শব্দের সাথে আনারি ভাষার নিয়মিততা দুটি শ্রমের যোগফলের দৈর্ঘ্য। তিনটি স্কোয়ার

Question

আমি আনরি ভাষা সম্পর্কে চিন্তা করি $L_k$, কোথায় $L_k$দৈর্ঘ্যটি স্কোয়ারের যোগফলের সমষ্টি । আনুষ্ঠানিকভাবে: এটি দেখাতে সহজ যে নিয়মিত নয় (যেমন পাম্পিং-লেমার সাথে)। আরও, আমরা জানি যে প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যাটি চারটি স্কোয়ারের সমষ্টি যা বোঝায় যে সমস্ত ভাষা থেকে নিয়মিত ।$k$

$$L_k=\{a^n\mid n=\sum_{i=1}^k {n_i}^2,\;\;n_i\in\mathbb{N_0}\;(1\le i\le k)\}$$ $L_1=\{a^{n^2}\mid n\in\mathbb{N_0}\}$
$k\ge 4$$L_k$$L_k=L(a^*)$

এখন, আমি এবং ক্ষেত্রে আগ্রহী :$k=2$$k=3$

$L_2=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2}\mid n_1,n_2\in\mathbb{N_0}\}$ , , ।$L_3=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}\mid n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N_0}\}$

দুর্ভাগ্যক্রমে, আমি এই ভাষাগুলি নিয়মিত কিনা তা দেখাতে পারছি না (এমনকি লেজেন্ড্রির ত্রি-বর্গ তাত্ত্বিক বা দুটি স্কোয়ারের পরিমাণে ফার্মের উপপাদ্যের সাহায্যে )।

আমি নিশ্চিত যে কমপক্ষে $L_2$নিয়মিত নয় তবে দুঃখজনকভাবে চিন্তা করা কোনও প্রমাণ নয়। কোন সাহায্য?

Comments

হতে পারে আমাদের রেফারেন্স প্রশ্নগুলি ( নিয়মিত , নিয়মিত নয় ) এর দরকারী পয়েন্টার রয়েছে।

— রাফেল

Answer 1

চলো আমরা শুরু করি $L_2$। এটি জানা যায় যে দুটি বর্গের যোগফলের পূর্ণসংখ্যার উপরের ঘনত্ব 0 হয় If$L_2$নিয়মিত ছিল তাহলে এটি পর্যায়ক্রমিক হবে এবং তাই এর উচ্চ ঘনত্ব 0, সসীম তবে আমরা জানি যে এখানে নির্বিচারে বড় পূর্ণসংখ্যা রয়েছে$L_2$, তাই যে $L_2$ নিয়মিত হতে পারে না।

সংক্রান্ত $L_3$শব্দগুলি বিবেচনা করুন $w_k = 1^{4^k 7}$। আমি দাবি করি$k < \ell$, শব্দ গুলো $w_k,w_\ell$অতুলনীয়। প্রকৃতপক্ষে,$w_k 1^{4^k 8} \notin L_3$ যখন $w_\ell 1^{4^k 7} \in L_3$। মাইহিল – নেরোড মাপদণ্ডটি তখন তা দেখায়$L_3$ অনিয়মিত।

Answer 2

অনুমান করা $L_3$নিয়মিত। তারপরে এটির পরিপূরকটিও রয়েছে যা লেজেন্ডারের ত্রি-বর্গীয় উপপাদ্য দ্বারা$\{a^n\ |\ n=4^k(8l+7), k,l\in\mathbb{N}\}$। দ্বারা পারিখ এর উপপাদ্য , এই সূচিত করা হবে যে লেন্থ সেট$S=\{4^k(8l+7)\ |\ k,l\in\mathbb{N}\}$ আধা-লিনিয়ার, অর্থাত্ একটি সীমাবদ্ধ ইউনিয়ন $\bigcup_{i=1}^NS_i$ রৈখিক সেট $S_i=\{a_i + rb_i\ |\ r\in\mathbb{N}\}$।

দুটি উপাদান বিবেচনা করুন $s_1 = 4^{k_1}(8l_1+7), s_2 = 4^{k_2}(8l_2+7)\in S$ সঙ্গে $k_1>k_2$, এবং যাক $r:=k_1-k_2$। যদি$s_1,s_2$ উভয় একই হয় $S_i$, তাই হয় হয় $2s_1-s_2$ অথবা $2s_2-s_1$ (কিনা তার উপর নির্ভর করে $s_1<s_2$ অথবা $s_1>s_2$)। কিন্তু

• $2(4^{k_1}(8l_1+7))-(4^{k_2}(8l_2+7)) = 4^{k_2}(8l'-7)$, কোথায় $l'=4^{r-1}(8l_1+7)-l_2$,
• $2(4^{k_2}(8l_2+7))-(4^{k_1}(8l_1+7)) = 4^{k_2}(8l'-7*4^r+14)$, কোথায় $l'=2l_2-4^rl_1$।

এগুলির কোনওটিতেই নেই $S$তাই $s_1,s_2$ইউনিয়নের বিভিন্ন সদস্য হতে হবে। তবে এটি অসম্ভব, যেহেতু$S$ একটি সীমাবদ্ধ ইউনিয়ন, এবং অসীম অনেক বিভিন্ন আছে $k$।

অতএব, $L_3$ নিয়মিত নয়।