পিকমেট্রাইজড জটিলতা গণনা বিকলিক্স

Question

পূর্ববর্তী একটি প্রশ্নে বিকলিকস সন্ধানের জন্য প্যারামিট্রাইজড অ্যালগরিদম , আমি অনুসন্ধান করেছিলাম যে কোনও সন্ধানের জন্য দ্রুত প্যারামিটারাইজড অ্যালগরিদম রয়েছে কিনা?$k\times k$-বিক্লিক ইন এ $n$ ভার্টেক্স গ্রাফ এবং শিখেছে যে এটি এফপিটি আর্ট হিসাবে প্রকাশিত ছিল open $k$। একই সত্য বেড়ে চলেছে$k\times k$-বিক্লিক, বা এটি #$W\[1\]$-প্রকার কব্জি $k$ (বা কঠোরতার অন্য কিছু ধারণা)?

আমি জানি যে গণনা প্ররোচিত $k\times k$-বিক্লিকগুলি হল #$W\[1\]$-হার্ড, সার্জ গ্যাস্পার্স থিসিসের ৪.৪ ধারায় প্ররোচিত বাইকলিক সন্ধানের জন্য সাধারণ হ্রাস প্রসারিত করুন ।

Answer 1

এটি #W [1] হওয়া উচিত - একটি স্ট্যান্ডার্ড ইন্টারপোলেশন আর্গুমেন্টের দ্বারা hard এখানে মোটামুটি স্কেচ দেওয়া হল।

প্রথমে, বিকিক সমস্যাটির বহুবিধ সংস্করণটি বিবেচনা করুন: এমন একটি গ্রাফ দেওয়া হয়েছে যার শীর্ষে শ্রেণি বিভক্ত হয়েছে $X_1,\dots, X_{2k}$, প্রতিটি সেট থেকে হুবহু একটি ভার্টেক্স সমন্বিত একটি বিকিক খুঁজে পান। বিকলিকের বিপরীতে, যার এফপিটি স্ট্যাটাসটি উন্মুক্ত, এই বহুবিধ সংস্করণটি ডাব্লু [1] - হিসাবে পরিচিত: চক্র থেকে সহজেই হ্রাস পাওয়া যায়। আমি বিশ্বাস করি এটিও #W [1] -রকম হওয়া উচিত।

একটি গ্রাফ দেওয়া হয়েছে $G$ এবং উপরের মত পার্টিশন, আসুন একটি নতুন গ্রাফ পেতে $G'$ এর প্রতিটি ভার্টেক্স প্রতিস্থাপন করে $X_i$ আকারের একটি স্বাধীন সেট সহ with $x_i$ (এবং প্রতিটি প্রান্তের মাঝে প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে $X_i$ এবং $X_j$ একটি দ্বারা $x_i\times x_j$biclique)। এখন সংখ্যা$k\times k$ bicliques in $G'$ এর একটি ফাংশন $2k$ ভেরিয়েবল $x_1,\dots,x_{2k}$। প্রকৃতপক্ষে, কেউ দেখতে পাবে যে এই ফাংশনটি সর্বাধিক ডিগ্রির বহুবচন$2k$ এবং পদটির সহগ $x_1\cdot\dots\cdot x_{2k}$ হুবহু বহু-বর্ণযুক্ত বিকিকের সংখ্যা $G$। সুতরাং ভেরিয়েবলের মধ্যে পর্যাপ্ত পরিমাণে মানগুলির সংস্থান স্থাপন করে$x_i$ এবং বাইক্লিকের সংখ্যা গণনা করা হচ্ছে $G'$, আমরা এর বহুগুণকে আন্তঃবিভাজন দ্বারা এর সহগগুলি পুনরুদ্ধার করার জন্য পর্যাপ্ত পরিমাণে মূল্যায়ন করতে পারি।

Comments

আপনাকে ড্যানিয়েল ধন্যবাদ, এটি সঠিক ধারণা দেয়! আমি কেবল সন্ধান পেয়েছি যে মার্ক থারলি এটি প্রমাণ করেছেন # এ [১] -হাতে ক্রম.কম

— আন্দ্রেয়াস

এবং পার্সিমোনিয়াস হ্রাস থেকে $k$- বহুবিধ রঙে ক্লিক করুন $k\times k$-biclique মধ্যে পরিশিষ্ট B হয় pages.cs.wisc.edu/~holger/papers/dm12soda.pdf

— আন্দ্রিয়াস Björklund