এর আনুমানিক ডিগ্রি

সম্পাদনা (v2): আমি সমস্যা সম্পর্কে যা জানি তার শেষে একটি বিভাগ যুক্ত করা হয়েছে।

সম্পাদনা (v3): শেষে প্রান্তিক ডিগ্রি উপর আলোচনা যোগ করা হয়েছে।

প্রশ্ন

এই প্রশ্নটি মূলত একটি রেফারেন্স অনুরোধ। সমস্যা সম্পর্কে আমি বেশি কিছু জানি না। আমি জানতে চাই যে এই সমস্যার বিষয়ে পূর্ববর্তী কোনও কাজ হয়েছে কিনা এবং যদি তাই হয় তবে কেউ কি আমাকে এই সমস্যা সম্পর্কে কথা বলার কোনও কাগজপত্রের দিকে নির্দেশ করতে পারেন? আমি এর আনুমানিক ডিগ্রীতে বর্তমান সেরা সীমাগুলিও জানতে চাই । অন্য যে কোনও তথ্যেরও প্রশংসা করা হবে (উদাঃ historicalতিহাসিক তথ্য, অনুপ্রেরণা, অন্যান্য সমস্যার সাথে সম্পর্ক ইত্যাদি)। $\textrm{AC}^0$

সংজ্ঞা

আসুন বুলিয়ান ফাংশন হোক। যাক উপর ভেরিয়েবলের একটি বহুপদী হতে করার বাস্তব কোফিসিয়েন্টস সঙ্গে। বহুবর্ষের ডিগ্রি হ'ল সমস্ত মনোমালিকার চেয়ে সর্বোচ্চ ডিগ্রি। একশাস্ত্রের ডিগ্রি হ'ল সেই প্রদর্শিত বিভিন্ন যোগফল । উদাহরণস্বরূপ । $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $p$ $x_1$ $x_n$ $x_i$ $\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9$

একটি বহুভুজ কে বলা হয় -প্রপ্রোমিক যদি সমস্ত । একটি বুলিয়ান ফাংশন -approximate ডিগ্রী , যেমন প্রকাশ , একটি বহুপদী যে ন্যূনতম ডিগ্রী -approximates । ফাংশনগুলির একটি সেটের জন্য, , হ'ল ন্যূনতম ডিগ্রি যে প্রতিটি ফাংশন হতে পারে $p$ $\epsilon$ $f$ $|f(x)-p(x)|<\epsilon$ $x$ $\epsilon$ $f$ $\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)$ $\epsilon$ $f$ $F$ $\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)$ $d$ $F$ $\epsilon$ সর্বাধিক ডিগ্রী একটি বহুপদী দ্বারা -approximated $d$ ।

মনে রাখবেন যে প্রতিটি ক্রিয়াকলাপ কোনও ডিগ্রি $n$ বহুপদী দ্বারা কোনও ত্রুটি ছাড়াই প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে । কিছু ক্রিয়াকলাপের জন্য কোনও ধ্রুবক ত্রুটির আনুমানিক পরিমাণে ডিগ্রি $n$ বহুমুখী হওয়া দরকার । সমতা যেমন একটি ফাংশন উদাহরণ।

সমস্যা বিবৃতি

কি $\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$ ? (অবিচ্ছিন্ন 1/3 নির্বিচারে হয়।)

নোট

আমি পল বিমে এবং উইদাদ মাচমৌচি র এসি0 এর কোয়ান্টাম কোয়েরি জটিলতা পত্রিকায় এই সমস্যার মুখোমুখি হয়েছি । তারা বলে

এছাড়াও, আমাদের ফলাফলগুলি AC0 ফাংশনের আনুমানিক ডিগ্রিতে নিম্ন গণ্ডির ফাঁক বন্ধ করতে কিছুই করে না।

তারা তাদের স্বীকৃতিতে "AC0 এর আনুমানিক ডিগ্রীর সমস্যা" উল্লেখ করে।

সুতরাং আমি ধরে নিই যে এই সমস্যা নিয়ে এর আগে কিছু কাজ হয়েছে? কেউ কি আমাকে কোনও কাগজে ইঙ্গিত করতে পারেন যা সমস্যার কথা বলে? এবং সর্বাধিক পরিচিত উপরের এবং নিম্ন সীমাগুলি কী কী?

সমস্যা সম্পর্কে আমি কী জানি (এই বিভাগটি প্রশ্নের v2-এ যুক্ত করা হয়েছিল)

সেরা উপরের উপর আবদ্ধ পরিচিত জানা যে তুচ্ছ সর্বোচ্চ সীমা । আমার জানা সবচেয়ে নিচু বাঁধাটি অ্যারনসন এবং শি'র নীচের বাউন্ড থেকে সংঘর্ষ এবং উপাদানগুলির স্বতন্ত্রতা সমস্যার জন্য আসে যা which নীচের সীমানা দেয় । ( এর মারাত্মকভাবে সীমাবদ্ধ সংস্করণগুলির জন্য যেমন সূত্র আকারের সূত্র, বা গেটের সাথে গভীরতা -2 সার্কিটগুলির জন্য , আমরা একটি উপরের আবদ্ধ প্রমাণ করতে পারি কোয়ান্টাম ক্যোয়ারী জটিলতা ব্যবহার করে।) $\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$ $n$ $\tilde{\Omega}(n^{2/3})$ $\textrm{AC}^0$ $o(n^2)$ $o(n^2)$ $o(n)$

সম্পর্কিত: প্রান্তিক ডিগ্রি (ভি 3 এ যুক্ত)

