একটি সাবসেটের যোগফলের জটিলতা

সাবসেটের যোগ সমস্যার এই রূপটি কি সহজ / জ্ঞাত?

একটি পূর্ণসংখ্যা দেওয়া $m$ , এবং ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট $A = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$ যেমন প্রতিটি $x_i$ সর্বাধিক আছে $k=2$ বিট সেট করা $1$ ( $x_i = 2^{b_{i_1}}+2^{b_{i_2}},\;\; b_{i_1},b_{i_2}\geq 0$ ); একটি উপসেট আছে $A' \subseteq A$ এর উপাদানগুলির যোগফল সমান $m$ ?

এটার মধ্যে $\sf{P}$ ? এটা কি এখনও আছে? $\sf{NP}$ -complete?

এবং যদি প্রতিটি $x_i$ সর্বাধিক আছে $k=3$ বিট সেট করা $1$ ? জন্য $k=1$ সমস্যা তুচ্ছ।

complexity-theory reference-request decision-problem

— মাস
সূত্র

এটা এখনও $\sf{NP}$ অসম্পূর্ণ, এমনকি জন্য $k=2$ । সাবসেটের যোগফলের উদাহরণ দেওয়া, আমরা সংখ্যাগুলি বিভক্ত করে এবং কিছু অতিরিক্ত বিট যোগ করে এই রূপটিতে রূপান্তর করতে পারি।

প্রথমত, সমস্যায় সমস্ত সংখ্যার যোগফল কম হবে $2^m$ কিছু মূল্য জন্য $m$ ।

এখন, একটি নম্বর নেওয়া যাক $n$ মূল সমস্যা যা আছে $k$ বিট সেট। আমরা এই সংখ্যাটি বিভক্ত করব $k$ ঠিক 2 বিট সহ সংখ্যাগুলি এমন সেট করে যা সেই সংখ্যার যোগফল $n+2^{k+m}$ । আমরা এটি পুনরুক্তি করে অনুসন্ধান করে করতে পারি do $\lceil{k}\rceil$ প্রথম পর্যন্ত যোগফলগুলি $\lceil{k}\rceil$ বিট প্লাস $2^{k+m-1}$ এবং $\lfloor{k}\rfloor$ শেষ পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল $\lfloor{k}\rfloor$ বিট প্লাস $2^{k+m-1}$ ।

এই সংখ্যাটি ছাড়াও আমরা সংখ্যাটি যুক্ত করব $2^{k+m}$ সমস্যা একটি সমাধানে অবশ্যই এই সংখ্যাটি বা সমস্তটি থাকা উচিত $k$ পূর্বে নির্মিত সংখ্যা। যদি মূল টার্গেট মান ছিল $t$ নতুন লক্ষ্য মান হবে $t+2^{k+m}$ ।

যদি মূল সমস্যাটির একাধিক নম্বর থাকে তবে আমরা এই প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করতে পারি $k+m+1$ নতুন মান জন্য $m$ ।

বিট পজিশনে কেবল দুটি উপায় রয়েছে $k+m$ সেট করা যেতে পারে: উত্তরে নম্বর থাকতে পারে $2^{k+m}$ বা সমস্ত $k$ সংখ্যার উপরে $n+2^{k+m}$ । সুতরাং আমরা আপনার সাবসেটের যোগফলের সাবসেটের যোগফল হ্রাস করেছি।

উদাহরণ হিসাবে, নেওয়া যাক ${\{2,3,5\}}$ লক্ষ্য মান সহ $7$ । নিম্নলিখিত বাইনারি সংখ্যা গ্রহণ করে এখানে উপসেট যোগফলের বৈকল্পিক হিসাবে এই সমস্যাটি এনকোড করা যেতে পারে:

2 ম্যাপ করা হয় $0100\ 1$ এবং $0000\ 1$ । (অতিরিক্ত বিট ব্যবহার এখানে কঠোরভাবে প্রয়োজন হয় না))

3 ম্যাপ করা হয় $1000\ 00\ 1, 0100\ 00\ 1$ এবং $0000\ 00\ 01$

5 এ ম্যাপ করা যায় $1000\ 00\ 000\ 1, 0010\ 00\ 000\ 1$ এবং $0000\ 00\ 000\ 01$ ।

নতুন লক্ষ্য মান হয়ে যাবে $1110\ 10\ 010\ 01$ ।

যদি মূল সমস্যাটি প্রতিনিধিত্ব করা হয় $n$ বিটস, তারপরে রূপান্তরিত সমস্যাটি সর্বাধিক রয়েছে $O(n^4)$ বিট। মূল সমস্যাটি সর্বাধিক থাকবে $O(n)$ সর্বাধিক সহ প্রতিটি সংখ্যা $O(n)$ বিটস, সুতরাং তাদের সকলের যোগফল ও (এন)। পরিবর্তিত সমস্যা হবে $O(n^2)$ সংখ্যা (প্রতিটি থেকে $n$ বিট নম্বর বিভক্ত হয় $n+1$ $2$ বিট সংখ্যা, যার দৈর্ঘ্য সর্বাধিক রয়েছে $O(n^2)$ যেহেতু আমরা ব্যবহার করি $n$ প্রতিটি সংখ্যার জন্য অতিরিক্ত বিট সুতরাং রূপান্তরিত সমস্যার মোট আকার size $O(n^4)$ বিট।

— টম ভ্যান ডার জ্যান্ডেন
সূত্র

আপনি কি নিশ্চিত যে এনকোডিংটি ওয়ার্কিং টেপের ক্ষতিকারক আকারের দিকে না যায়?

