ইউনিয়নের ধরণযুক্ত ল্যাম্বদা-পদগুলির বৈশিষ্ট্য

অনেক পাঠ্যপুস্তক ল্যাম্বডা-ক্যালকুলাসে ছেদ করার ধরণের প্রচ্ছদগুলিকে কভার করে। ছেদ জন্য টাইপিং নিয়ম নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে (উপ টাইপিং সহ সহজভাবে টাইপ করা ল্যাম্বদা-ক্যালকুলাসের উপরে):

\frac{Γ ⊢ M : T_{1} Γ ⊢ M : T_{2}}{Γ ⊢ M : T_{1} \land T_{2}} (\land I) \frac{}{Γ ⊢ M : ⊤} (⊤ I)

$\dfrac{\Gamma \vdash M : T_1 \quad \Gamma \vdash M : T_2} {\Gamma \vdash M : T_1 \wedge T_2} (\wedge I) \qquad\qquad \dfrac{} {\Gamma \vdash M : \top} (\top I)$

আন্তঃকরণের ধরণগুলির স্বাভাবিককরণের ক্ষেত্রে আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

একটি ল্যাম্বডা-টার্মটি টাইপ করা যায় না $\top I$ রুল যদি এটি স্বাভাবিক হয় তবে
একটি ল্যাম্বডা-টার্ম একটি ধরণের স্বীকার করে $\top$ যদি এটির ফর্ম থাকে তবে।

যদি ছেদগুলি যোগ করার পরিবর্তে, আমরা ইউনিয়নগুলি যুক্ত করি তবে কী হবে?

\frac{Γ ⊢ M : T_{1}}{Γ ⊢ M : T_{1} \lor T_{2}} (\lor I_{1}) \frac{Γ ⊢ M : T_{2}}{Γ ⊢ M : T_{1} \lor T_{2}} (\lor I_{2})

$\dfrac{\Gamma \vdash M : T_1} {\Gamma \vdash M : T_1 \vee T_2} (\vee I_1) \qquad\qquad \dfrac{\Gamma \vdash M : T_2} {\Gamma \vdash M : T_1 \vee T_2} (\vee I_2)$

সরল ধরণের, সাব টাইপিং এবং ইউনিয়ন সহ ল্যাম্বডা-ক্যালকুলাসের কি কোনও আকর্ষণীয় মিল রয়েছে? ইউনিয়নের সাথে টাইপযোগ্য পদগুলি কীভাবে চিহ্নিত করা যায়?

lambda-calculus type-theory logic

— গিলস 'তাই মন্দ হওয়া বন্ধ করুন'
সূত্র

আকর্ষণীয় প্রশ্ন। আপনি কি বলতে পারেন যে ওওপি থেকে ইন্টারফেসগুলি এর সাথে মিলে যায়?

— রাফেল

হতে পারে আপনি এই সিএসসিএম.এম.এম.ইউ

— ফ্যাবিও এফ।

উত্তর:

প্রথম সিস্টেমে আপনি যাকে সাবটাইপিং বলছেন তা এই দুটি নিয়ম:

\frac{Γ, x : T_{1} ⊢ M : S}{Γ, x : T_{1} \land T_{2} ⊢ M : S} (\land E_{1}) \frac{Γ, x : T_{2} ⊢ M : S}{Γ, x : T_{1} \land T_{2} ⊢ M : S} (\land E_{2})

$\dfrac{Γ, x:T_1 \vdash M:S}{Γ, x:T_1 ∧ T_2 \vdash M:S}(∧E_1)\quad\dfrac{Γ, x:T_2 \vdash M:S}{Γ, x:T_1 ∧ T_2 \vdash M:S}(∧E_2)$

তারা জন্য বর্জন নিয়ম মিলা ; তাদের ছাড়া যোজক বেশী বা কম অনর্থক। $∧$ $∧$

দ্বিতীয় ব্যবস্থায় (connectives সঙ্গে এবং আমরা আপনাকে একটি যোগ করতে পারিনি যা ) subtyping নিয়ম অপ্রাসঙ্গিক, এবং আমি সহগামী নিয়ম আপনি মনের মধ্যে ছিল অনুসরণ করছেন চিন্তা করি তার থেকেও: $∨$ $→$ $⊥$

