নির্দিষ্ট গ্রাফগুলিতে চক্রের সমস্যা

আমরা জানি, -clique ফাংশন একটি (নেয় spanning ) subgraph সম্পূর্ণ এর -vertex গ্রাফ , এবং আউটপুট iff একটি রয়েছে -clique । এই ক্ষেত্রে প্রান্তের সাথে । এটি (রাজবরোভ, অ্যালন-বোপ্পানা) জানা গেছে যে q লেক জন্য এই ফাংশনটির জন্য প্রায় আকারের একরঙা সার্কিট প্রয়োজন । $k$ $CLIQUE(n,k)$ $G\subseteq K_n$ $n$ $K_n$ $1$ $G$ $k$ $K_n$ $3\leq k\leq n/2$ $n^k$

কিন্তু কি যদি আমরা নিতে এক নির্দিষ্ট গ্রাফ , এবং একঘেয়েমি বুলিয়ান ফাংশন বিবেচনা , যা লাগে একটি উপসেট ছেদচিহ্ন, এবং আউটপুট কিছু iff মধ্যে ছেদচিহ্ন ফর্ম একটি মধ্যে চক্র । এই ক্ষেত্রে ভেরিয়েবলগুলি উল্লম্বের সাথে এবং ফাংশনটি কেবল স্ট্যান্ডার্ড ফাংশন তবে এটি একটি নির্দিষ্ট গ্রাফ বিস্তৃত সাবগ্রাফগুলিতে সীমাবদ্ধ । $G\subseteq K_n$ $CLIQUE(G,k)$ $S\subseteq [n]$ $1$ $k$ $S$ $G$ $K_n$ $G$

1. নেই বিদ্যমান -vertex গ্রাফ , যার জন্য চেয়ে বড় আকারের একঘেয়েমি সার্কিট প্রয়োজন ? আমি মনে করি না. $n$ $G$ $CLIQUE(G,k)$ $n^{O(\log n)}$

2. হল গ্রাফ কিছু ক্রম জন্য একটি দ্বারা NP-কঠিন সমস্যা ? আমি মনে করি না. $CLIQUE(G_n,k)$ $(G_n\colon n=1,2\ldots)$

মনে রাখবেন যদি সব সর্বাধিক চক্রের রয়েছে , তারপর একটি হিসাবে অথবা এর নির্ণিত করা যেতে পারে threshold- ফাংশন, -th যার পরীক্ষার কিনা । সুতরাং, যদি তবে পুরো সার্কিটটি বহুতল আকারের। তবে সর্বাধিক চক্রের ঘনিষ্ঠ সংখ্যা সহ গ্রাফগুলি সম্পর্কে কী বলা যায়? (একটি চক্রটি সর্বাধিক এটি কোনও ভার্টেক্স যুক্ত করা যায় না)) $C_1,\ldots,C_r$ $G$ $CLIQUE(G,k)$ $r$ $k$ $i$ $|S_a\cap C_i|\geq k$ $r=poly(n)$

এটা সম্ভব "এম্বেড করা" মধ্যে একটি নির্দিষ্ট গ্রাফের জন্য উপর ছেদচিহ্ন। বিশেষ করে, Bollobas এবং Thomason (1981) দেখানো হয়েছে যে, যদি একটি Hadamard গ্রাফ যার ছেদচিহ্ন এর সাব-সেট নির্বাচন হয় এবং দুটি ছেদচিহ্ন এবং সংলগ্ন iff হয়এমনকি তারপর যে গ্রাফ একজন isomorphic কপি রয়েছে উপর ছেদচিহ্ন। এই বাস্তবতাকে কি জন্য রেজবোরোভের নীচের আবদ্ধ (প্রায় ) এর সাথে একত্রিত করা যেতে পারে? $CLIQUE(m,k)$ $CLIQUE(H,k)$ $H$ $n=2^m$ $H$ $[m]$ $u$ $v$ $|u\cap v|$ $H$ $G$ $m$ $m^k$ $CLIQUE(m,k)$ $CLIQUE(H,k)$ জন্য সম্পর্কে আকারের সার্কিটের প্রয়োজন ? কোনো সম্ভাব্য সমস্যার উপস্থিতির এখানে যে, যদিও গ্রাফ "রয়েছে" সব -vertex গ্রাফ, এই গ্রাফ হয় না উপর একই ছেদচিহ্ন এর সেট। এবং রাজবোরভের যুক্তিটি প্রমাণ করে যে ইতিবাচক এবং নেতিবাচক ইনপুটগুলি ( ক্লিক এবং সম্পূর্ণ -পার্টিটাইট গ্রাফ) সমাপ্তিগুলির একই সেটের গ্রাফ হয় । তদুপরি, সমস্ত ধনাত্মক ইনপুট ( ক্লিক) কেবল একটি এবং একই স্থির ক্লিকের আইসমোরফিক কপি। $m^k$ $H$ $m$ $k$ $(k-1)$ $k$ $k$

