ডামিদের জন্য মোনাডিক সেকেন্ড অর্ডার লজিক

আমি অটোমেটার উপর একটি খপ্পর সহ প্রোগ্রামার, কিন্তু যুক্তিতে নেই।

আমি কাগজপত্রে পড়েছিলাম যে দুটি খুব দৃ very়ভাবে সম্পর্কিত। নির্ধারিত সসীম অটোমাতা (ডিএফএ), ট্রি অটোমাতা এবং দৃশ্যমান পুশডাউন অটোমাতা সমস্তই মোনাডিক সেকেন্ড অর্ডার লজিক (এমএসও) এর সাথে সম্পর্কিত। যদিও, আমি অটোমাতা বুঝতে পেরেছি এবং লোকেরা (কাগজপত্রগুলিতে) আমার সাথে এমএসও সম্পর্কিত সম্পর্ক ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করেছে, তারা সর্বদা যুক্তি এবং এমএসওর বোঝার একটি শক্তিশালী পটভূমি ধরে নেয়।

আমি যখন যুক্তি সম্পর্কিত বই এবং কোর্সগুলিতে দেখি তখন এগুলি বেশিরভাগই কেবল প্রথম অর্ডার যুক্তি পরিচালনা করে, যা বেশ সহজ মনে হয় এবং কেবল কয়েকটি ধারণা ধারণ করে: ভেরিয়েবল, বা, এবং না, বোঝা যায়, সকলের জন্যই বিদ্যমান, ইত্যাদি etc.

কেউ কি আমাকে ব্যাখ্যা করতে বা এমন কোনও উত্সকে নির্দেশ করতে পারে যা ব্যাখ্যা করতে পারে:

প্রথম অর্ডার যুক্তির বিপরীতে দ্বিতীয় অর্ডার যুক্তি কী?
Monadic বনাম নন monadic যুক্তি কি?
দ্বিতীয় আদেশের যুক্তির পক্ষে কেন সিদ্ধান্ত নেওয়া উচিত তা নির্ধারণযোগ্য বা কেন এটি ভুল প্রশ্ন?
মোনাডিক দ্বিতীয় আদেশের যুক্তি কেন নির্ধারণযোগ্য?
কমপক্ষে ডিএফএ এর সাথে সম্পর্ক?

এটি যদি কোনও উত্স হয় তবে এটি দুর্দান্ত হবে যদি ধরে নেওয়া হয় যে আমি একজন প্রোগ্রামার এবং লজিস্টিয়ান নই। এর অর্থ হল যে আমি কোড হিসাবে এটি কীভাবে প্রয়োগ করব তা বুঝতে চাই, কারণ ততক্ষণ গণিত আমার কাছে যাদু বলে মনে করে;)

আমাকে যে কোন উপকারের জন্য ধন্যবাদ. আমি সত্যিই কৃতজ্ঞ হবে।

— ওয়াল্টার শুলজ
সূত্র

"দ্বিতীয় আদেশের যুক্তিটির পক্ষে কেন সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য হতে হবে বা কেন এটি ভুল প্রশ্ন?" আপনি যদি বাইনারি প্রিকিকেট যেমন eg উপরে পরিমাণ নির্ধারণের অনুমতি দেন তবে আপনি তত্ক্ষণাত্ প্রথম অর্ডার লজিকের একটি একক বাইনারি প্রাকটিকের সাথে পাওয়ার ধরেন যা ইতিমধ্যে অনির্বাচনীয় (এমনকি কোনও ফাংশন ছাড়াই) arity> 0, এবং সমতা ছাড়া) [মধ্যে Kalmar, Suranyi 1950]

\exists M [. . . M (x, y) . . .]

$\exists M[...M(x,y)...]$

— মাস

প্রথম অর্ডার যুক্তির বিপরীতে দ্বিতীয় অর্ডার যুক্তি কী?

Monadic বনাম নন monadic যুক্তি কি?