\frac{Γ, x : T_{1} ⊢ M : S Γ, x : T_{2} ⊢ M : S}{Γ, x : T_{1} \lor T_{2} ⊢ M : S} (\lor E) \frac{}{Γ, x : ⊥ ⊢ M : S} (⊥ E)

$\dfrac{Γ, x: T_1 \vdash M:S\quad Γ, x:T_2 \vdash M:S}{Γ, x:T_1 ∨ T_2 \vdash M:S}(∨E)\quad\dfrac{}{Γ, x: {⊥} \vdash M:S}({⊥}E)$

এটি মূল্যবান কিসের জন্য, এই সিস্টেমটি টাইপ করতে দেয় ( rule using নিয়ম ব্যবহার করে ), যা কেবল সাধারণ প্রকারের সাথে টাইপ করা যায় না, যা একটি সাধারণ ফর্ম রয়েছে, তবে দৃ strongly়রূপে সাধারণকরণ করছে না । $(λx. I)Ω:A→A$ ${⊥}E$

এলোমেলো চিন্তা: (সম্ভবত এটি টিসিএসে জিজ্ঞাসা করার মতো)

এটি আমাকে অনুমান করতে পরিচালিত করে যে সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্যগুলি এমন কিছু:

একটি λ- মেয়াদে এমন একটি স্বীকার করে যে যদি এর সমস্ত জন্য একটি সাধারণ ফর্ম থাকে যা একটি সাধারণ ফর্ম রয়েছে। ( উভয় পরীক্ষায় ব্যর্থ হয়, কিন্তু উপরের λ মেয়াদী তাদের পাস) $M$ $⊥$ $MN$ $N$ $δ$
λ λ বিধি ব্যবহার না করে একটি λ- মেয়াদী টাইপ করা যেতে পারে যদি সমস্ত দৃ strongly়ভাবে স্বাভাবিক করার জন্য দৃ strongly ়তরভাবে স্বাভাবিক হয় । $M$ ${⊥}E$ $MN$ $N$

অনুশীলন: আমাকে ভুল প্রমাণ করুন।

এছাড়াও এটি একটি অবক্ষয়যুক্ত মামলা বলে মনে হচ্ছে, সম্ভবত আমাদের এই লোকটিকে ছবিতে যুক্ত করার বিষয়টি বিবেচনা করা উচিত । যতদূর আমার মনে আছে, এটি ? $A ∨ (A → {⊥})$

— স্টাফেন গিমেনেজ
সূত্র

সাব-টাইপিং বিধি সম্পর্কে ভাল বক্তব্য, তারা দেখায় যে ইউনিয়নের প্রকারগুলি ছেদগুলির মতো প্রায় প্রাকৃতিক নয় (যা তীরগুলিতে orthogonally টাইপ হয়ে যায়)। দ্বিতীয় অংশ সম্পর্কে আমার আরও কিছু চিন্তা করা দরকার।

— গিলস 'খারাপ হয়ে যাওয়া বন্ধ করুন'

আমি মনে করি অনুশীলনের জবাব দেয়, যদি আপনি ইউনিয়নের ধরণের বিষয়ে কথা বলছেন।

M = (λ x . x x) (λ y . y)

$M=(\lambda x.xx)(\lambda y.y)$

— jmad

কল / সিসি সম্পর্কে: এটি কেবল ল্যাম্বদা-শর্তগুলির চেয়ে বেশি প্রয়োজন (যেমন ল্যাম্বদা-মিউ-শর্তাদি বা অন্য ফ্রেমওয়ার্ক) তবে টাইপ সিস্টেমগুলি আরও জটিল, লজিক সিস্টেম, যেখানে ইউনিয়নের ধরণের অপ্রাসঙ্গিক হতে পারে।

— jmad

@ জ্যামদ: প্রকৃতপক্ষে, এই শব্দটি লিখতে ছেদ করার ধরণের প্রয়োজন :-( হতে পারে ইউনিয়ন এবং ছেদগুলি একসাথে বিবেচনা করা আকর্ষণীয় হবে?

