পিটিএএস সংজ্ঞা বনাম এফপিটিএএস

Question

আমি যা পড়েছি তা থেকে preliminary version of a chapter of the book “Lectures on Scheduling” edited by R.H. M¨ohring, C.N. Potts, A.S. Schulz, G.J. Woeginger, L.A. Wolsey, to appear around 2011 A.D.

এটি পিটিএএস সংজ্ঞা:

সমস্যা জন্য একটি বহুপদী সময় আনুমানিক পরিকল্পনা ( পিটিএএস ) হল একটি আনুমানিক স্কিম, যার সময় জটিলতা ইনপুট আকারে বহুপদী।$X$

এবং FPTAS সংজ্ঞা

সমস্যা জন্য সম্পূর্ণ বহুপদী সময় আনুমানিককরণ স্কিম ( এফপিটিএএস ) হ'ল একটি অনুমানের স্কিম যার সময় জটিলতা ইনপুট আকারে বহুপদী এবং 1 / বহুবর্ষীয় ।$X$$\epsilon$

তারপরে লেখক বলেছেন:

সুতরাং, একটি পিটিএএসের জন্য এটি একটি সময় জটিলতার সাথে সমানুপাতিকভাবে গ্রহণযোগ্য হবে যেখানেইনপুট আকার; যদিও এই সময় জটিলতা তাত্পর্যপূর্ণ । এফপিটিএএস-তে এমন সময় জটিলতা থাকতে পারে না যা on এপসিলনে খুব তাড়াতাড়ি বৃদ্ধি পায় তবে আনুপাতিক সময়ের জটিলতা ঠিক থাকবে fine নিকৃষ্টতম পরিস্থিতি অনুমানের ক্ষেত্রে, একটি FPTAS হ'ল একটি শক্তিশালী সম্ভাব্য ফলাফল যা আমরা এনপি-হার্ড সমস্যার জন্য উদ্ভব করতে পারি। | আমি | 1 / ϵ 1 / ϵ | আমি | 8 / ϵ $|I|^{1/\epsilon}$$|I|$$1/\epsilon$$1/\epsilon$$|I|^8/\epsilon^3$

তারপরে তিনি সমস্যাগুলির শ্রেণীর মধ্যে সম্পর্কের চিত্রিত করার জন্য নিম্নলিখিত চিত্রটি প্রস্তাব করেছিলেন:

আমার প্রশ্নগুলি এখানে:

1. থেকে পিটিএ র এবং FPTAS সংজ্ঞা, কিভাবে লেখক মতামত হলো, নেই FPTAS একটি সময় জটিলতা যে ব্যাখ্যা মূলকভাবে বৃদ্ধি থাকতে পারে না ? এবং যদি এরকম সময়ের জটিলতা থাকতে পারে তবে এটির কী তফাত হবে?$1/\epsilon$

2. মত একটি সময় জটিলতা জন্য গ্রহণযোগ্য FPTAS কিন্তু এটি জন্য নয় পিটিএ র , তাহলে কেন FPTAS একটি উপসেট বলে মনে করা হয় পিটিএ র ?$(n+1/\epsilon)^3$

3. তার অর্থ কী: এফপিটিএএস সবচেয়ে শক্তিশালী ফলাফল যা আমরা এনপি-হার্ড সমস্যার জন্য উদ্ভব করতে পারি।

4. সামগ্রিকভাবে আমি জানতে চাই যে এই ধারণাগুলির ঠিক কী বোঝায় এবং তাদের স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্যগুলি কী।

আগাম ধন্যবাদ.