মোনাডিক সেকেন্ড-অর্ডার লজিক হ'ল ফার্স্ট-অর্ডার লজিক প্লাস সেটের পরিমাণ নির্ধারণ। সুতরাং, কিছু সম্পত্তি ( ) সহ একটি ডোমেন উপাদান উপস্থিত রয়েছে তা বলতে সক্ষম হয়ে আপনি এটিও বলতে পারেন যে কিছু সম্পত্তি সহ ডোমেন উপাদানগুলির একটি সেট রয়েছে । সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, আমরা গ্রাফের 3-বর্ণচিহ্নতা সংজ্ঞায়িত করতে পারি $\exists x\dots$

\begin{aligned} \exists R \exists G \exists B [ & \forall x (x \in R \lor x \in G \lor x \in B) \\ \land \neg \exists x ((x \in R \land x \in G) \lor (x \in G \land x \in B) \lor (x \in B \land x \in R)) \\ \land \forall x \forall y (E (x, y) \to \neg ((x \in R \land y \in R) \lor (x \in G \land y \in G) \\ \lor (x \in B \land y \in B)))] . \end{aligned}

$\begin{align*} \exists R\,\exists G\,\exists B\, \big[&\forall x\,\big(x\in R\lor x\in G\lor x\in B\big)\\ &\land \neg\exists x\,\big((x\in R\land x\in G) \lor (x\in G\land x\in B) \lor (x\in B\land x\in R)\big)\\ &\land \forall x\,\forall y\,\big(E(x,y)\rightarrow \neg \big((x\in R\land y\in R)\lor (x\in G\land y\in G)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\lor (x\in B\land y\in B)\big)\big)\big]\,. \end{align*}$

কথায় আছে, এখানে লাল, সবুজ এবং নীল রঙ রয়েছে

প্রতিটি ভার্টেক্সের একটি রঙ থাকে
এবং কোনও ভার্টেক্সের দুটি রঙ নেই
এবং, যদি দুটি শৃঙ্গের মাঝে একটি প্রান্ত থাকে, তবে এই দুটি উল্লম্বের রঙ একই নয়।

সাধারণ দ্বিতীয়-আদেশের যুক্তি কেবলমাত্র সেটগুলির উপরে পরিমাপের অনুমতি দেয় না তবে ডোমেনের সাথে স্বেচ্ছাসেবী সম্পর্ককেও মঞ্জুরি দেয়। রিকল করে একটি সম্পর্ক একটি সেট কিছু, ডোমেন উপর -tuples । সেটগুলি কেবল অযৌক্তিক সম্পর্ক: এবং টিপল ডোমেনের কেবল একটি উপাদান। $k$ $k$ $k=1$ $1$

দ্বিতীয় আদেশের যুক্তির পক্ষে কেন সিদ্ধান্ত নেওয়া উচিত তা নির্ধারণযোগ্য বা কেন এটি ভুল প্রশ্ন?

মোনাডিক দ্বিতীয় আদেশের যুক্তি কেন নির্ধারণযোগ্য?

সত্য, আমি সিদ্ধান্ত গ্রহণের বিষয়গুলি মনে করি না। একটি মূল বিষয় হ'ল সম্পূর্ণ দ্বিতীয়-আদেশের যুক্তি আপনাকে ডোমেনের একটি রৈখিক ক্রমটিকে অস্তিত্বের মধ্যে মাপ দিতে দেয়

\begin{aligned} \exists R \forall x \forall y \forall z [ & (R (x, y) \lor R (y, x)) \\ ((R (x, y) \land R (y, x)) \to x = y) \\ ((R (x, y) \land R (y, z)) \to R (x, z))] . \end{aligned}

$\begin{align*} \exists R\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,\big[&(R(x,y)\lor R(y,x)\big)\\ &\big((R(x,y)\land R(y,x))\rightarrow x=y\big)\\ &\big((R(x,y)\land R(y,z))\rightarrow R(x,z)\big)\big]\,. \end{align*}$

অর্থাৎ, এখানে একটি বাইনারি সম্পর্ক বিদ্যমান যা মোট, অ্যান্টিসিমমেট্রিক এবং ট্রানজিটিভ, অর্থাত্, ডোমেন তে একটি লিনিয়ার অর্ডার । যে পরোক্ষভাবে আপনার উপর একটি রৈখিক অর্ডার দেয় কোন জন্য , এবং আপনি উপর সম্পর্ক ব্যবহার করতে পারেন বৃহৎ যথেষ্ট জন্য একটি টুরিং মেশিন টেপ অনুকরণ। তবে, মোনাডিক এসও দিয়ে আপনি এই জিনিসগুলির কোনও কিছুই করতে পারবেন না। $D$ $D^n$ $n$ $D^n$ $n$

(আমি অনুমান করি যে, যদি আপনার ডোমেন অসীম হয় তবে আপনাকে সম্ভবত এটির অতিরিক্ত উল্লেখ করতে হবে যে রৈখিক ক্রমটি বিচ্ছিন্ন এবং একটি ন্যূনতম উপাদান রয়েছে; তবে আপনি জানেন যে এটির একটি প্রাথমিক বিভাগ রয়েছে যা প্রাকৃতিক সংখ্যার সাথে বিচ্ছিন্ন, এবং এটি হওয়া উচিত যথেষ্ট.)

