কীভাবে প্রমাণ করবেন যে দুটি 2x2 ম্যাট্রিকের ম্যাট্রিক্স গুণন 7 এরও কম গুণে করা যায় না?

Question

স্ট্র্যাসেনের ম্যাট্রিক্সের গুণায় আমরা একটি আশ্চর্যরূপে বর্ণনা করি (আমার কাছে কমপক্ষে) সত্য যে দুটি 2 x 2 এর ম্যাট্রিক্সের গুণনটি 7 গুণ করে।

প্রশ্ন: কীভাবে প্রমাণ করবেন যে 2 2 x 2 ম্যাট্রিককে 6 গুণে গুণ করা অসম্ভব?

দয়া করে নোট করুন যে ম্যাট্রিকগুলি পূর্ণসংখ্যার চেয়ে বেশি।

Comments

আরও ম্যাট্রিক্স গুণিত অ্যালগরিদম রয়েছে যা দ্রুত হতে পারে। স্ট্যানফোর্ডের সিএমই 323 ক্লাসের এই ওয়েব নিবন্ধটিতে স্ট্রেসনের অ্যালগরিদম, ম্যাট্রিক্সের গুণ: স্ট্র্যাসেনের অ্যালগরিদম সম্পর্কে বিশদ সরবরাহ করা হয়েছে । উইকিপিডিয়া সম্পর্কিত একটি বিষয় রয়েছে, স্ট্র্যাসেন অ্যালগরিদম যা বিশদে যায় এবং অতিরিক্ত তথ্যের লিঙ্ক রয়েছে।

— রিচার্ড চেম্বারস

@ রিচার্ড চ্যাম্বার্স লক্ষ্য করুন যে স্ট্র্যাসেনের অ্যালগরিদমে গুণ রয়েছে। এটি আমার কাছে প্রশংসনীয় বলে মনে হচ্ছে যে এই নিম্ন সীমাটি সত্য। $7$

— স্টেলা বিডারম্যান

শব্দ হিসাবে এই প্রশ্নটি ভুল। ম্যাট্রিক্স যে সাথে গুণ করা যায় প্রচুর আছে multiplications। আপনি একটি প্রমাণ জিজ্ঞাসা করতে চাইছেন যে, সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে, এটি 7 আরফ লাগে যেখানে কিছু ম্যাট্রিক্স রয়েছে যার জন্য 7 প্রয়োজন হয়$6$

— স্টেলা বিডারম্যান

@ স্টেলাবিদারম্যান হ্যাঁ আমি দেখেছি স্ট্রেসনের 7 গুণ রয়েছে। আমি কম জটিলতার সাথে অন্যটি, দ্রুত এবং অ্যালগরিদমের দিকে তাকাতে পারি নি। আমি যা বলতে পারি সেগুলি থেকে তারা স্ট্র্যাসেনের মতো একই সাব-ম্যাট্রিক্স পদ্ধতির ব্যবহার করে তবে আমি নিশ্চিত নই। আমি কেবল স্ট্র্যাসেনের বিশেষত কিছু অতিরিক্ত তথ্য যুক্ত করছি।

— রিচার্ড চেম্বারস

আপনার প্রশ্ন থেকে কিছু অনুপস্থিত মনে হচ্ছে। আমি সহজেই একটি অ্যালগরিদম দিতে পারি যা কমপক্ষে কয়েকটি ম্যাট্রিককে 0 গুণ দ্বারা গুন করতে পারে। সম্ভবত একটি বাধা রয়েছে যা আপনি উল্লেখ করছেন না।

— জার্গ ডব্লু মিট্টাগ

Answer 1

এটি উইনোগ্রেডের একটি শাস্ত্রীয় ফলাফল: 2x2 ম্যাট্রিকের গুণিতকালে ।

$n\times n$$O(n^\alpha)$$\langle n,n,n \rangle$$n\times n$$O(n^\alpha)$$O(n^{\log_27})$$R(\langle 2,2,2 \rangle) \leq 7$

$R(\langle 2,2,2 \rangle)=7$$\langle 2,2,2 \rangle$

Answer 2

আপনি ফলাফলটি এখানে পেতে পারেন:

এস। উইনোগ্রাড, 2 × 2 ম্যাট্রিকের লিনিয়ার বীজগণিত এবং অ্যাপ্লিকেশন এর গুণমান । 4 (1971), 381–388, এমআর 29297115 (45: 6173)।