একটি মেট্রিক-স্পেস পয়েন্ট সেটে কেন্দ্রীয় পয়েন্টটি সন্ধান করুন, এর চেয়ে কম ক্ষেত্রে


9

আমার একটা সেট আছে nপয়েন্টগুলি যা একটি মেট্রিক স্পেসে সংজ্ঞায়িত করা হয় - সুতরাং আমি পয়েন্টগুলির মধ্যে 'দূরত্ব' পরিমাপ করতে পারি তবে অন্য কিছু নয়। আমি এই সেটটির মধ্যে সর্বাধিক কেন্দ্রীয় পয়েন্টটি সন্ধান করতে চাই, যা আমি অন্যান্য সমস্ত পয়েন্টের নূন্যতম যোগফলের সাথে পয়েন্ট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি। মেট্রিক গণনা ধীর, সুতরাং যেখানে সম্ভব সেখানে এড়ানো দরকার।

এই পয়েন্টটি ব্যবহার করার সুস্পষ্ট উপায় n2 মেট্রিক দূরত্ব গণনা, যেহেতু এটি সহজভাবে (ক) প্রতিটি পয়েন্টের জন্য সমস্ত অন্যান্য পয়েন্টের দূরত্বের যোগফল গণনা করে এবং তারপরে (খ) সর্বনিম্ন পয়েন্ট নেয়।

এর চেয়ে কম করার কোনও উপায় আছে কি? O(n2)দূরত্বের তুলনা? (সম্ভবত কোনওভাবে ত্রিভুজ অসমতার ব্যবহার করা, যা আমার মেট্রিকের সাথে রাখা উচিত))

সঠিক পদ্ধতি উপস্থিত না থাকলে একটি ভাল অনুমানের পরিমাণ যথেষ্ট হতে পারে।


ত্রিভুজ বৈষম্য ছাড়াই (বা অপ্রাপ্ত প্রান্ত সম্পর্কে তথ্য অর্জনের অন্য কোনও উপায়), O(n2)একমাত্র সমাধান; এটি একটি বিরোধী যুক্তি দ্বারা দেখা যেতে পারে।
কিটসিল

ধরুন ত্রিভুজ বৈষম্য উপলব্ধ - এটি আমার মেট্রিকের জন্য হওয়া উচিত।
খুলুন ডোর লজিস্টিক

এটি মূলত ত্রিভুজ সমতার সাথে একটি গ্রাফের রেডিওগুলি গণনা করছে।
কাভেহ

@ কাভেঃ আমি অনুমান করি আপনি ব্যাসার্ধটি বোঝাচ্ছেন ... যদি না গ্রাফটির ভাঙ্গা প্রান্ত থাকে আমি জানি না যে খুব বেশি শব্দভাণ্ডার রয়েছে। --- তবে এটি তখন একটি সম্পূর্ণ গ্রাফ এবং ইনপুট আকারটি কেবল শীর্ষে অবস্থিত সংখ্যা।
বাবু

@ ওপেনডোরলজিস্টিকস যদি এটিতে ত্রিভুজ বৈষম্য না থাকে তবে এটি একটি মেট্রিক স্পেস নয়, সংজ্ঞা দ্বারা। দয়া করে প্রশ্নটি পরিষ্কার করুন: আপনি যদি জানেন যে এটি একটি মেট্রিক স্পেস, তবে আপনি জানেন যে এটিতে ত্রিভুজ বৈষম্য রয়েছে; যদি আপনি না জানেন যে এটিতে ত্রিভুজ বৈষম্য রয়েছে তবে আপনি দাবি করতে পারবেন না যে এটি একটি মেট্রিক জায়গা।
ডেভিড রিচার্বি

উত্তর:


6

না, আপনি এর চেয়ে ভাল করতে পারবেন না Θ(n2) সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে.