সসীম ইনপুট, এত অস্তিত্ববাদের টুকরা অন - ফর্মের সূত্র , যেখানে সম্পর্ক প্রতীক এবং প্রথম অর্ডার হয় - সংজ্ঞায়িত ঠিক দ্বারা NP । সম্পূর্ণ দ্বিতীয়-আদেশের যুক্তি ঠিক বহুপক্ষীয় শ্রেণিবিন্যাসকে সংজ্ঞায়িত করে। এটি হ'ল টুরিং মেশিনগুলিকে এনকোড করার ক্ষমতা এবং এই কারণে যে সম্পর্কের একটি নির্দিষ্ট সংগ্রহের পরিমাণ নির্ধারণ করা আপনাকে বহুমাত্রিক পরিমাণে খেলতে দেয়। $\exists R_1\dots \exists R_k\,\varphi$ $R_i$ $\varphi$

কমপক্ষে ডিএফএ এর সাথে সম্পর্ক?

আমরা কিছু সীমাবদ্ধ বর্ণমালার উপর স্ট্রিংগুলি উপস্থাপন করতে পারি - সম্পর্কিত কাঠামো দ্বারা by শব্দভান্ডারটিতে একটি বাইনারি সম্পর্ক চিহ্ন- যা একটি রৈখিক ক্রম হিসাবে ব্যাখ্যা করা হবে এবং প্রতিটি অক্ষরের জন্য অবিচ্ছিন্ন সম্পর্ক চিহ্ন । ডোমেনের প্রতিটি উপাদান স্ট্রিংয়ের একটি অক্ষর, রৈখিক ক্রম আপনাকে কী অর্ডারে উপস্থিত হয় এবং সম্পর্কগুলি আপনাকে যে প্রতিটি অবস্থানে কোন অক্ষর উপস্থিত হয়। $\Sigma$ $\leq$ $R_a$ $a\in\Sigma$ $R_a$

এখন, ধরুন আমাদের ডি স্টেটস সহ একটি ডিএফএ আছে এবং ধরে নেওয়া যাক আমরা আপাতত সীমাবদ্ধ স্ট্রিংগুলি নিয়ে কাজ করছি। আমরা একটি সূত্র লিখতে পারি যা উপরের তিনটি বর্ণের সূত্রের সাথে বিস্তৃতভাবে সমান বলে যে আমাদের ডিএফএ এর ইনপুট দ্বারা কোডিং স্ট্রিং গ্রহণ করে। এটি বলে যে সেখানে ডোমেন উপাদানগুলির (যেমন স্ট্রিংয়ের ) , যেমন সেই স্ট্রিংয়ের অবস্থানগুলির সেট হবে যেখানে অটোমেটন অবস্থায় থাকবে । সুতরাং দৃsert়তা যে: $k$ $Q_1, \dots, Q_k$ $Q_i$ $i$

প্রতিটি পজিশনের ঠিক এক ; $j$ $Q_1, \dots, Q_k$
প্রথম অবস্থানটি (ধরে নেওয়া এটিই স্টার্ট স্টেট); $Q_1$
যদি তম অবস্থান তবে রূপান্তর ফাংশনটি যে অবস্থাতেই হওয়া উচিত তার তম অবস্থানটি; $j$ $Q_i$ $(j+1)$
চূড়ান্ত অবস্থান একটি গ্রহণযোগ্য রাষ্ট্র হয়।

যদি এই সূত্রটি সত্য হয় তবে অটোমেটনের অবশ্যই স্ট্রিং গ্রহণ করতে হবে; যদি এটি মিথ্যা হয় তবে অটোমেটনকে অবশ্যই প্রত্যাখ্যান করতে হবে। এনএফএগুলির জন্য, আমরা কেবল বলেছি যে প্রতিটি অবস্থান অন্তত একটি রাজ্যে এবং চূড়ান্ত রাষ্ট্রটি কমপক্ষে একটি গ্রহণযোগ্য রাষ্ট্রের হয়। অসীম ইনপুটগুলির জন্য, আমরা কোডটি করতে পারি, উদাহরণস্বরূপ, "ইনপুটটিতে সমস্ত অবস্থানের জন্য " বলে বাচ্চি শর্তটি কোড করতে পারি , যদি গ্রহণযোগ্য অবস্থায় থাকে তবে কিছু যেমন গ্রহণযোগ্য অবস্থায়ও রয়েছে in $j$ $j$ $j'>j$ $j'$