— ভোর

না, আমি মনে করি রূপান্তরিত সমস্যাটি আকারে কোয়ার্টিক। যদি ইনপুটটিতে n বিট থাকে তবে এন বিট সেট সহ প্রতিটি সর্বাধিক n সংখ্যা রয়েছে। সুতরাং রূপান্তরিত সমস্যায় ও (এন ^ 2) নম্বর থাকবে (যেহেতু একটি কে-বিট সংখ্যা কে + 1 সংখ্যায় বিভক্ত)। প্রতিটি সংখ্যাটি মূল সমস্যায় থাকা প্রতিটি এন সংখ্যাগুলির জন্য সর্বাধিক যোগ প্লাস n বিটগুলি সমন্বিত করতে দীর্ঘ বিট (2 এন) হয় is সুতরাং প্রতিটি সংখ্যায় মোট ও (এন ^ 4) বিটের জন্য ও (2 এন + এন ^ 2) বিট থাকবে।

— টম ভ্যান ডার জ্যান্ডেন

@ টমভাডারজ্যান্ডেন: প্রশ্নটিতে আপনার হ্রাসের একটি ছবি আমি যুক্ত করেছি; দেখুন আমি এটির সঠিক ব্যাখ্যা করেছি কিনা

— ভোর

@ টমভাডারজান্দেন: আজ আমি আবার আপনার হ্রাসের দিকে লক্ষ্য করছি, তবে এটি নির্বিচারে সংখ্যায় থেকে কীভাবে স্পষ্ট তা স্পষ্ট নয়

n

$n$ সঙ্গে

k

$k$ বিটস সেট আপনি এটিকে বিভক্ত করতে পারেন

k

$k$ 2-বিট সংখ্যা যেখানে "সর্বোচ্চ" অংশটি যোগ হয়

2^{k}

$2^k$ । মনে করুন আপনার একটি নম্বর আছে

n

$n$ সঙ্গে

k = 13

$k=13$ বিট সেট; আপনার জন্য 13 2-বিট সংখ্যা প্রয়োজন, তবে 13 টি 1101 এবং আপনি এটি দুটি বিট সংখ্যা দিয়ে "কভার" করতে পারবেন না (উদাহরণস্বরূপ 3 এবং 5 কে = 2 এর জন্য কাজ করে)। আমি মনে করি যে আপনি যদি প্রতিটিটির জন্য আলাদা আলাদা বিট ব্যবহার করেন তবে এটি সহজেই ঠিক করা যেতে পারে

k

$k$ 2-বিট সংখ্যা; তাদের যোগফল 01111 ... 1 হবে, তারপরে আপনি একটি ডামি 0000 ... 1 যুক্ত করুন যা যোগফলটি হতে দেবে

2^{k}

$2^k$ ।

— ভোর

এটি কিছুটা অস্পষ্ট, তবে একটি "প্ররোচক" পদ্ধতি ব্যবহার করে এটি অবশ্যই সম্ভব। আপনার আসলে দরকার নেই

k

$k$ বিটস, আপনার কেবল দরকার

c e i l (\log k)

$ceil(\log k)$ । আপনি যদি 13 টি 1-বিট নম্বর পেতে চান তবে যোগ করতে পারেন

2^{4}

$2^4$ , তারপরে আপনাকে 6 টি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যেগুলি যোগফল

2^{3}

$2^3$ এবং that এটিও যোগফল

2^{3}

$2^3$ । আমরা নিতে পারি

10 * 2^{0} + 3 * 2^{1}

$10*2^0+3*2^1$ যা প্রকৃতপক্ষে যোগফল

2^{4}

$2^4$ ।

— টম ভ্যান ডার জ্যান্ডেন

এটি ভোরের প্রশ্ন থেকে প্রাপ্ত তথ্য।

জন্য $k \geq 3$ সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ থেকে যায়। আমি মনোোটোন এক্স-স্যাট থেকে দ্রুত হ্রাস পেয়েছি ( এখানে হ্রাসের স্কিমা দেখুন )।

এমনকি সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ থেকে যায় $k = 2$ , বিশদ জন্য টম এর উত্তর দেখুন। সাবসেট এসএমএম থেকে তাঁর হ্রাসের একটি ছোট উপস্থাপনা এখানে:

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

— Juho
সূত্র