পয়েন্টগুলির প্রতিটি জোড়া দূরত্বে রয়েছে এমন পয়েন্টগুলির একটি বিন্যাস বিবেচনা করুন 1একে অপরের থেকে. (এটি একটি সম্ভাব্য কনফিগারেশন)) তারপরে আপনি প্রতিটি প্রান্তটি পরীক্ষা করার চেয়ে ভাল করতে পারবেন না। বিশেষত, যদি এমন কোনও কিনারা থাকে যা আপনি পরীক্ষা করেন নি, তবে কোনও শত্রু edge প্রান্তটির দৈর্ঘ্যটি বেছে নিতে পারে either0.9, 1.0, বা 1.1; এই সমস্ত পছন্দগুলি আপনার তৈরি অন্যান্য পর্যবেক্ষণগুলির সাথে এবং মেট্রিকের প্রয়োজনীয়তার (যেমন, ত্রিভুজ অসমতার সাথে) সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, তাই তিনটিই সম্ভব; তবে তাদের বিভিন্ন আউটপুট প্রয়োজন। সুতরাং, যদি আপনার অ্যালগরিদম সেই প্রান্তটি পরীক্ষা করে না এবং তারপরে কিছু আউটপুট করে, একটি শত্রু সর্বদা অমীমাংসিত প্রান্তের জন্য একটি দৈর্ঘ্য চয়ন করতে পারে যা আপনার অ্যালগরিদমের আউটপুটকে ভুল করে দেবে।


তবে, আপনি যদি জানেন যে সমস্ত পয়েন্ট বাস করে Rd (যদিও আপনাকে তাদের স্থানাঙ্ক দেওয়া হয়নি) তবে সমস্যাটি পরিমাপের মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে O((d+1)n) দূরত্ব, ধরে নেই কোনও ডিজেনারেসি (কোনও উপসেট নেই) d+1 পয়েন্টগুলি সহ-পরিকল্পনাকারী)।

বিশেষত, বাছাই d+1এলোমেলোভাবে পয়েন্ট। এগুলি অ্যাঙ্কর পয়েন্ট হবে। তাদের জোড়া লাগার দূরত্বগুলি দেওয়া, আপনি তাদের জন্য স্থানাঙ্কগুলি গণনা করতে পারেন যা তাদের জোড়াযুক্ত দূরত্বের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এখন, প্রতিটি অন্যান্য পয়েন্ট জন্যPথেকে দূরত্ব গণনা করুন Pঅ্যাঙ্কর পয়েন্ট প্রতিটি। ত্রিভঙ্গীকরণ এবং এই দূরত্বগুলি ব্যবহার করে আপনি এর অবস্থান গণনা করতে পারেনP অ্যাঙ্কর পয়েন্টগুলির সাথে সম্পর্কিত এবং এর জন্য স্থানাঙ্কগুলি P। প্রতিটি অ-অ্যাঙ্কর পয়েন্টের জন্য এটি করুনP। এখন আপনার কাছে প্রতিটি পয়েন্টের জন্য স্থানাঙ্ক রয়েছে এবং আপনি সেই স্থানাঙ্কগুলি ব্যবহার করে কেন্দ্রীয় বিন্দুটি খুঁজে পেতে ওরাকলকে আপনাকে আর জোড়া লাগানোর দূরত্ব না দিয়ে জিজ্ঞাসা করতে পারেন। এই শেষ পদক্ষেপটি এর চেয়ে দ্রুততর করা যায় কিনা তা আমি জানি নাO(n2) সময় , তবে এটি আর জোড়াযুক্ত দূরত্বগুলি পরিমাপ না করেই করা যেতে পারে।


তোমার আছে n মাত্রা পয়েন্ট n1। এমনকি ইনপুটটির সমস্ত স্থানাঙ্কের দিকে চেয়েও প্রয়োজনীয়Θ(n2)সময়।
লুই

