একটি অ্যাফাইন ফাংশনের মানগুলির ভাষা

Question

লিখন $\bar n$ এর দশমিক বিস্তৃতির জন্য (কোন শীর্ষে রয়েছে )। যাক এবং পূর্ণসংখ্যার সঙ্গে হতে । এর গুণিতক দশমিক প্রসারণও ভাষার বিবেচনা করুন প্লাস একটি ধ্রুবক:$n$0$a$$b$$a > 0$$a$

$$M = \{ \overline{a\,x+b} \mid x\in\mathbb{N} \}$$

কি নিয়মিত? প্রসঙ্গ-মুক্ত?$M$

( একটি এফাইন ফাংশনের গ্রাফের ভাষার সাথে বৈসাদৃশ্য )

_{আমি মনে করি এটি একটি ভাল হোমওয়ার্ক প্রশ্ন করবে, সুতরাং যে উত্তরগুলি দুটি বা একটি ইঙ্গিত দিয়ে শুরু হয় এবং কেবল কীভাবে প্রশ্নটি সমাধান করবেন তা নয় তবে কী কী কৌশল ব্যবহার করবেন সেগুলি কীভাবে প্রশংসা করা হবে তা কীভাবে ব্যাখ্যা করবে তাও ব্যাখ্যা করে।}

Comments

এখনই বুঝতে পারলাম @ ভনব্র্যান্ডের ধারণা অনুসরণ করে আমি এর একটি নির্দিষ্ট মামলার জবাব দিয়েছি। ডিএফএ যা 43 দ্বারা ভাগযোগ্য কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যার দশমিক উপস্থাপনা গ্রহণ করে

— হেন্ডরিক

Answer 1

$a$$a - 1$$q$$d$( 10 কিউ + ডি ) মোড এ বি মোড এ বি > $(10 q + d) \bmod a$$b \bmod a$$b > a$

Comments

খুব সুন্দর - আমার চেয়ে অনেক ভাল!

— ডেভিড লুইস

Answer 2

এটি নিয়মিত। আসুন প্রথমে বাইনারিতে কাজ করা যাক যে কোনও বেসে সাধারণীকরণ করা হবে> ১। কে প্রশ্নে ভাষা হতে দিন। A = 1, b = 0 এর জন্য আমরা পাই$M_{a,b}$

$M_{1,0} = \{1, 10, 11, 100, 101, ...\}$

শীর্ষস্থানীয় শূন্যগুলি ছাড়াই যা সমস্ত স্ট্রিং over এর বেশি , যা নিয়মিত (এটির জন্য একটি নিয়মিত প্রকাশ তৈরি করুন)।$\{0,1\}$

এখন কোন , এখনও খ 0 দিয়ে আমরা পেতে থেকে একটি দ্বারা সংখ্যাসূচকভাবে গুন দ্বারা, যে, রূপান্তর করণ প্রতিটি স্ট্রিং উপর । এটি স্থির স্ট্রিং এ বিটের উপর নির্ভরশীল এর শিফট এবং সংযোজনগুলির ক্রম দ্বারা বিটওয়াইজ করা যেতে পারে । আমাদের দুটি রূপান্তর দরকার:a M a , 0 M 1 , 0 ˉ x → ¯ a x M a , 0 x ˉ $a$$M_{a,0}$$M_{1,0}$$\bar x \rightarrow \overline {ax}$$M_{a,0}$$x$$\bar a$

ˉ x → ¯ 2 x যা ˉ x → ˉ x$\bar x \rightarrow \overline {2x}$$\bar x \rightarrow \bar x0$