যেহেতু মন্তব্যগুলিতে উল্লেখ করেছেন, এই সমস্যাটি এর প্রান্তিক ডিগ্রি নির্ধারণের সমস্যার সাথে সম্পর্কিত । একটি ফাংশন চৌকাঠ ডিগ্রী একটি বহুপদী ন্যূনতম ডিগ্রী যেমন যে এবং । $\textrm{AC}^0$ $f$ $p$ $f(x)=1 \implies p(x)>0$ $f(x)=0 \implies p(x)<0$

এর প্রান্তিক ডিগ্রির নিম্ন সীমানা এখন শিের্তোভ দ্বারা উন্নত করা হয়েছে। তিনি ভেরিয়েবলের উপর স্থির-গভীরতার পড়ার জন্য একবারের সূত্রগুলির একটি পরিবারকে দেখান যার প্রান্তিক ডিগ্রি কাছে পৌঁছেছে কারণ গভীরতা অনন্তের দিকে চলে যায়, যা পড়ার জন্য একবার সূত্রের চৌকাঠ রয়েছে (এবং প্রায় আনুমানিকও) ) ডিগ্রি । Http://eccc.hpi-web.de/report/2014/009/ দেখুন । (জানুয়ারী, ২০১৪) $\mathrm{AC}^0$ $n$ $\Omega(\sqrt{n})$ $O(\sqrt{n})$

— রবিন কোঠারি
সূত্র

একটি নিম্ন সীমাবদ্ধ Ω (n ^ (1/3)) এমনকি থ্রেশোল্ড ডিগ্রি (বহুপদী পি এর সর্বনিম্ন ডিগ্রি যেমন f (x) = 1 ⇒ p (x)> 0 এবং f (x) = 0 for জন্য পরিচিত যদি p (x) <0)। শিের্তোভের "দ্বৈত বহুবচন ব্যবহারের সাথে যোগাযোগের নিম্ন সীমা" এর বিভাগ ৩.১ এর শেষে দেখুন ।

— Tsuyoshi Ito

@ শুয়োশি: ধন্যবাদ AC0 এর প্রান্তিক ডিগ্রি (যা আনুমানিক ডিগ্রি সীমাবদ্ধ) এছাড়াও একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন। এসি0 এর প্রান্তিক ডিগ্রির জন্য আমি যে সর্বোত্তম নিম্ন সীমাটি জানি তা ওডনেল এবং সার্ভেদিওর বহুপদী থ্রেশহোল্ড ফাংশনগুলির জন্য নতুন ডিগ্রি সীমানায় । নিম্ন সীমানাটি সার্কিটের গভীরতার সাথে বেড়ে ওঠা লগ ফ্যাক্টর দ্বারা Ω (n ^ (1/3)) এর চেয়ে ভাল।

— রবিন কোঠারি

ওহো, আপনি সঠিক হয়,

Aaronson এবং Shi থেকে সুস্পষ্ট AC0 জন্য পড়তা ডিগ্রী উপর আবদ্ধ কম। বোকা আমাকে। ও'ডনেল এবং সার্ভেদিওকেও নির্দেশকের জন্য ধন্যবাদ।

\tilde{Ω} (n^{2 / 3})

$\tilde{\Omega}(n^{2/3})$

— সোসোশি ইতো

মার্ক বুন এবং জাস্টিন থ্যালারের সাম্প্রতিক একটি গবেষণাপত্র "কঠোরতা প্রশস্তকরণ এবং ধ্রুবক-গভীরতা সার্কিটগুলির আনুমানিক ডিগ্রি" শিরোনামেও এই সমস্যাটি সংক্ষেপে আলোচনা করা হয়েছে। তারা বলছেন যে অ্যারনসন এবং শি-র নীচের সীমাটি এসি <sup> 0 </sup> তে কোনও ফাংশনের জন্য সবচেয়ে ভাল নিম্নতম সীমা এবং এটি নিম্ন বদ্ধ এমনকি কিছুটা সাধারণ মডেল ধারণ করে।

— রবিন কোঠারি

মার্ক বান এবং জাস্টিন থ্যালারের একটি গবেষণাপত্র খুব সম্প্রতি (মার্চ 2017 সালের মাঝামাঝি) ইসিসিসিতে পোস্ট করা হয়েছে যা এই প্রশ্নের যথাযথ উত্তর দেয়: "AC0 এর আনুমানিক ডিগ্রীতে একটি প্রায় অনুকূল নিম্নতর গণ্ডি"

$\delta > 0$ $f$ $\mathrm{AC}^0$ $\widetilde{\mathrm{deg}}_{1/3}(f) = \Omega(n^{1-\delta})$ $O(n)$

$f$ $d$ $F$ $O(n \cdot \mathrm{polylog}(n))$ $D = Ω(n^{1/3} · d^{2/3} )$ $d = n^{1−Ω(1)}$ $D$ $d$ $f$ $F$

এই সমস্যার নিম্ন প্রান্তে এটি সর্বাধিক সাম্প্রতিক আপডেট এবং এটি বেশ গুরুত্বপূর্ণ একটি পদক্ষেপ forward কাগজের ভূমিকা এবং প্রয়োগ বিভাগগুলি পূর্ববর্তী কাজগুলি এবং সম্পর্কিত সমস্যার জন্য রেফারেন্সের ভাল উত্স।

দাবি অস্বীকার: আমি এখনও কাগজটি মনোযোগ দিয়ে পড়িনি।

— একটি
সূত্র

Ω (n^{1 - δ})

$\Omega(n^{1-\delta})$