5 এর চেয়ে কম গভীরতার সাথে সংযোজন করা যায়?

Question

বহনকারী অ্যালগরিদমকে বহন করে ব্যবহার করে বহু-আকারের গভীরতা 5 (বা 4?) সার্কিট পরিবার ব্যবহার করে আমরা সংযোজন করতে পারি । গভীরতা কমানো সম্ভব? বহনযোগ্য অ্যালগরিদমকে বহন করার চেয়ে আরও গভীরতার সাথে বহুবর্ষীয় আকারের সার্কিট পরিবার ব্যবহার করে আমরা দুটি বাইনারি সংখ্যার সংখ্যানটি গণনা করতে পারি?$AC^0$

সার্কিট পরিবারগুলির যেখানে 2 বা 3 রয়েছে তার জন্য কোনও সুপার পলিনোমিয়াল লোয়ারবাউন্ডস রয়েছে ?$AC^0_d$$d$

গভীরতার দ্বারা আমি বিকল্প গভীরতা বলতে চাই।

Comments

আপনি আমাদের নাম বলতে পারেন? কে তুমি? গত একমাস বা তার জন্য লোকেরা এখানে একটি নতুন ব্যবহারকারী নাম তৈরি করছে, একটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করছে এবং তারপরে সেই ব্যবহারকারীর নাম মুছে ফেলছে!

— তাইফুন পে

@ জিফিকস্টার, সাধারণত লোকদের একটি অ্যাকাউন্ট তৈরি করতে বা তাদের আসল নামগুলি ব্যবহার করার প্রয়োজন হয় না (তবে এটি বিভিন্ন কারণে এটি করার জন্য উত্সাহিত হয়)। যদি আপনার কোনও বিষয়ে সাধারণ উদ্বেগ থাকে তবে দয়া করে এটি উত্থাপনের জন্য তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞান মেটা ব্যবহার করুন ।

— কাভেঃ

কোন গভীরতা নয়- এসি 0 সার্কিট কিছু নির্দিষ্ট মিটারের জন্য দুটি এম- বিট ইনপুটগুলির ( এম + 1 ) - বিটের যোগফল গণনা করতে পারে তা যাচাই করে জাল-জোর করা যেতে পারে ; ইনপুট বিটগুলির কেবলমাত্র চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি বুলিয়ান ফাংশন রয়েছে যা প্রতিটি গভীরতায় উপস্থিত হতে পারে। $4$$^{0}$$(m+1)$$m$$m$

— এমজেকিএক্সএক্সএক্সএক্সএক্সএক্সএক্সএক্স

@ এমজেকিএক্সএক্সএক্সএক্সএক্স: স্থির মিটারের জন্য ব্রুট-জোর করার সময় আপনি কীভাবে AC0 সার্কিটগুলিতে বহু-আকারের সীমাবদ্ধতা প্রয়োগ করেন? @ ওপি: বর্তমান সেরা সার্কিট গভীরতা 4 বা গভীরতা 5?

— রবিন কোঠারি

@ এমজেকিএক্সএক্সএক্সএক্সএক্সএক্স: প্রতিটি বুলিয়ান ফাংশন গভীরতা সার্কিটের মাধ্যমে গণনাযোগ্য । এখন, আপনি আপনার নির্দিষ্ট জন্য এটি অনুমান করা মি আকারের একটি বর্তনী গুলি । তোমাদের এ কেমন সিন্ধান্ত সেখানে আকার কিনা না গ এন প্রত্যেক জন্য সার্কিট এন , যেখানে গ = গুলি / মি , অথবা শুধুমাত্র আছে কিনা আকারের সার্কিট 2 ε এন , যেখানে ε = ( লগ গুলি ) / মি ? সীমাবদ্ধ উদাহরণ থেকে অ্যাসিম্পটোটিক তথ্য নির্ধারণের সহজ উপায় নেই। $2$$m$$s$$cn$$n$$c=s/m$$2^{\epsilon n}$$\epsilon=(\log s)/m$

— এমিল জ্যাবেক মনিকাকে সমর্থন করেছেন

Answer 1

অ্যালেক্সিস ম্যাকিয়েল এবং ক্ষুদ্র মেজরিটি-গভীরতার ডেনিস থেরিয়েন থ্রেশোল্ড সার্কিটের থিওরেম ৩.১ অনুসারে দুটি সংখ্যার সংযোজন গণনা করার জন্য সত্যই একটি গভীরতা -৩ সার্কিট রয়েছে।

সুনির্দিষ্ট আবদ্ধ হয় যেখানে Δ 2 = Σ 2 ∩ পাইয়ের মান 2 যা গভীরতা-2 আছে সমস্যা আছে একজন সি 0 উভয় সঙ্গে সার্কিট ∨ , ∧ উপরের ও দরজা এন সি 0 1 সার্কিট হয় এন সি 0 সার্কিট গভীরতা এক (স্বরলিপি বিস্তারিত ব্যাখ্যা জন্য কাগজ দেখুন)।$\Delta_2 \cdot \mathsf{NC}^0_1$$\Delta_2 = \Sigma_2 \cap \Pi_2$$\mathsf{AC}^0$$\vee,\wedge$$\mathsf{NC}^0_1$$\mathsf{NC}^0$