এবং

$\bar x \rightarrow \overline {2x+x}$

ডানে একটি 0 প্রতিযোগিতা পরিষ্কারভাবে নিয়মিততা সংরক্ষণ করে। আমাদের এভাবে কেবল প্রমাণ করতে হবে যে দ্বিতীয় অপারেশন নিয়মিততা সংরক্ষণ করে। এটি করার উপায়টি হ'ল ডান থেকে বামে কাজ করে একটি সসীম-রাষ্ট্রীয় ট্রান্সডুসার । এটি সবচেয়ে কঠিন পদক্ষেপ। আমি স্টেট ব্যবহার না করে সিউডো-কোড প্রোগ্রাম এবং কিছু সীমাবদ্ধ সহায়ক মেমরির (কিছু বিট ভেরিয়েবলের মতো) দিয়ে এটি করার পরামর্শ দিচ্ছি। যতক্ষণ স্মৃতি সমস্ত ইনপুটগুলির উপরে স্থির আকারের হয় এবং আপনি ডান থেকে বামে কঠোরভাবে স্ক্যান করেন, এটি একটি সীমাবদ্ধ রাষ্ট্রীয় ট্রান্সপোর্টেশন এবং নিয়মিততা সংরক্ষণ করে।$\bar x$

অবশেষে, থেকে পেতে আমাদের প্রতিটি স্ট্রিংয়ের সাথে সংখ্যার সাথে যোগ করতে হবে, তবে এটি একই সংখ্যক ট্রান্সডুসার দিয়ে সম্পন্ন হয়েছে যা নির্ধারিত সংখ্যার উপর নির্ভর করে।এম এ , বি এম এ , ০ বি টি $M_{a,b}$$M_{a,0}$$b$$T_b$

যে কোনও বেসে একই কাজ করার জন্য, সেই বেসে কীভাবে একটি একক অঙ্ক দ্বারা গুণন করতে হয় , সেই সাথে d এর উপর নির্ভর করে ট্রান্সডুসার ব্যবহার করে তা । এটির সাহায্যে আমরা বহু-সংখ্যা সংখ্যায় গুণ করতে পারি এবং এখনও নিয়মিত ভাষায় থাকতে পারি। অথবা, আমরা এটি জরিমানা করে বলতে পারি যে দ্বারা গুন করা কেবল পুনরাবৃত্তি যুক্ত।d এস d$d$$S_d$$d$

আপনি কেবল ইঙ্গিত চেয়েছিলেন। এই পদক্ষেপগুলির প্রত্যেকটি একটি মোটামুটি জটিল উপপাদ্য / কৌশলের উপর নির্ভর করে, সুতরাং তাদের সম্পূর্ণ প্রমাণ পাওয়ার জন্য প্রমাণ করা অতিরিক্ত কাজ হবে।

Comments

তোমার এফএ পাবেন না ˉ এক্স একটি ইনপুট হিসাবে, তাই আমি দেখতে পাচ্ছি না কিভাবে কি শো লিখুন হাতে ভাষা নিয়মিত হয়। মনে রাখবেন যে সীমাবদ্ধ মেমরি ব্যবহার করে এমন প্রতিটি প্রোগ্রাম এফএর সাথে মিলে না: প্রতিটি ইনপুট প্রতীককে একবারে একবার বিবেচনা করে ইনপুটটির উপরে একবার এবং বাম থেকে ডানে যেতে পারে এটি গুরুত্বপূর্ণ । $\bar{x}$

— রাফেল

@ রাফেল আপনি যদি পছন্দ করেন তবে ডান থেকে বাম দিকে যেতে পারেন, কোন বিষয়টি সামঞ্জস্যপূর্ণ হচ্ছে। আমি ডেভিডের প্রুফ স্কেচটিতে কোনও ত্রুটি খুঁজে পাচ্ছি না; অনুরোধ করা ট্রান্সডুসারগুলি আমি ধারণা করা থেকে কিছুটা কম প্রাথমিক, তবে এটি বৈধ বলে মনে হচ্ছে।

— গিলস

@ গিলস: প্রথমত, তিনি কীভাবে একটি দ্বারা গুণিতকরণ এবং ফলাফলকে একটি পাসে বি যোগ করার পদ্ধতি ব্যাখ্যা করবেন না ; এমনকি তিনি "শিফট এবং এক্সের যোগের ক্রম" দ্বারা একটি গুণকে হ্রাস করেন । প্রতিটি একক শিফট এবং সংযোজন ভাল, তবে ক্রমটি কীভাবে করবেন? দ্বিতীয়ত, এবং আরও গুরুত্বপূর্ণভাবে, তিনি দেখায় যে কীভাবে ট্রান্সডুসার তৈরি করতে হয় যা ˉ x ↦ ¯ a x + b গণনা করে ; যে নেই না অবিলম্বে আপনি একটি এফএ দিতে গ্রহণ $a$$b$$a$$x$ $\bar{x} \mapsto \overline{ax + b}$ $M$। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যাবৃদ্ধি করা সহজ তবে ফ্যাক্টরিং (অভিযোগযুক্ত) নয়। সুতরাং আপনার কমপক্ষে একটি অতিরিক্ত যুক্তি প্রয়োজন।

