ইনপুট স্ট্রিংয়ের দৈর্ঘ্যের উপর অন্তর্ভুক্তি ব্যবহার করে আমি কীভাবে একটি প্রমাণ লিখব?

আমার কম্পিউটিং তত্ত্বের কোর্সে, সীমাবদ্ধ অটোমেটা সম্পর্কে বিবৃতি প্রমাণ করতে আমাদের প্রচুর সমস্যা ইনপুট স্ট্রিংয়ের দৈর্ঘ্যের উপর অন্তর্ভুক্তি ব্যবহারের সাথে জড়িত। আমি গাণিতিক আনয়ন বুঝতে পারি, তবে স্ট্রিং যখন খেলায় আসে তখন আমি সত্যই বিভক্ত হয়ে যাই। আমি যদি সত্যিই এটির প্রশংসা করব যে কেউ যদি ধাপে ধাপে এই জাতীয় প্রমাণ তৈরির প্রক্রিয়াটি অনুসরণ করে।

এখানে একটি উদাহরণ সমস্যা রয়েছে (হপক্রফ্ট এবং উলম্যান তৃতীয় সংস্করণ থেকে ২.২.১০ অনুশীলন করুন):

নিম্নলিখিত রূপান্তর টেবিলের সাথে ডিএফএ বিবেচনা করুন:
        0 1
       ________
-> এ | এবি
  * খ | বি। এ
এই ডিএফএ দ্বারা গৃহীত ভাষাটি অনানুষ্ঠানিকভাবে বর্ণনা করুন এবং কোনও ইনপুট স্ট্রিংয়ের দৈর্ঘ্যের উপর অন্তর্ভুক্ত করে প্রমাণ করুন যে আপনার বিবরণটি সঠিক।

এটি বইয়ের একটি উত্তর সমস্যা, তাই আমি আমার হোমওয়ার্ক করার জন্য কাউকে খুঁজছি না। আমার কাছে সরাসরি কেউ এটি ব্যাখ্যা করার জন্য আমার দরকার।

বইয়ের উত্তর: ( এখান থেকে তোলা )

অটোমেটন জানায় যে 1 টির সংখ্যাটি সামনের (রাজ্য এ) বা বিজোড় (রাজ্য বি), পরবর্তী ক্ষেত্রে গ্রহণযোগ্য কিনা। এটি | ডাব্লু | এ একটি সহজ অন্তর্ভুক্তি to show that dh (A, w) = A যদি এবং কেবল যদি w এর 1 এর সংখ্যা হয়। বেসিস: | ডাব্লু | = 0. তারপরে ডাব্লু, খালি স্ট্রিংটিতে অবশ্যই শূন্য 1 এর 1 এবং 'hat-টুপি' (এ, ডাব্লু) = এ এর সমান সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে A.

আনয়ন: ডাব্লু এর চেয়ে কম স্ট্রিংয়ের জন্য স্টেটমেন্টটি ধরুন। তারপরে w = za, যেখানে a হয় 0 বা 1 হয়।

কেস 1: a = 0. যদি ডাব্লু এর 1 এর সংখ্যা হয় তবে জেডও হয় does ইনডাকটিভ হাইপোথিসিস দ্বারা, δ-টুপি (এ, জেড) = এ। ডিএফএর রূপান্তরগুলি আমাদেরকে hat-টুপি (এ, ডাব্লু) বলুন = এ। ডাব্লু এর যদি একটি বিজোড় সংখ্যা 1 এর হয়, তবে জেডও করে না। ইনডাকটিভ হাইপোথিসিস দ্বারা, δ-টুপি (এ, জেড) = বি, এবং ডিএফএর রূপান্তরগুলি আমাদের δ-টুপি (এ, ডাব্লু) = বি বলে দেয়। এইভাবে, case-টুপি (এ, ডাব্লু) = একটি যদি এবং কেবল ডাব্লুতে 1 এর সমান সংখ্যা থাকে।