Comments

আপনি যে "মত একটি সময় জটিলতা কোথায় জন্য গ্রহণযোগ্য FPTAS কিন্তু এটি জন্য নয় পিটিএ র "? $(n+1/\epsilon)^3$

এক পোস্টে একাধিক প্রশ্ন পোস্ট করবেন না দয়া করে। এটি বেশ সম্ভব যে আপনার প্রথম প্রশ্নের উত্তর বুঝতে পেরে বাকিগুলি অনুসরণ করে। (ইমো, আপনার সমস্যাটি হ'ল আপনি কী বোঝেন না "এবং 1 / in" এর মধ্যে বহুপদী অর্থ কী))

— রাফেল

@ রিকিডিমার তার সংজ্ঞা অনুসারে: এর সময়ের জটিলতা ইনপুট আকারে বহুপদী (এটি অর্থ )$n$

— এম আমা ডি

... হয় মধ্যে বহুপদী$(n+1/\epsilon)^3$$n$

@ রিকিডিমার আপনি ঠিক বলেছেন, আমি ভুল করেছি। ধন্যবাদ.

— এম আমা ডি

Answer 1

আমাকে আপনার প্রশ্নের উত্তরগুলি ক্রমে দিন:

1. সংজ্ঞা দ্বারা, একটি সমস্যা আছে যদি একটি আলগোরিদিম যা দৈর্ঘ্যের দৃষ্টান্ত উপর একটি FPTAS হয়েছে দেয় একটি -approximation এবং সময় বহুপদী রান এবং হলো, কিছু ধ্রুবক । একটি চলমান সময় অন্তর্গত নয় কোন । একটি অ্যালগরিদম যার চলমান সময় একটি আলগোরিদিম যার চলমান সময় শুধুমাত্র নিশ্চিত করা হয় হতে বেশী ভালো , উপর নির্ভরতা থেকে$n$$1+\epsilon$$n$$1/\epsilon$$O((n/\epsilon)^C)$$C \geq 0$$2^{1/\epsilon}$$O((n/\epsilon)^C)$$C$
   $O((n/\epsilon)^C)$$O(n^C e^{D/\epsilon})$$\epsilon$প্রথম অ্যালগরিদম জন্য ভাল। তদুপরি, যে কোনও , আমরা প্রথম অ্যালগরিদম ব্যবহার করে কিন্তু দ্বিতীয়টি ব্যবহার না করে (কমপক্ষে প্রদত্ত গ্যারান্টি সহ) ব্যবহার না করে বহু-কালীন সময়ে -approximation পেতে পারি।$E$$1+1/n^E$

2. একটি সমস্যা যেখানে একটি অ্যাপপ্রিলিকেশন সময় পাওয়া যায় অবশ্যই পিটিএএস এ থাকে, যেহেতু প্রতিটি every এটি (অনুশীলন) এবং তাই বহুপদী ইন ।$1+\epsilon$$(n+1/\epsilon)^3$$\epsilon$$O(n^3)$$n$

3. লেখকরা এখানে যা বোঝাতে চেয়েছেন তা হ'ল যেহেতু এনপি-হার্ড অপ্টিমাইজেশান সমস্যাটি বহুবর্ষের সময়ে হুবহু সমাধান করা যায় না, তাই সর্বোপরি আমরা আশা করতে পারি যে এটি বহুবর্ষীয় সময়ে অ্যাপপ্রক্সিমিয়েবল এবং আরও ভাল একটি নির্ভরশীলতার সাথে । সাধারণ জটিলতার ক্লাসগুলির মধ্যে এফপিটিএএস উপর নির্ভরতার উপর সবচেয়ে শক্তিশালী গ্যারান্টি দেয় । তবে অনুশীলনে আমরা মাঝে মাঝে আরও উন্নত গ্যারান্টি পাই: চলমান সময়টি এবং এ বহুপদী । সুতরাং এটি কঠোরভাবে সত্য নয় যে এফপিটিএএস হ'ল সম্ভাব্যতম ফল result এটি পিটিএএস, এফপিটিএএস, পি বিকল্পগুলির মধ্যে সবচেয়ে শক্তিশালী সম্ভাব্য ফলাফল। যদি আমরা একটি নতুন শ্রেণি এলপিটিএএস তৈরি করি ( তে টাইম বহুপদী অনুসারে)$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$n$$\log(1/\epsilon)$$n$এবং ) এ, তারপরে এটি আরও গ্যারান্টি।$\log(1/\epsilon)$