— রাফেল

আমি একটি এফএসএ নির্মাণ করছি না। আমি নিয়মিত ( এম 1 , 0 ) দেখানো একটি সেট দিয়ে শুরু করছি এবং তারপরে এটিতে সমস্ত স্ট্রিংকে একটি সীমাবদ্ধ ক্রিয়াকলাপের সাথে রূপান্তর করছি, যার প্রতিটি নিয়মিততা সংরক্ষণ করে। এর জন্য বেশ কয়েকটি পাস (ট্রান্সডুসার) প্রয়োজন। কিন্তু যে ঠিক আছে, transducers ক্রম এবং প্রতিটি কাঠামো হিসাবে শুধুমাত্র উপর ভিত্তি করে আগাম সংশোধন করা হয়েছে একটি এবং খ । প্রতিটি পাস (ট্রান্সডুসার) নিয়মিততা সংরক্ষণ করে, তাই তাদের একটি পাসে ইন্টারলিভ করার দরকার নেই। হ্যাঁ, "প্রাথমিক" নয়। তবে এক সাথে এক সাথে একটি এফএসএ তৈরি করা, ভীষণ জটিল হবে। $M_{1,0}$$a$$b$

— ডেভিড লুইস

@ রাফেল - হ্যাঁ, এটি খুব শক্তিশালী। আসলে, অনেক অ-নিয়মিত পরিবারও সসীম-রাষ্ট্রীয় ট্রান্সডুসারগুলির অধীনে বন্ধ রয়েছে। এবং, আপনি হ্রাস প্রক্রিয়া হিসাবে ট্রান্সডুসারগুলি ব্যবহার করতে পারেন, অ-নিয়মিত ভাষার "কাঠামোগত" জটিলতার পুরো তত্ত্বটি পেয়ে getting

— ডেভিড লুইস

Answer 3

ইঙ্গিত # 1 : প্রথমে আরও জনপ্রিয় সমস্যার সমাধান করুন " কমপক্ষে স্বাক্ষরকারী বিট প্রথম উপস্থিত হলে " একটি অটোমেটন লিখুন যে সংখ্যা দ্বারা দশমিক / বাইনারি উপস্থাপনাকে 3 দ্বারা বিভাজ্য বলে স্বীকৃতি দেয় " ।

মধ্যবর্তী প্রশ্ন: প্রমাণ করুন যে { ¯ কx + b ∣ax + বি ≥ 0এক্স ∈ জেড } নিয়মিত হয়।$\{ \overline{a\,x+b}\mid a\,x+b≥0 \quad x\in\mathbb{Z}\}$

ইঙ্গিত # 2 : ফাংশনের গ্রাফ ( n ↦ 10 n + d ) "মডুলো এ " সীমাবদ্ধ। আপনি প্রতিটি জন্য এটি গনা করতে ঘ মধ্যে { 0 , ... , 9 } যা উভয় ডিজিটের সেট এবং আপনার যন্ত্রমানব এর ভাষা।$(n \mapsto 10n+d)$$a$$d$$\{0, \dots, 9\}$

ইঙ্গিত # 3 : এখন, x ∈ Z কে x ∈ N এর সাথে প্রতিস্থাপন করুন । এই কি পরিবর্তন হয়? অ্যাড-হক অটোমেটন তৈরির পরিবর্তে নিয়মিত ভাষা ছেদ দ্বারা স্থিতিশীল হয় তা ব্যবহার করার চেষ্টা করুন ।$x∈\mathbb Z$$x∈\mathbb N$