এই মুহুর্তে, আমি এই কথোপকথনের প্রমাণটি মনে করতে পারি না (যে এমএসও-তে নির্ধারিত সমস্ত কিছুই উপযুক্ত অটোমেটনের দ্বারা স্বীকৃত হতে পারে)। আমার যদি সময় থাকে তবে আমি এটি সন্ধান করব এবং একটি স্কেচ পোস্ট করব।

বিপরীতভাবে , আমরা স্বতঃস্ফূর্তভাবে অটোমাতা নির্মাণের পরে, সীমিত রাষ্ট্র অটোমাতা দ্বারা এমএসও সূত্রগুলির অর্থ উপস্থাপন করতে পারি। এই কাজের জন্য আমরা যন্ত্রমানব এর বর্ণমালা বৃদ্ধি, উপাদান বিনামূল্যের অবস্থান ভেরিয়েবল এর মান নির্দেশ করে যোগ করে এবং সেট ভেরিয়েবল । আমরা যদি যন্ত্রমানব বরাবর একটি স্ট্রিং পড়তে আমরা ঠিক একটি একক এটি একটি নির্দিষ্ট সেখানে ঢুকলে ইঙ্গিত , এবং একটি সেটে অবস্থানের একইভাবে চিহ্নিত করা হয়েছে। $i$ $X$ $1$ $i$ $X$

মৌলিক সূত্রে জন্য "অবস্থান প্রতীক হয়েছে ," জন্য " একজন উপাদান " এবং জন্য "অবস্থান অবস্থান আগের "। এই সূত্রগুলি নিম্নলিখিত সাধারণ সসীম রাষ্ট্র অটোমাতা দ্বারা উপস্থাপিত হতে পারে (সূত্রের জন্য উপযুক্ত বর্ধিত বর্ণমালার উপরে): $R_a(i)$ $i$ $a$ $i\in X$ $i$ $X$ $i<j$ $i$ $j$

আরও জটিল সূত্রগুলি বুলিয়ান সংযোগগুলি ব্যবহার করে তৈরি করা হয়েছে এবং অস্তিত্বের কোয়ান্টিফায়ার । এই অপারেটরগুলির উদ্দেশ্যযুক্ত অর্থগুলি ভাষা অপারেটর ইউনিয়ন , পরিপূরক এবং প্রজেকশন হিসাবে সহজেই ভাষাগুলিতে অনুবাদ হয় , যা ক্রিয়াকলাপটি সংযোজনযুক্ত বর্ণমালা থেকে সংশ্লিষ্ট উপাদানটিকে সরিয়ে দেয়। ইউনিয়নের জন্য সূত্রের দুটি অংশ মুক্ত ভেরিয়েবলের সেটটিতে একমত না হলে আমাদের বর্ধিত বর্ণমালাগুলির দিকে কিছুটা নজর দিতে হবে। অভিক্ষেপটি সহজ, তবে এটি একটি ডিটারমিনিস্টিক অটোমেটনকে একটি ননডেটেরিস্টেমিককে বদলে দেবে। $\lor, \lnot$ $\exists i, \exists X$ $\cup$ ${}^c$

— ডেভিড রিচার্বি
সূত্র

কথোপকথনের জন্য আমার পরামর্শ যুক্ত করেছে। @ ডেভিডরিচার্বির অনুমোদনের জন্য মুলতুবি রয়েছে

— হেন্ডরিক 18 জানুয়ারী

একটি দুর্দান্ত প্রতিক্রিয়া জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি এখনও এই সমস্ত প্রক্রিয়াজাত করছি এবং এর মাধ্যমে কাজ করছি, শর্তাবলী সন্ধান করছি, কীভাবে আমি এটি বাস্তবায়ন করব ইত্যাদি ভেবে এই সময়কালে আমি মনে করি 3 নম্বরটি ভুল প্রশ্ন ছিল। সম্ভবত এটি হওয়া উচিত ছিল যে অটোমাতা এবং যুক্তির মধ্যে সম্পর্ক এত গুরুত্বপূর্ণ কেন, এটি এতগুলি নিবন্ধে উল্লেখ করা হয়েছে?

— ওয়াল্টার শুলজে

চমৎকার উত্তরের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ!

— ক্লাস