কেস 2: a = 1. যদি ডাব্লুতে 1 এর সংখ্যার সংখ্যা থাকে তবে z এর 1 এর বিচিত্র সংখ্যা রয়েছে has ইনডাকটিভ হাইপোথিসিস দ্বারা, δ-টুপি (এ, জেড) = বি। ডিএফএর রূপান্তরগুলি আমাদেরকে δ-টুপি (এ, ডাব্লু) বলুন = এ। 1 এর। ইনডাকটিভ হাইপোথিসিস দ্বারা, δ-টুপি (এ, জেড) = এ, এবং ডিএফএর রূপান্তরগুলি আমাদের tell-টুপি (এ, ডাব্লু) = বি বলে দেয়। সুতরাং, এই ক্ষেত্রেও, δ-টুপি (এ, ডাব্লু) ) = ক যদি এবং কেবল যদি ডাব্লু এর 1 এর সংখ্যা হয়।

আমি বুঝতে কিভাবে ভালো জিনিস প্রমাণ করতে আনয়ন ব্যবহার । বিল্ডিং স্ট্রিংয়ের সাথে এটি কীভাবে কাজ করে আমি কেবল বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছি। আমি সাহসী অংশগুলি দ্বারা বিভ্রান্ত। আমি বুঝতে পারি না যে তারা কীভাবে সামনে এসেছেন / এটি কীভাবে গৃহীত তা কীভাবে প্রমাণিত হয় / কীভাবে তা প্ররোচিত হয়। $\sum_{i=0}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}$

hat-টুপি উপায় দ্বারা বর্ধিত রূপান্তর ফাংশন।

— tcdowney
সূত্র

^{আপনার সমস্যা কোথায় রয়েছে তা স্পষ্ট না হওয়ায় আমি শুরুতেই শুরু করব।}

গাণিতিক আনয়ন চীনা ফিসফিসার খেলাগুলির মতো কাজ করে (আদর্শ ক্ষেত্রে, যেমন সমস্ত যোগাযোগ হ্রাসহীন) বা (নিখুঁতভাবে সেট আপ) ডমিনোস : আপনি কোথাও শুরু করে দেখান যে আপনার পরবর্তী পদক্ষেপটি কিছুতেই ভেঙে যায় না, ধরে নিয়ে কিছু অবধি ভেঙে যায়নি ing তারপর।

আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, প্রতিটি আনয়ন প্রমাণ তিনটি মূল উপাদান গঠিত:

আনয়ন অ্যাঙ্কর , এছাড়াও বেস কেস : আপনি ছোট মামলাগুলির জন্য প্রদর্শন করুন ¹ যে দাবিটি ধারণ করে।
ইন্ডাকশন হাইপোথিসিস : আপনি ধরে নিয়েছেন যে দাবিটি সেট সম্পর্কে একটি নির্দিষ্ট উপসেটের জন্য রয়েছে যা সম্পর্কে আপনি কিছু প্রমাণ করতে চান।
প্ররোচিত পদক্ষেপ : অনুমানটি ব্যবহার করে আপনি দেখান যে দাবিটি আরও উপাদানগুলির জন্য রয়েছে।

অবশ্যই, পদক্ষেপটি এমন টিউন করতে হবে যা এটি পুরো বেস সেটটি সীমাবদ্ধ করে দেয় limit

গুরুত্বপূর্ণ দ্রষ্টব্য: যে ব্যক্তিরা তাদের আনয়ন দক্ষতার বিষয়ে আত্মবিশ্বাসী তারা প্রায়শই অ্যাঙ্করটির উপর চকচকে হন এবং অনুমানকে অন্তর্নিহিত ছেড়ে যান। বিশেষজ্ঞ শ্রোতার কাছে আপনার কাজ উপস্থাপন করার সময় এটি ঠিক আছে (উদাহরণস্বরূপ একটি কাগজ), নিজেকে প্রমাণ করার সময় এটি সুপারিশ করা হয় না , বিশেষত একটি শিক্ষানবিস হিসাবে। সব লিখে দাও।

উপর একটি সাধারণ উদাহরণ বিবেচনা করুন ; আমরা তা দেখতে চাই $(\mathbb{N},\leq)$ সবার জন্য ঝুলিতে। $\sum_{i=0}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ $n \in \mathbb{N}$