ইঙ্গিত # 4 : এখন ধরে নিন যে একটি একটি মৌলিক সংখ্যা (যাতে জেড / একটি জেড একটি ক্ষেত্র) এবং আমরা এখনও যে ক্ষেত্রে x ∈ জেড রয়েছি । আমরা এখন একটি উপস্থাপনা ব্যবহার করি যেখানে প্রথম বিট সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিট significant আপনি কি একইভাবে অটোম্যাটন তৈরি করতে পারেন?$a$$\mathbb Z/a\mathbb Z$$x∈\mathbb Z$

ইঙ্গিত # 5 : কোনও ভাষা নিয়মিত প্রমাণ করার জন্য আপনাকে সর্বদা অটোম্যাটন তৈরি করতে হবে না। এম নিয়মিত তা প্রমাণ করতে আপনি পূর্ববর্তী ফলাফলগুলি কীভাবে ব্যবহার করতে পারেন ? (প্রথম সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিট সহ)$M$

Comments

আপনি যদি মনে করেন যে এটি উপযুক্ত নয় তবে নির্দ্বিধায় মন্তব্য করুন।

— jmad

ইঙ্গিত # 1 একটি বড় পদক্ষেপ। ইঙ্গিত # 4 এ, এটি বুঝতে গুরুত্বপূর্ণ যে একটি ∈ { 2 , 5 } এবং একটি 10 ডলার আলাদা। মাধ্যমে যাওয়া জেড কেন থাকতে: একটি বাঁক মত মতানুযায়ী, আপনি সাইন চরিত্র পরিচালনা আছে এন ? $a\in\{2,5\}$$a\bot10$$\mathbb{Z}$$\mathbb{N}$

— গিলস

@Gilles: আমি বলতে চেয়েছিলেন ¯ একটি এক্স + + খ যখন একটি এক্স + + খ ≥ 0 এবং এক্স ∈ জেড , কারণ 3 এক্স + + 1234 চিনতে ক্লান্তিকর হয়। $\overline{ax+b}$$ax+b≥0$$x∈\mathbb Z$$3x+1234$

— jmad

@ গিলস: আমি মনে করি ইঙ্গিত # 1 নষ্ট হওয়ার পক্ষে খুব দুর্দান্ত। আপনি সম্ভবত ইঙ্গিত # 4 সম্পর্কে ঠিক বলেছেন।

— jmad

Answer 4

আমি @ ভনব্র্যান্ডের ধারণা অনুসরণ করছি:

ইঙ্গিত 1:

খ = 0 এর জন্য প্রথমে সমাধান করুন । আপনি মাইহিল-নেরোড উপপাদ্যটি ব্যবহার করতে পারেন ।$b=0$

আমরা নিম্নলিখিত সম্পর্কটি ˉ x ≈ ˉ y নির্ধারণ করি :⟺x ≡ yগেলিক ভাষারক । এটি অবশ্যই একটি সমতুল্য সম্পর্ক। উপরন্তু এটি ডান সর্বসম, কারণ যদি আমরা একটি অঙ্কের সংখ্যাটি যোগ ঘ আমরা পেতে ˉ এক্স ≈ ˉ $\bar x\approx \bar y :\iff x\equiv y \mod a$$d$⟺10 x + d ≡ 10 y + dগেলিক ভাষারএকটি⟺ˉ x d≈ ˉ y d। অবশেষে এটিএলকেসম্পৃক্ত করে, যেহেতুএলসমতুল্য শ্রেণি[0]। যেহেতু≈আমরা Myhill-Nerode উপপাদ্য দ্বারা আছে ক্লাস একটি নির্দিষ্ট নম্বর আছে এটা নিয়মিত হয়। সম্পর্কিত এফএসএ ন্যূনতম এবং এরএকটিরাজ্য রয়েছে।$\bar x \approx \bar y \iff 10x+d \equiv 10y+d \mod a \iff \bar x d \approx \bar y d$$L$$L$$[0]$$\approx$$a$

ইঙ্গিত 2:

সাধারণ কেস সমাধান করুন, খ = 0 কেস দ্বারা প্রেরিত অটোমেটনের পুনরায় ব্যবহার করুন ।$b=0$

