বিমানে ত্রিভুজ শিখছি

Question

আমি আমার শিক্ষার্থীদের , লেবেলযুক্ত পয়েন্টের সংকলনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ ত্রিভুজ খুঁজে পাওয়ার সমস্যাটি নির্ধারণ করেছি । (একটি ত্রিভুজ হল সামঞ্জস্যপূর্ণ লেবেল নমুনা সঙ্গে যদি ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক পয়েন্ট কেউই সব উপস্থিত রয়েছে; ধৃষ্টতা দ্বারা, নমুনা স্বীকার অন্তত 1 সামঞ্জস্যপূর্ণ ত্রিভুজ)।আর 2 ± 1 টি $m$$\mathbb{R}^2$$\pm1$$T$$T$

তারা (বা আমি) সবচেয়ে ভাল করতে পারে এটি একটি অ্যালগরিদম যা সময় , যেখানে নমুনা আকার। কেউ কি আরও ভাল করতে পারে?$O(m^6)$$m$

Comments

কেবল পরিষ্কার করার জন্য: ত্রিভুজটির শীর্ষকোষগুলি সংগ্রহের পয়েন্ট হওয়ার দরকার নেই, তাই না? এবং সীমানায় নেতিবাচক পয়েন্ট থাকা গ্রহণযোগ্য?

— ex0du5

(1) আমি সমস্যাটি ভুল বুঝেছি বলেই আমি প্রশ্নটি বন্ধ করার পক্ষে ভোট দিয়েছিলাম। সিস্টেম আমাকে আমার ভোট বাতিল করতে দেয় না, তবে আমি কার্যত এটি বাতিল করতে পারি। (২) আমি মনে করি যে একটি ও (এম লগ এম) -সময়ের অ্যালগরিদম রয়েছে তবে এখনই এটি যাচাই করার সময় নেই। ধারণাটি হ'ল ধনাত্মক উদাহরণগুলির উত্তল হলের গণনা করা এবং পছন্দসই ত্রিভুজ গঠনকারী তিনটি লাইন খুঁজে পাওয়ার জন্য এই উত্তল হলের চারপাশে ঝাঁপুনি।

— সোসোশি ইটো

@ ex0du5 - প্রকৃতপক্ষে, ত্রিভুজটির শীর্ষাংশের নমুনা পয়েন্ট থাকা উচিত নয়। সীমানা সংক্রান্ত সমস্যাগুলির জন্য, এগুলি এখানে অযৌক্তিক হওয়ায় এড়ানো যায়। [যদি সীমানাটি ত্রিভুজের অংশ হিসাবে গণনা করা হয়, তবে সীমানায় আপনার নেতিবাচক পয়েন্ট থাকবে না]]

— আর্যহ

@ শুয়োশিআইটো: আমিও একইভাবে ভাবছিলাম, তবে এমন কিছু ক্ষেত্রে রয়েছে যেখানে আপনার ত্রিভুজ প্রান্তটি উত্তল হলের প্রান্তের সাথে সমভূমি হতে পারে না, তবে ত্রিভুজটি এখনও বিদ্যমান। ত্রিভুজটিতে স্পষ্টতই উত্তল হাল রয়েছে, তবে এটি কেবল হলের রেখা প্রসারিত করে ত্রিভুজটি সন্ধান করে না। নেতিবাচক পয়েন্টগুলি এড়াতে আপনার কিছু লাইন ঘোরানো হতে পারে। এই কারণেই আমি সীমানায় নেতিবাচকতা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেছি, একটি অনুসন্ধান অ্যালগরিদমকে হলের প্রান্ত থেকে negativeণাত্মক পর্যন্ত রেখা বেছে নেওয়ার জন্য এটি একটি পৃথক অনুসন্ধান রাখতে অনুমতি দেওয়ার জন্য।

— ex0du5

@ ex0du5: ঠিক আছে, আমি ধরে নিইনি যে ত্রিভুজটির প্রান্তগুলি ইতিবাচক উদাহরণগুলির উত্তল হলের কয়েকটি প্রান্তের সমান্তরাল।

— সোসোশি ইটো

Answer 1

@ স্যুয়োশিআইটো অনুসারে, এডেলস ব্রুনার এবং প্রেপারটার কারণে এই সমস্যার জন্য একটি -কালীন অ্যালগরিদম রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, তাদের অ্যালগোরিদমটি ন্যূনতম সম্ভাব্য সংখ্যার প্রান্তের সাথে একটি উত্তল বহুভুজ খুঁজে বের করে যা দুটি পয়েন্ট সেটকে পৃথক করে। বীজগণিত সংক্রান্ত সিদ্ধান্ত গাছের মডেলটিতে আরও সাধারণ সমস্যার জন্য তারা একটি নীচু বাঁধাই প্রমাণ করে ; যাইহোক, এটি পরিষ্কার নয় যে এই নিম্ন সীমাটি ত্রিভুজ ক্ষেত্রে প্রযোজ্য কিনা।Ω ( ঢ লগ ইন করুন এন $O(n\log n)$$\Omega(n\log n)$