অ্যাঙ্কর : জন্য , $n=0$ পরিষ্কারভাবে ধরে রাখে। $\sum_{i=0}^{n} i = 0 = \frac{n(n+1)}{2}$
হাইপোথিসিস : ধরে নিন যে একটি অবাধ জন্য ঝুলিতে কিন্তু fixed²। $\sum_{i=0}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$ $n \in \mathbb{N}$
পদক্ষেপ : জন্য যোগফলটি গণনা করুন: $n+1$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=0}^{n+1} i = (n+1) + \sum_{i=0}^{n} i \overset{\text{IH}}{=} n+1 + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{(n+2)(n+1)}{2}$

সুতরাং পরিচয় জন্য ধারণ করে । (আমরা লক্ষ করি যে আমাদের কেবল অনুমানের একটি ক্ষুদ্র অংশের প্রয়োজন ছিল, যিনি জন্য That এটি প্রায়শই ঘটে)) $n+1$ $k=n$

প্রস্তাবনামূলক নীতিটি এখন আমাদের আশ্বাস দেয় যে দাবিটি সত্যই ধারণ করেছে: আমরা সরাসরি জন্য এটি দেখিয়েছি । পদক্ষেপটি বলে, এটি যদি রাখে তবে এটি জন্যও ধারণ করে ; যদি এটি জন্য ধারণ করে তবে এটি জন্যও ধারণ করে ; ইত্যাদি। $0$ $0$ $1$ $1$ $2$

আসুন এবার অন্য উদাহরণ দেখুন, এবার । দাবি আমরা প্রমাণ করতে চাই: যে সসীম উপসেট জন্য এর , ক্ষমতা মাপ নির্ধারণ করে এর হল ³। আমরা আমাদের আনয়ন ওভার সম্পাদন করি $(2^\mathbb{N}, \subseteq)$ $A$ $\mathbb{N}$ $2^A$ $A$ $2^{|A|}$ ওপরে সম্পাদনা করি আবার উপসর্গ আকারের চেয়ে বেশি। $(\mathbb{N}, \leq)$ $A$

অ্যাঙ্কর: আকারের (কেবল) সেটটি খালি সেট বিবেচনা করুন। স্পষ্টতই, এবং তাই দাবী হিসাবে $0$ $2^\emptyset = \{\emptyset\}$ $|2^\emptyset| = 1 = 2^0$
অনুমিতি: অনুমান সব সেটের জন্য সঙ্গে কিছু অবাধ সঙ্গে, কিন্তু নির্দিষ্ট , আমরা । $A \subseteq \mathbb{N}$ $|A| \leq n$ $n \in \mathbb{N}$ $|2^A| = 2^{|A|}$
ধাপ: আসুন আকারের arbitrary⁴ এবং দিন নির্বিচারে (যেমন যেমন বিদ্যমান )। এখন অনুমান প্রযোজ্য এবং এইভাবে । থেকে $B \subseteq \mathbb{N}$ $n+1$ $b \in B$ $b$ $n+1 > 0$ $B \setminus \{b\}$ $|2^{B \setminus \{b\}}| = 2^n$

, $\qquad \displaystyle 2^B = 2^{B \setminus \{b\}} \cup \{ A \cup \{b\}\mid A \in 2^{B \setminus \{b\}} \}$

আমরা সত্যিই যে আছে হিসাবে দাবি করা হয়েছে। $|2^{B}| = 2 \cdot |2^{B \setminus \{b\}}| = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$