আমরা জানি যে ভাষাটি বি = 0 এর জন্য নিয়মিত । সুতরাং খ = 0 ভাষার জন্য কেবল একটি রাষ্ট্র এফএসএ এম নিন । এখন আমরা এল এর জন্য একটি এফএসএ নির্মাণ করি । ধরে নিন যে বি এর কে সংখ্যা রয়েছে। তারপর গভীরতা 10 এআরওয়াই গাছের মত এফএসএ শাখা ট এবং নম্বরে সব পাথ ধারণ ট সংখ্যার। সব রাজ্যের একটি নম্বর দিয়ে পৌঁছে যাবে না আকারে একটি এক্স + + খ অন্যথায় গ্রহণ প্রত্যাখ্যান করছে। অবশেষে আমরা এফএসএর ট্রি-অংশটি অটোমেটন এম এর সাথে সংযুক্ত করি$b=0$$a$$M$$b=0$$L$$b$$k$$k$$k$$ax+b$$M$বিভাগ দ্বারা বাকী অনুসারে ক ।$a$

Comments

আমি কৌশলটি বুঝতে পারি, তবে বিশদটি নয়। ইঙ্গিত 1 এছাড়াও a = 1 কেসকে সম্বোধন করছে না? তদ্ব্যতীত, মোড 10 এর জন্য আমি 10 রাজ্য ( ক ) নয়? $a=1$$a$

— হেন্ডরিক জানুয়ারী

Answer 5

ভাষা নিয়মিত।

ইঙ্গিত: নাইন নিক্ষেপ

---

প্রুফ ধারণা

জন্য একটি = 9 এবং খ < 9 ,$a=9$$b < 9$

0 থেকে 8 এর লেবেলযুক্ত 9 টি রাজ্যের একটি অটোমেটান তৈরি করুন । 0 হল প্রাথমিক রাষ্ট্র, এবং একটি চূড়ান্ত রাষ্ট্র খ । রাজ্য s থেকে , অঙ্ক d তে , রাজ্যে স্থানান্তর ( গুলি + ডি $9$$0$$8$$0$$b$$s$$d$এম ও ডি9 ।$(s + d) \;\mathrm{mod}\; 9$

অন্যান্য মান হ্যান্ডেল করতে একটি যে সঙ্গে coprime হয় 10 ,$a$$10$

প্যাকেট গোষ্ঠীবদ্ধ ডিজিটের কিছু খুঁজে ট যেমন যে একটি ভাগ 10 ট - 1 (যেমন take ট = 3 যদি একটি = 37 কারণ 999 = 27 × 37 )।$k$$a$$10^k-1$$k=3$$a=37$$999 = 27 \times 37$

মান নিয়ন্ত্রণ করার জন্য একটি যার শুধুমাত্র মৌলিক উত্পাদক হয় 2 এবং 5 ,$a$$2$$5$

নোট করুন যে এটি সমস্ত শেষে সীমাবদ্ধ সংখ্যার সংখ্যা।

ক এবং খ এর সমস্ত মানকে সাধারণ করতে ,$a$$b$

সত্য যে ইউনিয়ন ও নিয়মিত ভাষায় ছেদ নিয়মিত হয়, যে সসীম ভাষায় নিয়মিত হয়, এবং এর গুণিতক ব্যবহার একটি 1 ⋅ একটি 2 ঠিক উভয়ের গুণিতক যখন একটি 1 এবং একটি 2 coprime হয়।$a_1 \cdot a_2$$a_1$$a_2$

মনে রাখবেন যে আমরা যে কোনও কৌশলটি সুবিধাজনক ব্যবহার করি; তিনটি প্রধান প্রাথমিক কৌশল (নিয়মিত অভিব্যক্তি, সসীম অটোমেটা, সেট-তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্য) সমস্তই এই প্রমাণে উপস্থাপিত হয়।