@ লুইস প্রশ্নটি মাত্রা সম্পর্কে কিছুই বলে না, এবং নিশ্চিত নয় যে এটি কোনও মেট্রিক। আমাদের সমস্ত কিছুই ত্রিভুজ বৈষম্য। সুতরাং যথাযথ দৃষ্টিভঙ্গি কাভেহের মন্তব্য: সম্পূর্ণ গ্রাফ হিসাবে। এটি এই উত্তরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। তবে কখন কোনও স্থির মেট্রিকের সাথে এটি সামঞ্জস্যপূর্ণ কিনা তা আমার কোনও ধারণা নেইnআবদ্ধ ছাড়া বৃদ্ধি।
বাবু

@ ডিডব্লিউ ধন্যবাদ - গড় ক্ষেত্রে আমরা কি আরও ভাল কিছু করতে পারি? এটি একটি বাস্তব-বিশ্বের সমস্যা দ্বারা অনুপ্রাণিত, সুতরাং ডেটা সম্ভবত 'গড়' (যার অর্থ যাই হোক না কেন) হতে পারে।
ওপেন ডোর লজিস্টিক

@ সমস্ত - বিভ্রান্তির জন্য ক্ষমা চাই আবার: মেট্রিক (আমি তাত্ত্বিক সিএসের একজন সাধারণ মানুষ)। আমার দূরত্বের কার্যটি মেট্রিক স্পেস লিঙ্কের উইকিপিডিয়া সংজ্ঞা অনুসারে মেট্রিক স্পেসের 4 মানদণ্ড অবশ্যই মেনে চলে ।
ওপেন ডোর লজিস্টিক

@ ওপেনডোরলজিস্টিকস, আমি একটি বিশেষ কেস যুক্ত করেছি যেখানে এটি আরও ভাল করা সম্ভব বলে মনে হচ্ছে।
ডিডাব্লু

0

মেট্রিক স্পেসগুলির জন্য দ্রুত অ্যালগরিদমে পিওটার ইন্ডিকের কাজ পরীক্ষা করে দেখুন। ( মেট্রিক স্পেস সমস্যাগুলির জন্য সাবলাইনার অ্যালগরিদমস , প্রসেসিং অফ এসটিওসি'৯৯, পিপি –৪৪–-৪৪৪। এসিএম, ১৯৯৯; পিএস ) বিভাগ 3 লিনিয়ার-সময় আনুমানিক 1-মধ্যীয় অ্যালগরিদম দেয়।


1
আপনি কি অ্যালগরিদমের সংক্ষিপ্তসার দিতে পারেন? আমরা বাহ্যিক সামগ্রীর লিঙ্কের পরিবর্তে আদর্শভাবে পুরো উত্তরগুলি খুঁজছি।
ডেভিড রিচারবি

খুব ধীর জবাবের জন্য দুঃখিত। আমি স্পষ্টতই খুব প্রায়শই স্ট্যাকএক্সচেঞ্জ পরীক্ষা করি না। আমি মনে করি যে অর্ধেকটা শালীন সংক্ষিপ্ত বিবরণ লিখতে আমার এক ঘণ্টারও বেশি সময় লাগবে, যেখানে পিয়োটারের কাগজটি খুব সুন্দরভাবে লেখা হয়েছে, খুব অল্প চতুরভাবে অ্যালগরিদমকে ব্যাখ্যা করেছে এবং এর পাশের সমস্ত সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা রয়েছে। সুতরাং আমি ব্যক্তিগতভাবে আমি উচ্চতর মানের বাহ্যিক সামগ্রী ব্যবহার করার পরামর্শ দেব, তার চেয়ে মাঝারি মানের অভ্যন্তরীণ সামগ্রী যা আমি উত্পাদন করতে পারি। সংক্ষিপ্ত উত্তরটি হ'ল: আপনি যদি কেবল একটি আনুমানিক মিডিয়ান খুঁজে পেতে ইচ্ছুক হন তবে আপনি লিনিয়ার সময় হে (এন) এ এটি করতে পারেন ।
ব্যবহারকারী 71641
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.