এই St হয় -hard কোন

Question

যাক সব ভাষার হতে -CNF সূত্র , যেমন যে অন্তত এর এর ক্লজ সন্তুষ্ট করা যাবে না।$L_\epsilon$$2$$\varphi$$(\frac{1}{2}+\epsilon)$$\varphi$

আমি প্রমাণ করতে অস্তিত্ব আছে যে প্রয়োজন St হয় -hard কোন ।$\epsilon'$$L_\epsilon$$\mathsf{NP}$$\epsilon<\epsilon'$

আমরা জানি যে একটি হ্রাস থেকে অনুচ্ছেদগুলির cent অনুমানের হতে পারে । আমি কীভাবে এটি সমাধান করব?$\text{Max}2\text{Sat}$$\frac{55}{56}$$\text{Max}3\text{Sat}$

Answer 1

তাঁর বিখ্যাত কাগজ, ইন Håstad দেখায় যে এটা আনুমানিক MAX2SAT করার দ্বারা NP-হার্ড বেশী ভালো । সম্ভবত এটির অর্থ হ'ল সন্তুষ্টযোগ্য এবং উদাহরণগুলি সন্তুষ্টযোগ্য, কিছু জন্য পৃথক করা এনপি-হার্ড । এখন উদাহরণস্বরূপ প্যাডিংটি কল্পনা করুন যাতে এটি একটি নতুন উদাহরণের ফ্রেকশন হয়ে যায় , যার বাকি অংশগুলি ঠিক সন্তুষ্টিযোগ্য (বলুন এটির মধ্যে একটি ফর্মের ধারাগুলির গ্রুপ রয়েছে )। সংখ্যাগুলি এখন এবং$21/22$$\leq \alpha$$\geq (22/21) \alpha$$\alpha \geq 1/2$$p$$1/2$$a \land \lnot a$$1/2 + p (\alpha - 1/2)$$1/2 + p((22/21)\alpha - 1/2)$। পরের সংখ্যাটি আমরা যতটা চাই কাছাকাছি তৈরি করা যেতে পারে ।$1/2$

Comments

আপনার পদ্ধতি কি কার্যকর হয় যখন ε একটি স্বেচ্ছাসেবী (তবে যথেষ্ট ছোট)? প্যাডিংয়ের জন্য কীভাবে উপযুক্ত সংখ্যা বেছে নিতে হবে তা আমি অনুমান করতে পারি না যদি আমি about সম্পর্কে কিছু না ধরে ε (দ্রষ্টব্য যে ε ইনপুটটির অংশ নয়, এবং তাই এটি বাস্তব সংখ্যা consider বিবেচনা করার জন্য সু-সংজ্ঞায়িত))

— সোসোশি ইটো

সেখানেই এবং হতে পারে। ধরে নিচ্ছি যুক্তিযুক্ত, কিছু যুক্তিযুক্ত , এবং আপনার ভাল করা উচিত। $1/2+p(\alpha-1/2)$$1/2+p((22/21)\alpha-1/2)$$\alpha$$p$

— যুবাল ফিল্মাস

আহা, একরকম আমি ভেবেছিলাম যে আমি প্রথমে চেষ্টা করার পরে সেই পদ্ধতিটি কাজ করে না, তবে এখন দেখছি এটি কীভাবে কাজ করে। ধন্যবাদ!

— Tsuyoshi Ito

Answer 2

যদি আপনি জানেন যে ε একটি যুক্তিযুক্ত সংখ্যা, তবে আপনার বক্তব্য প্রমাণ করার জন্য আপনার সর্বোচ্চ -2-স্যাট-এর জন্য অপ্রয়োজনীয়তা প্রয়োজন হবে না। ম্যাক্স-2-স্যাট এর দ্বারা NP-কঠোরতা একটি আদর্শ প্রমাণ (যেমন, পাঠ্যপুস্তক এক কম্প্যুটেশনাল জটিলতা Papadimitriou দ্বারা) আসলে এর দ্বারা NP-সম্পূর্ণতার প্রমাণ এল _1/5 । এর দ্বারা NP-কঠোরতা প্রমাণ এল _ε জন্য ইতিবাচক মূলদ সংখ্যার ε <1/5, আমরা কমে যায় এল _1/5 থেকে এল _ε নিম্নরূপ: একটি 2CNF সূত্র দেওয়া φ (জন্য একটি দৃষ্টান্ত এল _1/5 ), দিন মি হতে এটিতে ধারাগুলির সংখ্যা। যাক R এবংগুলি এর ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলি (1 / 5− ε ) এমআর = 2 ε এর ধারণ করে। তারপর একটি 2CNF সূত্র (জন্য একটি দৃষ্টান্ত গঠন করা এল _ε ) পুনরাবৃত্তি দ্বারা φ জন্য দ কাল ও যোগ গুলি contradicting ক্লজ জোড়া। একটি সরল হিসাব দেখায় যে, এই প্রকৃতপক্ষে থেকে কমানো হয় এল _1/5 থেকে এল _ε ।

এই হ্রাসটি কেবলমাত্র ε যুক্তিযুক্ত হলে কার্যকরভাবে কাজ করে, কারণ অন্যথায় r এবং গুলি পূর্ণসংখ্যার হিসাবে নেওয়া যায় না। সাধারণ ক্ষেত্রে যেখানে ε অগত্যা মূলদ নয়, inapproximability প্রয়োজন মনে হয় ইউভাল Filmus তার উত্তরে লিখেছিলেন।