৩. কোন ধারণা? কেউ কি এই ধরণের সমস্যা বিবেচনা করে দেখেছেন? আমি বলতে চাইছি একটি নির্দিষ্ট গ্রাফের সাবগ্রাফের জন্য সিদ্ধান্তের সমস্যা । অথবা, বলুন, একটি নির্দিষ্ট (সন্তুষ্ট) সিএনএফ (কিছু আক্ষরিক অপসারণ দ্বারা প্রাপ্ত) এর উপ-সিএনএফগুলির জন্য স্যাট সমস্যা ?

অনুপ্রেরণা: এই ধরণের সমস্যাগুলি মিশ্রিত অপটিমাইজেশন অ্যালগরিদমের জটিলতার সাথে সম্পর্কিত। তবে সেগুলি তাদের কাছে আকর্ষণীয় বলে মনে হচ্ছে। কেন আমাদের সমস্ত গ্রাফগুলিতে দক্ষ আলগোরিদিমগুলির সন্ধান করা উচিত ? বাস্তবে, আমরা সাধারণত এক (বৃহত) গ্রাফের ছোট ছোট টুকরো (কোনও দেশের রাস্তাগুলি, বা ফেসবুক, বা এর মতো) এর বৈশিষ্ট্যগুলিতে আগ্রহী।

মন্তব্য 1: যদি গ্রাফ হয় দ্বিপাক্ষিক , অসাম্য তত্কালীন প্রান্তবিন্দু-প্রান্ত ঘটনা ম্যাট্রিক্স সকলের জন্য সম্পূর্ণভাবে unimodular হয় , এবং কেউ লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ের মাধ্যমে অনুচ্ছেদে চক্রের সমস্যার সমাধান করতে পারে । সুতরাং, দ্বিপক্ষীয় গ্রাফের জন্য , এর একটি ছোট (নন- হলেও) সার্কিট রয়েছে। $G=(L\cup R,E)$ $x_u+x_v\leq 1$ $(u,v)\not\in E$ $G$ $G$ $CLIQUE(G,k)$

মন্তব্য 2: একটি ইঙ্গিত, দ্বিপক্ষীয় গ্রাফের ক্ষেত্রে , প্রশ্ন 1 "এর উত্তরটি অবশ্যই" না "হওয়া উচিত, তখন সম্পর্কে নিম্নলিখিত একঘেয়ে কার্মার-উইগডারসন গেমটির কেবলমাত্র যোগাযোগের বিট প্রয়োজন। যাক একটি সম্পূর্ণ দ্বিপাক্ষিক subgraph মধ্যে ছেদচিহ্ন বৃহত্তম সংখ্যা হতে । অ্যালিস লাল নোডের সেট পেয়েছে , বব একটি নীল নোডের একটি সেট পেয়েছে যে । লক্ষ্যটি হ'ল এবং মধ্যে একটি অ-প্রান্ত খুঁজে পাওয়া । $G$ $G$ $O(\log n)$ $k$ $G$ $A$ $B$ $|A|+|B|>k$ $A$ $B$