— স্টাফেন গিমনেজ

আমি আগ্রহী এমন একটি টার্ম-টার্মের সাথে যেটি ইউনিয়ন প্রকারের সাথে টাইপ করতে পারে (আন্তঃ ছেদ প্রকারের সাথে) তবে সাধারণ প্রকারের সাথে নয় (আরএসএস। ছেদ প্রকারের সাথে)।

— জামাদ

আমি কেবল ব্যাখ্যা করতে চাই কেন ছেদ প্রকারগুলি স্বাভাবিককরণের ক্লাসগুলি (শক্তিশালী, মাথা বা দুর্বল) বৈশিষ্ট্যযুক্ত করার জন্য উপযুক্ত, তবে অন্য ধরণের সিস্টেমগুলি এটি করতে পারে না। (কেবল টাইপযুক্ত বা সিস্টেম এফ)।

মূল পার্থক্যটি হ'ল আপনাকে বলতে হবে: "আমি যদি এবং টাইপ করতে পারি তবে আমি টাইপ করতে "। এটি প্রায়ই আন্তঃ ছেদযুক্ত ধরণের ক্ষেত্রে সত্য হয় না কারণ একটি শব্দটি নকল করা যায়: $M_2$ $M_1→M_2$ $M_1$

(λ x . M x x) N \to M N N

$(\lambda x.Mxx)N → MNN$

এবং তারপরে টাইপ করার অর্থ হ'ল আপনি উভয় উপস্থিতি টাইপ করতে পারেন তবে একই ধরণের সাথে নয়, উদাহরণস্বরূপ ছেদযুক্ত ধরণের সাথে আপনি এটিকে রূপান্তর করতে পারেন: এবং তারপরে গুরুত্বপূর্ণ পদক্ষেপটি এখন সত্যই সহজ: সুতরাং ছেদ ধরনের দ্বারা টাইপ করে করতে পারেন। $MNN$ $N$

M : T_{1} \to T_{2} \to T_{3} N : T_{1} N : T_{2}

$M:T_1→T_2→T_3 \qquad N:T_1 \qquad N:T_2$

M : T_{1} \land T_{2} \to T_{1} \land T_{2} \to T_{3} N : T_{1} \land T_{2}

$M:T_1\wedge T_2→T_1\wedge T_2→T_3 \qquad N:T_1\wedge T_2$

(λ x . M x x) : T_{1} \land T_{2} \to T_{3} N : T_{1} \land T_{2}

$(\lambda x.Mxx):T_1\wedge T_2→T_3 \qquad N:T_1\wedge T_2$

(λ x . M x x) N

$(\lambda x.Mxx)N$

এখন ইউনিয়নের সম্পর্কে: ধরুন আপনি কিছু ইউনিয়ন প্রকারের সাথে টাইপ করতে পারেন, তারপরে আপনি টাইপ করতে পারেন এবং তারপরে কিছু প্রকারের তবে আপনাকে এখনও প্রমাণ করতে হবে যে , যা এমনকি অসম্ভব বলে মনে হয় এটি একটি ইউনিয়ন প্রকার। $(\lambda x.xx)(\lambda y.y)$ $\lambda x.xx$ $S, T_1, \dots$

x : T_{1} \lor T_{2} \lor \dots \lor T_{n} ⊢ x x : S

$x : T_1\vee T_2 \vee \dots \vee T_n ⊢xx:S$

i

$i$

x : T_{i} ⊢ x x : S

$x:T_i⊢xx:S$

S

$S$

এই কারণেই আমি মনে করি না ইউনিয়নের প্রকারের জন্য স্বাভাবিককরণ সম্পর্কে একটি সহজ বৈশিষ্ট্য আছে।

— jmad
সূত্র