---

বিস্তারিত প্রমাণ

যাক একটি = 2 পি 5 কুই একটি ' সঙ্গে একটি ' সঙ্গে coprime 10 । যাক এম ' = { ¯ একটি $a = 2^p 5^q a'$$a'$$10$এক্স + + খ |এক্স∈জেড∧একটি'x + b ≥ 0 } এবং এম ″ = { ¯ 2 পি 5 $M' = \{\overline{a'\,x+b} \mid x\in\mathbb{Z} \wedge a'\,x+b \ge 0\}$x + b ∣x∈Z∧2পি5কিউx + b ≥ 0 } । প্রাথমিক গাণিতিক করে, নম্বর সমান b মডিউল একটি ঠিক সংখ্যার সমান b মডিউল একটি ' এবং b মডিউল 2 পি 5 কুই , তাই এম ∩ { ¯ এক্স | এক্স ≥ খ } = এম ' ∩ এম " ∩ { ¯ x ∣ x ≥ বি } । যেহেতু নিয়মিত ভাষার ছেদ নিয়মিত, এবং$M'' = \{\overline{2^p 5^q\,x+b} \mid x\in\mathbb{Z} \wedge 2^p 5^q\,x+b \ge 0\}$$b$$a$$b$$a'$$b$$2^p5^q$$M \cap \{\overline{x} \mid x \ge b\} = M' \cap M'' \cap \{\overline{x} \mid x \ge b\}${ ¯ এক্স | এক্স ≥ খ } নিয়মিত কারণ এটি একটি সসীম (অত: পর নিয়মিত) ভাষার সম্পূরক, যদি এম ' এবং এম " নিয়মিত হয়, তারপর এম ∩ { ¯ এক্স | এক্স ≥ খ } নিয়মিত হয়; এবং এম তাই নিয়মিত যেহেতু এটি একটি সীমাবদ্ধ সেট সহ সেই ভাষার মিলন। তাই প্রমাণ প্রমাণ করতে হবে যে যথেষ্ট উপসংহারে এম ' এবং এম " নিয়মিত হয়।$\{\overline{x} \mid x \ge b\}$$M'$$M''$$M \cap \{\overline{x} \mid x \ge b\}$$M$$M'$$M''$

আসুন আমরা এম ″ , অর্থাৎ সংখ্যাগুলি 2 পি 5 কিউ দিয়ে শুরু করি । পূর্ণসংখ্যার যার দশমিক সম্প্রসারণ হয় এম " তাদের শেষ দ্বারা চিহ্নিত করা হয় মি একটি এক্স ( পি , কুই ) ডিজিটের আরও পরিবর্তন বাম এর গুণিতক যোগ উপায়ে যেহেতু, সংখ্যা 10 মি একটি এক্স ( পি , কুই ) যার একটি একাধিক 2 পি 5 কিউ । সুতরাং 0 ∗ এম ″ = ℵ ∗ ফ যেখানে$M''$$2^p 5^q$$M''$$\mathrm{max}(p,q)$$10^{\mathrm{max}(p,q)}$$2^p 5^q$$0^* M'' = \aleph^* F$ℵ সব ডিজিটের বর্ণমালা নেই এবং এফ দৈর্ঘ্যের শব্দের একটি সসীম সেট মি একটি এক্স ( পি , কুই ) , এবং এম " = ( ℵ * এফ ) ∩ ( ( ℵ ∖ { 0 } ) ℵ * ) একটি নিয়মিত হয় ভাষা.$\aleph$$F$$\mathrm{max}(p,q)$$M'' = (\aleph^* F) \cap ((\aleph \setminus \{0\}) \aleph^*)$

আমরা এখন চালু এম ' , অর্থাত্ সংখ্যার modulo একটি ' যেখানে একটি ' সঙ্গে coprime হয় 10 । যদি একটি ' = 1 তারপর এম ' সমস্ত naturals এর দশমিক প্রসারণও সেট, অর্থাত্ এম ' = { 0 } ∪ ( ( ℵ ∖ { 0 } ) ℵ * ) , যা একটি নিয়মিত ভাষা। আমরা এখন একটি ′ > 1 ধরে নিই । আসুন কে = এ ′$M'$$a'$$a'$$10$$a' = 1$$M'$$M' = \{0\} \cup ((\aleph \setminus \{0\}) \aleph^*)$$a' > 1$ঘ । ফার্মার ছোট উপপাদ্য অনুসারে, 10 এ ′ - 1 ≡ $k = a'-1$গেলিক ভাষারএকটি ' , বলতে চাই যে যা একটি ' ভাগ 10 ট - 1 । আমরা একটি ডেটিমিনিস্টিক সসীম অটোমেটন তৈরি করি যা 0 ∗ এম ′ কে নীচেস্বীকৃতি দেবে:$10^{a'-1} \equiv 1 \mod a'$$a'$$10^k-1$$0^* M'$