আবার, অন্তর্ভুক্ত করে দাবি প্রমাণিত হয়।

এখন, আপনার সমস্যার জন্য একটি সাধারণ কৌশল ব্যবহার করতে পারেন: বিবৃতিটি শক্তিশালী করুন । আপনি যদি নিজের দাবিটিকে "অটোমেটন একটি বিজোড় সংখ্যার সাথে সমস্ত শব্দ গ্রহণ করে" হিসাবে রূপান্তর করেন তবে আপনি "দৈর্ঘ্যের এর সমস্ত শব্দের মধ্যে ঠিক যেমন একটি বিজোড় সংখ্যার সাথে অটোমেটন দ্বারা গৃহীত হয় " এর মতো একটি অনুমানের অনুমান পাওয়া যায় । এটি আপনাকে কোথাও নিয়ে যাবে না যেহেতু প্রদত্ত (গ্রহণযোগ্য) শব্দের কোন অংশে কতগুলি রয়েছে সে সম্পর্কে আমরা কিছুই জানি না; আপনি নিজের ইচ্ছামত বাছাই করা শব্দটি যা কাটিয়েছেন তার উপর অনুমানটি প্রয়োগ হয় না। $n$

অতএব, আপনি একটি শক্তিশালী দাবি তৈরি করতে চান: " যদি ইনপুটটির গ্রাসিত অংশে একটি বিজোড় সংখ্যক থাকে তবে কেবল অটোমেটন অবস্থায় থাকবে" এবং এটি একটি দেখান। নোট করুন যে এটি পূর্ববর্তী দাবিকে বোঝায়। $B$

অ্যাঙ্কর : দৈর্ঘ্য শূন্য, একমাত্র স্ট্রিং প্রক্রিয়া করার পর , যন্ত্রমানব রাজ্যের পরিষ্কারভাবে হয় হিসাবে দাবী করেন। $\varepsilon$ $A$
হাইপোথিসিস : ধরে নিও যে দাবিটি পর্যন্ত দৈর্ঘ্যের ইনপুট টুকরা রাখে যা নির্বিচারে নির্বাচিত হয় তবে সংশোধন করা হয়েছে। $n$
পদক্ষেপ : একটি নির্বিচার শব্দ শব্দের বিবেচনা করুন । দুটি মামলা আছে।
1. একটি এমনকি সংখ্যক রয়েছে। সর্বশেষ প্রতীক জন্য দুটি মামলা আছে।
  1. : এই ক্ষেত্রে, বেশী একটি এমনকি সংখ্যা উপস্থিত রয়েছে। আনয়ন হাইপোথিসিস দ্বারা, যন্ত্রমানব অবস্থায় রয়েছে গ্রাসকারী পর । গ্রাসকারী রাষ্ট্র থাকতে যন্ত্রমানব ঘটায় দাবি। $w_n = 0$ $w' = w_1 \dots w_{n-1}$ $A$ $w'$ $w_n = 0$ $A$
  2. : এই ক্ষেত্রে, মধ্যে একটি বিজোড় সংখ্যা রয়েছে। আনয়ন হাইপোথিসিস দ্বারা, যন্ত্রমানব অবস্থায় রয়েছে গ্রাসকারী পর । গ্রাসকারী যন্ত্রমানব সুইচ রাজ্যের কারণ , যেমন দাবি করা হয়েছে। $w_n = 1$ $w' = w_1 \dots w_{n-1}$ $B$ $w'$ $w_n = 1$ $A$
2. মধ্যে একটি বিজোড় সংখ্যা রয়েছে। ক্ষেত্রে 1 এর অনুরূপ। $w$

অন্তর্ভুক্তির নীতিটি বোঝায় যে দাবিটি সত্যই ধারণ করেছে।

আপনি কিছু আংশিক ক্রম বরাবর অন্তর্ভুক্তি সঞ্চালন; অ্যাঙ্কারের জন্য সমস্ত ন্যূনতম উপাদানগুলি এবং আরও কখনও কখনও (বিবৃতি অনুসারে) আবরণ করা প্রয়োজন।
"নির্বিচারে, তবে স্থির" প্রয়োজনীয়! আমরা পরিবর্তন করতে পারি না $n$
দিয়ে পাওয়ার সেটটি চিহ্নিত করা অদ্ভুত বলে মনে হতে পারে। এটি পর্যবেক্ষণে মূলত যে পাওয়ার সেটটি থেকে পর্যন্ত সমস্ত ফাংশনের সেটের সমান $2^A$ $A$ ${0,1}$ , যা এভাবে বোঝানো হয়।
$B$ $A$

— রাফেল
সূত্র