এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যাগুলি কেন তাদের সান্নিধ্যের দিক থেকে আলাদা?

22

আমি একজন প্রোগ্রামার বলে এসে প্রশ্নটি শুরু করতে চাই এবং জটিলতা তত্ত্বের আমার অনেক পটভূমি নেই।

একটি জিনিস আমি লক্ষ্য করেছি যে অনেকগুলি সমস্যাগুলি এনপি-সম্পূর্ণ হওয়ার পরেও যখন অপ্টিমাইজেশনের সমস্যাগুলিতে প্রসারিত হয় তখন কিছু অন্যের তুলনায় আনুমানিকর তুলনায় অনেক বেশি কঠিন।

এর একটি ভাল উদাহরণ টিএসপি। যদিও সমস্ত ধরণের টিএসপি এনপি-সম্পূর্ণ, তবুও সম্পর্কিত অপ্টিমাইজেশনের সমস্যাগুলি ক্রমাগত সরলীকরণের সাথে আনুমানিকভাবে আরও সহজ এবং সহজ হয়ে যায়। সাধারণ কেসটি এনপিও-সম্পূর্ণ, মেট্রিক কেস এপিএক্স-সম্পূর্ণ, এবং ইউক্লিডিয়ান ক্ষেত্রে আসলে একটি পিটিএএস থাকে।

এটি আমার কাছে মতবিরোধী বলে মনে হচ্ছে এবং আমি এর কারণ আছে কিনা তা নিয়ে ভাবছি।

complexity-theory optimization np approximation

— GregRos
সূত্র

2

আপনি যদি বেসিকগুলি পড়তে চান তবে আমাদের রেফারেন্স প্রশ্নটি দেখুন । আপনার প্রশ্নের হিসাবে, আপনি দুর্বল এবং দৃ strongly ়ভাবে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার মধ্যে পার্থক্যটি পর্যবেক্ষণ করছেন ।

— রাফেল

14

এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার জন্য আমরা বিভিন্ন ধরণের জটিলতা দেখতে পাচ্ছি তার একটি কারণ হ'ল এনপি-সম্পূর্ণর জন্য প্রয়োজনীয় শর্তগুলি সমস্যার জটিলতার খুব মোটা দানাদার মাপকাঠি গঠন করে। আপনি কোনও সমস্যার মূল সংজ্ঞাটির সাথে পরিচিত হতে পারেন এনপি-সম্পূর্ণ হচ্ছে: $\Pi$

$\Pi$ এনপিতে রয়েছে, এবং
প্রত্যেক অন্যান্য সমস্যার জন্য দ্বারা NP, আমরা একটি দৃষ্টান্ত চালু করতে পারেন এর একটি দৃষ্টান্ত মধ্যে এর বহুপদী সময় যেমন যে একটি হ্যা-উদাহরণস্বরূপ হয় যদি এবং কেবল যদি একটি হ্যা-উদাহরণস্বরূপ হয় । $\Xi$ $x$ $\Xi$ $y$ $\Pi$ $y$ $\Pi$ $x$ $\Xi$

শর্ত ২ বিবেচনা করুন: এর জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত হ'ল আমরা নিতে এবং এটিকে কিছু পরিণত করতে পারি যা "একক বিট" হ্যাঁ / কোনও উত্তর সংরক্ষণ করে না। এ সম্পর্কে কোনও শর্ত নেই, উদাহরণস্বরূপ, হ্যাঁ বা না-র সাক্ষীর আপেক্ষিক আকার (এটি অপ্টিমাইজেশনের প্রসঙ্গে সমাধানের আকার)। সুতরাং যে একমাত্র পরিমাপটি ব্যবহৃত হয়েছে তা হ'ল ইনপুটটির মোট আকার যা কেবলমাত্র সমাধানের আকারে খুব দুর্বল শর্ত দেয়। সুতরাং একটি কে রূপান্তর করা বেশ "সহজ" । $x$ $y$ $\Xi$ $\Pi$

কিছু সাধারণ অ্যালগরিদমের জটিলতা দেখে আমরা বিভিন্ন এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার মধ্যে পার্থক্যটি দেখতে পারি। কালারিংয়ের একটি ব্রুট ফোর্স রয়েছে (যেখানে ইনপুট আকার)। জন্য -Dominating সেট, একটি পাশব বল অভিগমন । এগুলি হ'ল সংক্ষেপে আমাদের কাছে সঠিক সঠিক অ্যালগরিদম। ভার্টেক্স কভারটিতে তবে খুব সাধারণ एन অ্যালগরিদম রয়েছে (একটি প্রান্ত বাছা করুন যার উপরের প্রান্তটি অন্তর্ভুক্ত করা হবে, সমস্ত আচ্ছাদিত চিহ্নিত করুন, যতক্ষণ না আপনার কোনও চিহ্ন চিহ্ন চিহ্ন না থাকে বা আঘাত না করে) আপনার বাজেটের $k$ $O(k^{n})$ $n$ $k$ $O(n^{k})$ $k$ $O(2^{k}n^{c})$ $k$ এবং বেক্ট্র্যাক)। বহু-কালীন বহু-এক হ্রাস (কার্প হ্রাস, অর্থাত আমরা উপরের শর্তে যা করছি) এর অধীনে এই সমস্যাগুলি সমতুল্য।

