিকে নজর দিতে পারেন যেমন
গণনার আউটলাইন অফ ম্যাথমেটিক্যাল থিওরি ।
প্রশ্নের প্রাথমিক উদাহরণে ফিরে যান
এই আনুমানিক ধারণাটি ডেটা পাশাপাশি প্রোগ্রামগুলিতেও প্রযোজ্য। ফাংশনটি factপুনরাবৃত্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যার অর্থ এটি কোনও ক্রিয়াকলাপের সর্বনিম্ন স্থির বিন্দু যা সীমাবদ্ধকরণের সীমাবদ্ধকরণের সীমাবদ্ধতা গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে fact। আরও বেশি সংজ্ঞায়িত সীমাবদ্ধ ফাংশনগুলির এই ক্রমটি একটি অসীম সত্তাকে রূপান্তর করে যা আপনি ফাংশনটিকে কল করেন fact।
তবে আপনি যদি অ্যারে লুকআপ ব্যবহার করেন, আপনি আপনার কোডটি বৃহত্তর এবং বৃহত্তর টেবিলগুলি সহ ঠিক একই কাজটি করতে পারেন যা পূর্বনির্ধারিত মানগুলির অসীম সারণির সীমাবদ্ধ সমষ্টি fact। এই অ্যারের প্রতিটি প্রকৃতপক্ষে কোনও পূর্ণসংখ্যার জন্য একটি উত্তর দিতে পারে, তবে উত্তরটি হতে পারে⊥( Undefined ) যখন টেবিল যথেষ্ট (বড় যথেষ্ট) সংজ্ঞায়িত করা হয় না। টেবিল বর্ণন আপ অ্যালগরিদমকেও আনুমানিক সারণির সাথে গণনা করার কারণে প্রায় অনুক্রমের ক্রম দ্বারা সংজ্ঞায়িত করতে হবে।
এটি সত্য যে আপনি যদি গণনার প্রাথমিক টিএম মডেলটি বিবেচনা করেন তবে এই আনুষ্ঠানিকতায় এমন অসীম বিন্যাস প্রকাশ করা যায় না। এর অর্থ এই নয় যে এটি বোধগম্য হবে না। একটি টুরিং মেশিনে একটি দ্বিতীয় টেপ থাকতে পারে যা কিছু ফাংশনগুলির ট্যাবুলেটেড মানগুলির সাথে আরম্ভ করার কথা fact। এটি টিএম এর গণনামূলক শক্তি পরিবর্তন করে না, যতক্ষণ না সেই ফাংশনটি একটি গণনীয় হয়, যতক্ষণ না টেবিলটি অন্য কোনও টিএম এর অসীম গণনার সাথে সূচনা করা যেতে পারে যা প্রাসঙ্গিক ফাংশনের জন্য সমস্ত আর্গুমেন্ট-মান জোড়গুলি গণনা করতে পারে।
তবে অনুশীলনে, আপনি অসীম গণনা সম্পূর্ণ করতে পারবেন না। অতএব এটি করার সঠিক উপায় হ'ল টেবিলটি অলসভাবে গণনা করা, অর্থাত্ যখন প্রয়োজন হবে কেবলমাত্র এন্ট্রি পূরণ করা। স্মৃতিচারণে যা করা হয় ঠিক তা-ই এটি, যা আপনার পূর্ববর্তী প্রশ্নের জন্য বিভিন্ন ন্যায়সঙ্গততার সাথে আমি আপনাকে উত্তর দিয়েছি।