অ্যালগরিদমের সম্পূর্ণ বিবরণ এখানে পোস্ট করা খুব দীর্ঘ, তবে এখানে মূল ধারণাটি। যাক ইতিবাচক পয়েন্ট উত্তল জাহাজের কাঠাম হও। প্রতিটি নেতিবাচক পয়েন্টের জন্য মাধ্যমে লাইন বিবেচনা যে স্পর্শক হয় । এই রেখাগুলি বিমানটিকে চারটি ভাগে ভাগ করেছে, যার একটিতে রয়েছে ; দিন কীলক হতে বিপরীত এক যে রয়েছে । অবশেষে, ("নিষিদ্ধ অঞ্চল") সমস্ত বিবাহের এর মিলন হতে দিন । কোন পৃথক ত্রিভুজ আলাদা নয় থেকে । এবং উভয়ইq q C C W ( q ) C $C$$q$$q$$C$$C$$W(q)$$C$$F$C F C F O ( n লগ এন $W(q)$$C$$F$$C$$F$নির্মাণ করা যেতে পারে সময়।$O(n\log n)$

এর প্রান্তটি পর্যায়ক্রমে ঘড়ির কাঁটার দিকে এবং ঘড়ির কাঁটার দিকে লেবেল করুন । এডেলস ব্রুনার এবং প্রেপাটার আরও প্রমাণ করে যে বিভাজক ত্রিভুজ যদি বিদ্যমান থাকে তবে একটি পৃথক ত্রিভুজ রয়েছে যার প্রান্তগুলি ঘড়ির কাঁটার প্রান্তের সাথে প্রান্তরেখাযুক্ত । ইন অতিরিক্ত সময়, আমরা (অগত্যা ঘড়ির কাঁটার দিকে) প্রান্ত জানতে পারেন থেকে প্রতিটি ঘড়ির কাঁটার দিকে প্রান্ত একটি রশ্মি প্রথম হিট ; এই প্রান্তটিকে এর "উত্তরসূরি" বলুন । উত্তরসূরিটি ঘড়ির কাঁটার প্রান্তকে চক্রের দিকে বিভক্ত করে; যদি পৃথক পৃথক ত্রিভুজ থাকে তবে এই উত্তরসূরি চক্রগুলির একটির দৈর্ঘ্য 3 (এবং কারও দৈর্ঘ্য 4 এর বেশি নয়)।F O ( n ) F e $F$$F$$O(n)$$F$$e$$e$

আরও তথ্যের জন্য মূল কাগজ দেখুন:

• হারবার্ট এডেলসবারুনার এবং ফ্রাঙ্কো পি। প্রেপাটারা। ন্যূনতম বহুভুজ বিচ্ছেদ । তথ্য এবং গণনা 77 (3): 218–232, 1988।

Answer 2

আমার কাছে মনে হচ্ছে যে এর পক্ষের প্রার্থী হিসাবে '+1' পয়েন্টের উত্তল হালের দিকে '-1' পয়েন্টগুলি থেকে স্পর্শকাতর রেখাগুলি বিবেচনা করা যথেষ্ট (আসুন আমরা বলি যে '+1' পয়েন্টগুলি অভ্যন্তরীণ হবে) থেকে )।$T$$T$

খুব খারাপ, আমি এখানে চিত্রগুলি প্রকাশ করতে পারি না। তবে এটি চিত্র: উত্তল হলের স্পর্শকরেখা যা কিছু '-1' পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায়। হল স্পর্শকতা বিন্দু। চরম (নিচে দেখুন) উপর বিন্দু , এবং বিন্দু থেকে স্পর্শক লাইন ( tangency বিন্দু)।এ বি টি বি সি বি $t$$A$$B$$t$$BC$$B$$C$

সুতরাং, অ্যালগরিদম নিম্নলিখিত হয়। স্পর্শকাতর রেখার প্রতিটি লাইন জন্য আমরা এর উপর ভিত্তি করে একটি ত্রিভুজ তৈরির চেষ্টা করতে পারি:$t$

1. ছেদ পয়েন্ট গণনা সব অন্যান্য লাইনের;$t$
2. একটি চরম (থেকে সুদূরতম খুঁজুন ) বিন্দু এবং সংশ্লিষ্ট লাইন থেকে ডানদিকে (বা বাম) , যেমন যে psuedotriangle (= , মধ্যে উত্তল জাহাজের কাঠাম অংশ এবং ) ফেলে না' টিতে '-1' পয়েন্ট থাকে (যেমন কোনও পয়েন্ট থাকে না)।বি টি ′ এ এ বি সি এ বি বি সি এ $A$$B$$t'$$A$$ABC$$AB$$BC$$A$$C$
3. লাইন দিয়ে একই করুন এবং দেখুন আমরা ত্রিভুজটি 'বন্ধ' করতে পারি কিনা।$t'$

দেখে মনে হচ্ছে এটি কোনও চলমান সময় হবে। কিছু তথ্য স্ট্রাকচার ব্যবহার করে এটি উন্নত করা যেতে পারে?$O(m^2)$