4. একটি এনপি-হার্ড অপ্টিমাইজেশান সমস্যা দেওয়া, এটি বহুপক্ষীয় সময়ে ঠিক সমাধান করা যায় না; সর্বোত্তমভাবে আশা করা যায় এটি দক্ষতার সাথে আনুমানিক। কিছু সমস্যা হ'ল কিছু ধ্রুবক এর অনুপাতে এনপি-হার্ড । অন্যদের ক্ষেত্রে, বহুবর্ষীয় সময়ে নির্বিচারে সমস্যাটি প্রায় অনুমান করা সম্ভব এবং এই সমস্যাগুলির একটি পিটিএএস রয়েছে এবং তাই এটি পিটিএএস শ্রেণীর অন্তর্গত। এটি হতে পারে যে অ্যাপপ্রিলিকেশনটি proportion এর সমানুপাতিক সময় নেয় এবং তাই আমরা কেবল স্থির জন্য এটি দক্ষতার সাথে প্রয়োগ করতে পারি । যদি সমস্যাটির কোনও এফপিটিএএস থাকে (এবং এটি ক্লাস এফপিটিএএসের অন্তর্গত) তবে আমরা জানি যে এপসিলনের উপর নির্ভরতা কেবল বহুপদী, এবং তাই আমরা দক্ষতার সাথে আনুমানিকভাবে$C>1$$1+\epsilon$$e^{1/\epsilon}$$\epsilon$$\epsilon$$1+1/n^C$যে কোনও ।$C$

Comments

অযাচিত পোস্টিং আচরণকে উত্সাহিত করবেন না দয়া করে।

— রাফেল

Answer 2

উদাহরণ আকার হতে দিন । একটি পিটিএ র এবং FPTAS মধ্যে পার্থক্য হচ্ছে, সাবেক রয়েছে একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবক, যাতে এটি একটি ধ্রুবক হিসাবে গণ্য করা যেতে পারে। এ কারণেই একটি চলমান সময় যেমন still এখনও আকার আকার ( বহু ক্ষেত্রে ইনপুট আকারে যাইহোক একটি স্থির ধ্রুবক)কোনও এফপিটিএএসে, এপসিলন স্থির হয় না। আনুমানিক স্কিমটি পাশাপাশি (যেমন, হিসাবে বহুবচন হতে হবে )। চলমান সময় যেমনϵ n 1 / ϵ n ϵ ϵ 1 / ϵ n পি ও এল ওয়াই ( এন , 1 / ϵ ) এন 4 ( 1 / ϵ ) 3 + ( 1 / ϵ ) 8 এন 1 / ϵ এন 1 /$|I|=n$$\epsilon$$n^{1/\epsilon}$$n$$\epsilon$$\epsilon$$1/\epsilon$$n$$\mathrm{poly}(n,1/\epsilon)$$n^4 (1/\epsilon)^3 + (1/\epsilon)^8$$n^{1/\epsilon}$ এবং স্পষ্টত বহুবর্ষীয় নয় । সুতরাং এ জাতীয় অনুমানের পরিকল্পনাটি একটি পিটিএএস তবে এফপিটিএএস নয়।$n$$1/\epsilon$

Comments

সাইটে স্বাগতম! আমি বরং এটা দাবির বিভ্রান্তিকর চিন্তা কর এটাই একটি পিটিএ র মধ্যে একটি ধ্রুবক। এটির পুরো বিন্দুটি কেবলমাত্র একটি অ্যাপপ্রক্সিমেশন না হয়ে প্রায় অনুমানের স্কিম হিসাবে দেখা যায় এটি সমস্ত জন্য কাজ করে । এখনও একটি পরিবর্তনশীল; এটি ঠিক যে আমাদের চলমান সময়টি বহুবচন হওয়ার প্রয়োজন হয় না । ϵ ϵ ϵ 1 /$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$1/\epsilon$

— ডেভিড রিচারবি