যখন আমরা আরও কিছুটা সূক্ষ্ম সরঞ্জাম (আনুষঙ্গিক জটিলতা, প্যারামিটারাইজড জটিলতা, অন্য যেগুলির কথা আমি ভাবতে পারি না) দিয়ে জটিলতার কাছে যেতে শুরু করি, তখন আমরা যে হ্রাসগুলি ব্যবহার করি তা সমাধানের কাঠামোর সাথে আরও সংবেদনশীল হয়ে যায় বা বরং আরও সংবেদনশীল হয়ে যায় এবং পার্থক্য প্রদর্শিত শুরু; ভারটেক্স কভার (ইউভাল যেমন উল্লেখ করেছেন) একটি সাধারণ 2-আনুমানিকতা রয়েছে (তবে কিছু জটিলতা ক্লাস ভেঙে দেওয়া ছাড়া এফপিটিএএস নেই ), ডমিনিটিং সেটে একটি -প্রক্রোক্সিমেশন অ্যালগোরিদম রয়েছে (তবে নেই কিছু ) এর জন্য অ্যাপপ্রক্সিমেশন এবং কালারিংয়ের সোজা ফরোয়ার্ড সংস্করণটির জন্য আনুমানিক পরিমাণে কোনও অর্থ হয় না। $k$ $k$ $(1+\log n)$ $(c\log n)$ $c>0$ $k$

— লুক ম্যাথিসন
সূত্র

13

সিদ্ধান্ত সংস্করণ এবং অপ্টিমাইজেশন সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য বিবেচনা করার একটি উপায় হ'ল একই সিদ্ধান্ত সংস্করণের বিভিন্ন অপ্টিমাইজেশন সংস্করণ বিবেচনা করে। উদাহরণস্বরূপ MAX-CLIQUE সমস্যাটি ধরুন, যা সাধারণ পরামিতিগুলির ক্ষেত্রে অনুমান করা খুব কঠিন - চক্রের আকার। যদি আমরা চক্রের আকারের লগারিদমে অপ্টিমাইজেশন প্যারামিটারটি পরিবর্তন করি তবে আমরা একটি আনুমানিক আলগোরিদিম নিয়ে সমস্যা পাই । আমরা যদি অপ্টিমাইজেশন প্যারামিটারটিকে তে পরিবর্তন করি যেখানে চক্রের আকার, তবে আমরা একটি আনুমানিক আলগোরিদিম পেতে পারি। $O(\log n)$ $1/2 + k/n$ $k$ $O(1)$

এই উদাহরণগুলি সম্পূর্ণরূপে তৈরি হয় না। ম্যাক্স-ইন্ডেপেন্ডেন্ট-সেট (ম্যাক্স-ক্লিকুইয়ের সমতুল্য) এবং এমআইএন-ভার্টেক্স-কভারের সমস্যাগুলি নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত - একটি স্বাধীন সেটটির পরিপূরক একটি ভার্টেক্স কভার। যদিও পূর্বেরটি অনুমান করা শক্ত, তবে আধুনিকটির কাছে একটি সাধারণ 2-আনুমানিকতা রয়েছে।

প্রদত্ত সমস্যার এনপি-কঠোরতা দেখানো হ্রাসগুলি প্রায়শই দৃx়তা দেখাতেও ব্যবহৃত হতে পারে তবে এটি সর্বদা হয় না - এটি হ্রাসের উপর নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ, ম্যাক্স-ইন্ডেপেন্ডেন্ট-সেট থেকে এমআইএন-ভার্টেক্স-কভারে হ্রাস পরবর্তী সমস্যাটির সান্নিধ্যের কঠোরতা বোঝায় না যা পূর্বের তুলনায় প্রায় সহজতর।

সংক্ষিপ্তসার, এনপি-কঠোরতা একটি সমস্যার কেবল একটি দিক। অনুমানের কঠোরতা একটি ভিন্ন দিক, এবং এটি দৃ strongly়তার সাথে অনুমানের ধারণার উপর নির্ভর করে।

— ইউভাল ফিল্ম
সূত্র

আপনি কি ল্যূক ম্যাথিসনের স্বজ্ঞাত বক্তব্যের সাথে একমত হন যে করপ হ্রাস অন্তর্নিহিত জটিলতার ক্লাসগুলির জন্য ব্যবহৃত হ্রাসের তুলনায় স্বভাবগতভাবে কম "নাজুক"? যদি তা না হয়, আপনি কি এই ধারণার বিপরীতে ভাল উদাহরণ (সম্ভবত অন্যান্য জটিলতার ক্লাসে) রাখতে পারেন?