cc.complexity-theory optimization circuit-complexity

— Stasys
সূত্র

আরও চিন্তাভাবনা (1) দেখে মনে হচ্ছে আপনি বুলিয়ান ভেরিয়েবলের 0/1 মানের উপর ভিত্তি করে স্থির গ্রাফের প্রান্ত এবং "ফিল্টার" প্রান্ত হিসাবে একই # ভেরিয়েবলের একটি "ফিল্টার" ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে একই রকম ফলাফল পেতে পারেন ... ।? প্ররোচিত গ্রাফ নির্মাণের কারণে এটি বিশ্লেষণ কিছুটা হ্রাস করতে পারে যা প্রান্ত থেকে শীর্ষে প্রবেশ করে। (২) আপনার প্রশ্নে একটি মূল সরল প্রশ্ন এম্বেড করা হয়েছে যা একা একাই সার্থকভাবে সম্বোধনযোগ্য। ঘৃণ্য সর্বাধিক চক্র সহ কিছু গ্রাফ কি? হাদামারদ উদাহরণটি যথেষ্ট নয় কারণ এটি এত বড়।

— vzn

অস্পষ্টভাবে অনুরূপ কিছু সন্ধান করা হয়েছিল এবং এই আকর্ষণীয় অনুষঙ্গ জুড়ে ছুটে এসেছিল: "গ্রাফের একটি লোভী চক্রটি গ্রাফটি খালি না হওয়া অবধি একের পর এক গ্রাফ থেকে সর্বাধিক চক্রগুলি সরিয়ে নেওয়া হয় We আমরা সম্প্রতি দেখিয়েছি যে কোনও লোভী চক্রের পচন ধরে of অর্ডার এর গ্রাফের সর্বনিম্ন 2/4 টি ক্লাক থাকে "" --mcguinness

n

$n$

n^{2} / 4

$n^2/4$

— vzn

@ ভিজেএন: আপনার শেষ প্রশ্নে। একটি সাধারণ নির্মাণ রয়েছে (কার কথা মনে নেই)। "অ্যান্টি-ট্রাইঞ্জস" (তিনটি ত্রিভুজগুলির মধ্যে তিনটি ত্রিভুজ) বর্গক্ষেত্র বিচ্ছিন্ন করার জন্য অনুলিপি নিন এবং দুটি অ্যান্টি-ট্রিংজলের সমস্ত উল্লম্বের মাঝে প্রান্ত স্থাপন করুন। সর্বাধিক চক্রের সংখ্যাটি তখন এবং এটি সর্বোত্তম হয় (আর সম্ভব হয় না)।

n / 3

$n/3$

2^{n / 3}

$2^{n/3}$

— স্ট্যাসিস

@vzn: ম্যাকগুইনেস ফলাফলের উপর। যেমনটি আমি বুঝতে পেরেছি, তিনি সমস্ত প্রান্তটি সংক্ষিপ্ত সংখ্যক প্রান্ত-বিচ্ছিন্ন সর্বাধিক (আকার) চক্রগুলিতে বিভক্ত করেছেন। কিন্তু এটা ঘটতে পারে যে সর্বোচ্চ চক্র প্ররোচক subgraph তাদের কাউকে থাকা হয় না। তবুও, ফলাফলটি "সঠিক দিকে" রয়েছে বলে মনে হচ্ছে।

— স্ট্যাসিস

মন্তব্য 2 সম্পর্কে : আপনি যখন একটি দ্বিপক্ষীয় একটি চক্র খুঁজছেন বলছেন, আপনি একটি সম্পূর্ণ দ্বিদলীয় মানে?