• রাজ্যগুলি হল [ 0 , কে - 1 ] × [ 0 , 10 কে - 2 ] । প্রথম অংশটি একটি অঙ্কের অবস্থানকে উপস্থাপন করে এবং দ্বিতীয় অংশটি একটি সংখ্যা মডুলো 10 কে - 1 উপস্থাপন করে ।$[0,k-1] \times [0,10^k-2]$$10^k-1$
• প্রাথমিক অবস্থাটি ( 0 , 0 ) ।$(0,0)$
• একটা ট্রানজিশন লেবেল ঘ থেকে ( আমি , তুমি ) থেকে ( ঞ , বনাম ) iff বনাম ≡ ঘ 10 আমি + + $d$$(i,u)$$(j,v)$গেলিক ভাষার10 ট - 1 এবং ঞ ≡ আমি + $v \equiv d 10^i + u \mod 10^k-1$গেলিক ভাষারকে ।$j \equiv i + 1 \mod k$
• একটি রাষ্ট্র ( i , u ) চূড়ান্ত if if u ≡ $(i,u)$গেলিক ভাষারএকটি ' (নোট যে একটি ' ভাগ 10 ট - 1 )।$u \equiv b \mod a'$$a'$$10^k-1$

রাষ্ট্র ( আমি , তুমি ) একটি শব্দ থেকে পৌঁছে ¯ এক্স সন্তুষ্ট আমি ≡ | ¯ x$(i,u)$$\overline{x}$গেলিক ভাষারk এবং u ≡ $i \equiv |\overline{x}| \mod k$গেলিক ভাষার10 কে - 1 । এটি অটোমেটনে রূপান্তরগুলি অনুসরণ করে শব্দের উপর অন্তর্ভুক্তির মাধ্যমে প্রমাণ করা যেতে পারে; স্থানান্তরগুলি 10 কে ≡ 1 টি ব্যবহার করে এটির জন্য গণনা করা হয়$u \equiv x \mod 10^k-1$গেলিক ভাষার10 কে - 1 । এভাবে যন্ত্রমানব ফর্মের সংখ্যার দশমিক প্রসারণও (যার ফলে প্রাথমিক শূণ্যসমূহ) স্বীকার করে তোমার দর্শন লগ করা + + Y 10 ট সঙ্গে তোমার দর্শন লগ করা ≡ $10^k \equiv 1 \mod 10^k-1$$u + y 10^k$গেলিক ভাষারক ′ ; যেহেতু 10 কে ≡ $u \equiv b \mod a'$গেলিক ভাষারএকটি ' , যন্ত্রমানব স্বীকার সংখ্যার দশমিক প্রসারণও থেকে সমান b মডিউল একটি ' প্রাথমিক শূণ্যসমূহ, যা যার ফলে 0 * এম ' । এই ভাষাটি নিয়মিত প্রমাণিত হয়। অবশেষে, এম ' = ( 0 * এম ' ) ∩ ( ( ℵ ∖ { 0 } ) ℵ * ) একটি নিয়মিত ভাষা।$10^k \equiv 1 \mod a'$$b$$a'$$0^* M'$$M' = (0^* M') \cap ((\aleph \setminus \{0\}) \aleph^*)$

10 ব্যতীত অন্যান্য ঘাঁটিতে সাধারণকরণের জন্য, বেসের সমস্ত মৌলিক উপাদানগুলির দ্বারা 2 এবং 5 এর উপরে প্রতিস্থাপন করুন ।$10$$2$$5$

আনুষ্ঠানিক প্রমাণ

আপনার প্রিয় উপপাদ্য প্রবাদটি পাঠকের জন্য অনুশীলন হিসাবে রেখে দেওয়া হয়েছে।