— গ্রেগরোস

এটি মোটেই স্বজ্ঞাত বক্তব্য নয়। ধরে আপনি প্রমাণ করতে পারবেন যে কিছু ক্ষেত্রে কার্পের হ্রাস রয়েছে তবে একটি আনুমানিক সংরক্ষণ-হ্রাস হয় না। এটি উদাহরণস্বরূপ স্বতন্ত্র সেট এবং শীর্ষস্থানীয় কভারের ক্ষেত্রে ঘটে থাকে: না থাকলে কার্পের হ্রাস রয়েছে তবে আনুমানিক সংরক্ষণ-হ্রাস নয় ।

P \neq N P

$P\neq NP$

P = N P

$P=NP$

— যুবাল ফিল্মাস

5

একটি স্বজ্ঞাত পন্থা হিসাবে, বিবেচনা করুন যে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার তাত্ক্ষণিক ঘটনাগুলি সাধারণ ক্ষেত্রে যতটা শক্ত হয় না। বাইনারি সন্তুষ্টিযোগ্যতা (স্যাট) এনপি-সম্পূর্ণ, তবে এটি এ ভি বি সি সি ডি ডি ভি এর সমাধান সন্ধান করা তুচ্ছ ... জটিলতা অ্যালগরিদমগুলি কেবল সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রেই আবদ্ধ হয়, গড়ের ক্ষেত্রে বা 90% কেস না ।

সহজ কিছুতে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা হ্রাস করার সহজ উপায় হ'ল শক্ত অংশগুলি বাদ দেওয়া। এটা প্রতারণা, হ্যাঁ। তবে প্রায়শই অবশিষ্ট অংশগুলি বাস্তব বিশ্বের সমস্যা সমাধানের জন্য এখনও কার্যকর। কিছু ক্ষেত্রে, "সহজ" এবং "হার্ড" এর মধ্যে লাইন আঁকাই সহজ। আপনি টিএসপির প্রতি ইঙ্গিত করার সাথে সাথে "সাধারণ" দিকনির্দেশের আশেপাশে সমস্যাটি সীমাবদ্ধ করার কারণে অসুবিধাতে প্রবল হ্রাস রয়েছে other অন্যান্য সমস্যার জন্য , সহজ এবং শক্ত অংশগুলি আলাদা করার জন্য বাস্তব-জীবনের দরকারী উপায়গুলি খুঁজে পাওয়া শক্ত।

সিএস এবং গণিতের ক্ষেত্রটি পুরোপুরি ছেড়ে যেতে, একটি পুরানো গাড়ি বিবেচনা করুন। আপনার বন্ধু এটি চালাতে চায়। যদি আপনাকে তাকে বলতে হয়, "আরে, গাড়িটি নিখুঁতভাবে কাজ করে Just এটি 95mph এর উপরে নেবেন না There এমন একটি বাজে ঝাঁকুনি রয়েছে যা আপনাকে রাস্তায় ফেলে দেয়," সম্ভবত এটি কোনও বড় কথা নয়। আপনার বন্ধু সম্ভবত এটি যে কোনওভাবেই শহর ঘিরে নিতে চেয়েছিল। তবে, যদি আপনাকে তাকে বলতে হয়, "আপনাকে 1 ম থেকে 2 ষ্ঠ দিকে যাওয়ার জন্য ডানদিকে ছোঁড়াতে হবে, বা ইঞ্জিনটি স্টল করবে", আপনার বন্ধুটির পক্ষে কিছুটা ছোট প্রশিক্ষণ ছাড়াই শহরের আশেপাশে গাড়ি ব্যবহার করা আরও কঠিন hard

তেমনিভাবে, যদি কোনও এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা কেবল বিদেশী ক্ষেত্রেই সমস্যা পেতে দেখা দেয় তবে সাবডোমেনগুলি দেখলে এটি জটিলতাটি দ্রুত হ্রাস করে। যাইহোক, যদি এটি সাধারণত ঘটে যাওয়া ক্ষেত্রে অসুবিধাজনিত হয় তবে এমন অনেক দরকারী সাবডোমেন নেই যা শক্ত অংশটি এড়িয়ে চলে।

— আমটন কর্ট - মনিকা পুনরায় স্থাপন করুন
সূত্র

আপনি কী বলছেন তা আমি বুঝতে পেরেছি এবং এটি একটি আকর্ষণীয় দৃষ্টিকোণ। এটি আকর্ষণীয় যে 3-স্যাট থেকে 2-স্যাটকে সরলকরণের বিপরীতে টিএসপিকে মেট্রিক টিএসপিতে সরলকরণ এনপিও-সম্পূর্ণ সমস্যাটিকে একটি এপিএক্স-সম্পূর্ণ সমস্যার দিকে পরিণত করার পক্ষে "যথেষ্ট শক্তিশালী" তবে এটি "যথেষ্ট শক্তিশালী" নয় সিদ্ধান্ত সমস্যার ট্র্যাকটেবিলিটি প্রভাবিত। আমার মনে, সরলকরণের এই "শ্রেণিবিন্যাস" আরও কম বোঝায়।

P = N P

$P = NP$

— গ্রেগরোস