— ম্যাসিমোলাউরিয়া

আমরা সমস্যার উপর কিছু গবেষণা করেনি প্রতিপাদন গাছের মত রেজোলিউশন একটি নির্দিষ্ট গ্রাফ কিনা আকারের একটি উপদল রয়েছে (যেখানে সাধারণত ছোট)। বিশেষত আমরা আবিষ্কার করেছি যে বৃহত শ্রেণীর গ্রাফের জন্য আকার এর খণ্ডন প্রয়োজন। $G$ $k$ $k$ $n^{\Omega(k)}$

আপনি এই লিঙ্কটিতে ডিপিএলএল অনুসন্ধান পদ্ধতিগুলির প্যারামিটারাইজড জটিলতাটি খুঁজে পেতে পারেন ।

— MassimoLauria
সূত্র

খুব সুন্দর ফলাফল! আসলে, আমার প্রশ্ন উত্থাপিত হয়েছিল যখন গাছের মতো কাটার প্লেন (সিপি) সমস্যার (চক্র) সমস্যার জন্য খণ্ডন হিসাবে একই ফলাফল দেখানোর চেষ্টা করার সময় question গাছের মতো উদ্দীপনার জন্য আমাদের কাছে দুটি (কেবল?) সরঞ্জাম রয়েছে: (1) যোগাযোগ জটিলতার যুক্তি এবং (2) পুদলক এবং ইমপাগালিয়াজ্জার প্লেয়ার-ডিলেয়ার গেমস। মন্তব্য 2 ইঙ্গিত দেয় যে (1) (সম্ভবত) চক্র সমস্যার জন্য ব্যর্থ হবে। সিপি প্রুফের ক্ষেত্রে (2) এর কিছু উপমা রয়েছে কি?

— স্টেসিস

আমি বিশ্বাস করি এই কাগজটি আপনার প্রশ্নের উত্তর দিতে পারে: http://arxiv.org/abs/1204.6484

কাগজটি এনপি হার্ড 3 এস্যাট সমস্যাগুলির পরিবারগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে, যেমন সূত্রের কাঠামোটি প্রতিটি এন এর জন্য স্থির করা হয় এবং ইনপুটটি সূত্রের মেরুতা।

3 এসএটি থেকে ক্লিক্যুতে স্ট্যান্ডার্ড হ্রাস ব্যবহার করে (প্রতিটি 3 সিএনএফ ক্লজটি 8 টি সম্ভাব্য অ্যাসাইনমেন্ট (বা 7 সন্তোষজনক অ্যাসাইনমেন্ট) এর একটি সেটকে সংঘাতযুক্ত অ্যাসাইনমেন্টের মধ্যে প্রান্ত দিয়ে সংজ্ঞায়িত করে), সেখানে একটি গ্রাফ রয়েছে যা প্রতিটি অনুচ্ছেদের জন্য একটি ভার্টেক্স অপসারণের পরে, এটি হয় সর্বাধিক চক্রটি খুঁজে পাওয়া শক্তিশালী এনপি (বা এমনকি এর আকারের প্রায় কাছাকাছি, গ্রাফ পণ্যগুলি বা ড্যারানডমাইজড গ্রাফ পণ্য ব্যবহার করে)

— user15669
সূত্র

পুনরায় কিউ 3, স্যাট সমস্যার "ব্যাকবোন" এবং সম্ভাব্য "ব্যাকডোর" নিয়ে কিছু অভিজ্ঞতা কাজ রয়েছে। ব্যাকবোন হ'ল আক্ষরিকের সেট যা প্রতিটি সন্তোষজনক কার্যক্রমে সত্য। একটি স্যাট সমস্যার পিছনে থাকা একটি (আশাবাদী ছোট) ভেরিয়েবলগুলির সেট যা সমস্যা সমাধানে "শর্ট কাট" সরবরাহ করে। এই দুটি কাঠামো সম্ভবত "সাব-সিএনএফ" বা কিছু ভেরিয়েবল অপসারণ করা সিএনএফ হিসাবে আপনি কী উল্লেখ করেছেন তা বোঝার জন্য সহায়ক হবে। তবে ডিপি, ডেভিস পুতনাম অ্যালগরিদমকে সমাধান করার জন্য সিএনএফের অনেকগুলি "সাব-সিএনএফ" রীতিগতভাবে অন্বেষণ করতে দেখা যায়।

[1] ব্যাকবোনস এবং ব্যাকডোরস কিলবি এট আল দ্বারা সন্তুষ্টিযোগ্যতার

— vzn
সূত্র

S

$S$

S

$S$