জন্য নিম্ন- পেতে র্যান্ডম বিধিনিষেধ ব্যবহার করা কি সম্ভব ?

Question

এলোমেলো সীমাবদ্ধতা এবং স্যুইচিং উপর ভিত্তি করে বেশ কয়েকটি সুপরিচিত সার্কিট আকার নিম্ন-সীমাবদ্ধ ফলাফল রয়েছে ।$\mathsf{AC^0}$

সার্কিটের জন্য ( জন্য নিম্ন-সীমাবদ্ধ প্রমাণগুলির অনুরূপ) একটি আকারকে নিম্ন-সীমাবদ্ধ করার জন্য আমরা কী একটি স্যুইচিং লেমমা ফলাফল বিকাশ করতে পারি ?$\mathsf{TC^0}$$\mathsf{AC^0}$

বা approach নিম্ন-সীমা প্রমাণ করার জন্য এই পদ্ধতির ব্যবহারে কোন অন্তর্নিহিত বাধা আছে ?$\mathsf{TC^0}$

প্রাকৃতিক প্রুফের মতো বাধা ফলাফলগুলি নিম্ন-সীমা প্রমাণ করার জন্য স্যুইচিং কৌশলগুলি ব্যবহারের বিষয়ে কিছু বলে ?$\mathsf{TC^0}$

Comments

আপনি কি জন্য স্যুইচ করার প্রমাণের সাথে পরিচিত ? $\mathsf{AC^0}$

— কাভেঃ

আমি অরোড়ার পাঠ্যপুস্তকের সার্কিট নিম্ন সীমানার অধ্যায়টি পড়েছি। প্রথমত, যে কোনও ধ্রুবক গভীরতার কীর্তিটকে আর্লিএভিং এন্ড-ওআর স্তরগুলির সাথে নো গেটগুলি ছাড়াই একটি সার্কিটে রূপান্তর করুন এবং দ্বিতীয়ত সুইচিং লেমমা ব্যবহার করে এই দুটি স্তরটি স্যুইচ করুন, ফিনালি আমরা একটি সার্কিট শীর্ষ পাই এবং দ্বিতীয় স্তরটি একই এবং (বা ওআর) গেটগুলি হয় এইভাবে আমরা একটি স্তরের সিকুইটকে বঞ্চিত করতে পারি, সার্কিটের গভীরতা কমিয়ে আনতে পারি।

— জিগ

যাইহোক, যখন আমরা ইনপুটগুলির বেশিরভাগ মান ঠিক করি (বুলিয়ান ক্ষেত্রে আমরা বর্গমূলের এন ইনপুটগুলি স্থির করি) তখন কোনও গেটের আউটপুট পর্যবেক্ষণ করা সহজ নয়। এবং গেট এবং ওআর গেটটি থ্রেশোল্ড গেটগুলির চূড়ান্ত সংস্করণ এবং বিধিনিষেধের প্রভাব পর্যবেক্ষণ করা অনেক সহজ।

— জিগ

এলোমেলোভাবে বিধিনিষেধের কৌশলটির পিছনে ধারণাটি হ'ল একটি এলোমেলোভাবে বিধিনিষেধের দ্বারা আঘাত হ্রাস পর্যাপ্ত ফ্রি ভেরিয়েবলগুলি রাখার সময় অ-শূন্য সম্ভাবনার সাথে সহজ (বাস্তবে ধ্রুবক) হয়ে যায়। এবং গেটগুলির বিপরীতে , এলোমেলো বাধা দ্বারা আঘাত করা একক গেটটি এখনও ছোট আকারের ইনপুটগুলিতে একটি গেট গণনা করতে পারে এবং সহজতর হবে না। $\mathsf{AC^0}$$\land$$\lor$$\mod p$$\mod p$

— কাভেঃ

এও লক্ষ্য করুন যে এলোমেলো সীমাবদ্ধতা এবং স্যুইচিং লেমা প্রাকৃতিক প্রুফগুলির অন্যতম প্রধান উদাহরণ। যাই হোক না কেন, আশা করি একটি সার্কিট জটিলতার বিশেষজ্ঞ আরও বিস্তৃত উত্তর পোস্ট করবেন। PS: প্রশ্নটি পুনরায় লেখার জন্য আমি স্বাধীনতা নিয়েছি, আপনি যদি আমার সম্পাদনা পছন্দ না করেন তবে নির্দ্বিধায় ফিরে যেতে পারেন।

— কাভেঃ

Answer 1

থ্রেশোল্ড সার্কিটের জন্য নিম্ন সীমাটি প্রমাণ করতে এলোমেলোভাবে বিধিনিষেধ ব্যবহার করা সম্ভব possible

বিশেষত থ্রেসোল্ড সার্কিট , ইমপাগলিয়াজো, পাটুরি এবং স্যাক্সের জন্য আকার-গভীরতা ট্রেড অফস পত্রিকায় প্যারিটি ফাংশনটি গণনা করার জন্য ধ্রুবক গভীরতার থ্রোসোল্ড সার্কিটগুলির জন্য একটি সুপারলাইনার নিম্ন সীমা (তারের সংখ্যার উপরে) প্রমাণ করতে র্যান্ডম বিধিনিষেধ ব্যবহার করে।

সার্কিটের জন্য অতি-নিম্ন-সীমাটি প্রমাণ করার ক্ষেত্রে হ্যাঁ, -তে সিউডো-র্যান্ডম ফাংশন জেনারেটরের নির্মাণ রয়েছে বলে প্রাকৃতিক প্রমাণ ধারণাটি প্রাসঙ্গিক ।$\mathsf{TC}^0$$\mathsf{TC}^0$

Answer 2

ড্যানিয়েল কেন এবং রায়ান উইলিয়ামসের সাম্প্রতিক কাগজটি দেখুন, সুপার-লিনিয়ার গেট এবং সুপার-চতুর্ভুজ তারের নিম্ন সীমানা ডেপথ -২ এবং ডিপথ -৩ থ্রোসোল্ড সার্কিট (STOC 2016) এর জন্য।

রায়ান এই কাগজটি নিম্নরূপ বর্ণনা করেছেন (নিম্নলিখিত বিবরণটি তার হোমপেজ থেকে নেওয়া হয়েছে):

আমরা in এ একটি স্পষ্ট ফাংশন যার জন্য প্রতিটি সংখ্যাগরিষ্ঠ গভীরতা-দুই লিনিয়ার সার্কিট (আনবাউন্ড ওয়েট সহ) এক সাথে প্রায় গেট এবং তারের প্রয়োজন। আমরা আরও দেখান যে অ্যান্ড্রিভের ফাংশন ( আকারের গভীরতা-তিনটি সংখ্যাগরিষ্ঠ সার্কিট দ্বারা গণনাযোগ্য ) প্রায় একই গেট এবং তারের নীচে আবদ্ধ হওয়া গভীরতা-দুই লিনিয়ার প্রান্তিক সার্কিটের সাথে গণনা করা প্রয়োজন। একটি মূল সরঞ্জাম হ'ল লিটলউড-অফর্ড লেমা, যা আমরা নিম্ন-গভীরতার প্রান্তিক সার্কিটগুলির ইনপুটগুলিতে এলোমেলোভাবে বিধিনিষেধের প্রভাব বিশ্লেষণ করতে ব্যবহার করি।$\mathsf{PP}$$n^{1.5}$$n^{2.5}$$O(n)$