মূল প্রমাণ ধারণা:

• প্রথমে, ক্যারি-লুকোহেড সার্কিটটিকে $\mathsf{NC}^0\cdot\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
• এর পরে, এর ডাকা অবসান বৈশিষ্ট্য হিসাবে এই লেখার Δ 2 ⋅ এন সি$\Delta_2$$\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
• অবশেষে, সত্যটি (কাগজে প্রমাণিতও) ব্যবহার করুন যে $\mathsf{NC}^0 \subset \Delta_1\cdot\mathsf{NC}^0_1$

Answer 2

গভীরতা 2 সার্কিটগুলির গাণিতিক আকারের প্রয়োজন হয় কারণ একটি গভীরতা 2 সার্কিটটি অবশ্যই ডিএনএফ বা সিএনএফ হতে হবে এবং এটি যাচাই করে নেওয়া সহজ যে এখানে বহুগুলি মিডটার্ম এবং ম্যাকটারেম রয়েছে।

সতর্কতা : নীচের অংশটি বগি । উত্তরের মতামত দেখুন।

আমি এটি গণনা, উপরন্তু গভীরতা 3. মধ্যে সম্পন্ন করা যাবে ধরে এবং খ আমি হয় আমি দুই নম্বর, যেখানে তম বিট 0 lsb এবং সূচক এন এর MSB। $a_i$$b_i$$i$$0$$n$

আমাদের গনা যাক সমষ্টি তম বিট গুলি আমি বর্ণন এগিয়ে বহন সহ স্ট্যান্ডার্ড ভাবে:$i$$s_i$

$$s_i = a_i \oplus b_i \oplus c_i$$

যেখানে হ'ল এক্সওআর এবং সি আই হ'ল বহনযোগ্য হিসাবে গণনা করা হয়:$\oplus$$c_i$

$$c_i = \bigvee_{j\mid j < i} (g_j \wedge p_j)$$

এবং অর্থ হল j ম অবস্থানটি বহনটিকে "উত্পন্ন" করে:$g_j$$j$

$$g_j = (a_j \wedge b_j)$$

এবং মানে যে বহন থেকে প্রচারিত পরার ঞ থেকে আমি :$p_j$$j$$i$

$$p_j = \bigwedge_{k\mid j < k < i} (a_j \vee b_j)$$

গভীরতা গণনা, গভীরতা 2, এবং গ আমি গভীরতা 3. এটা মনে হবে যদিও যে গুলি আমি গভীরতা 4 বা 5, আসলেই শুধু গভীরতা 3 থেকে 3 সার্কিট এত গভীরতা একটি বেষ্টিত fanin গণনার হয় বহু-পরিমাণে সার্কিটের আকারটি প্রবাহ করার সময় ডি-মরগান সূত্রগুলি ব্যবহার করে উপরের দুটি স্তরকে নীচে নামাতে পারে।$p_j$$c_i$$s_i$

Comments

আমি বেশ গভীরতা কিভাবে বেষ্টিত fanin গণনার দেখতে না 3 সার্কিট হয় স্বয়ংক্রিয়ভাবে গভীরতা 3. পারেন, বলুন, আপনি লিখতে যেমন ( গ আমি ∧ ¬ ( একটি আমি ⊕ b আমি ) ) ∨ ( ¬ গ আমি ∧ ( একটি আমি ⊕ খ আমি ) ) , আপনাকে প্রথমে বিচ্ছিন্ন গভীরতায় 3 বর্তনী সঙ্গে করতে পারেন ⋁ উপরে দ্বিতীয় বিচ্ছিন্ন সঙ্গে গভীরতায় 3 বর্তনী, এবং $s_i$$(c_i\land\neg(a_i\oplus b_i))\lor(\neg c_i\land(a_i\oplus b_i))$$\bigvee$$\bigwedge$শীর্ষে আমি দেখতে পাচ্ছি না যে কিভাবে দুটি অংশের সংযোগকারী ধরণের মিলগুলির জন্য একের পর এক গভীরতা বৃদ্ধি না করে শীর্ষ বিচ্ছিন্নতাটিকে নীচে নামানো যায়। এই লক্ষ করেন, দূর করা করতে পারেন একটি গভীরতা 3 সার্কিট দ্বারা অন্যভাবে নির্ণিত করা যেতে পারে ...$c_i$

— এমিল Jeřábek মনিকা সমর্থন

... উপরে অন্যদিকে, সমস্ত গভীরতার 3 টি সার্কিট নীচে ফ্যান-এ সীমাবদ্ধ করেছে, তাই আমি তাদের গভীরতা 2/2 বলি। $\bigwedge$

— এমিল জেব্যাক মনিকে

That's obvious. What I am pointing out is that as written, you do not have here an OR of two depth $d$ circuits with AND on the top. You have an OR of two depth $d$ circuits, one of which has AND on the top, and the other has OR on the top. I doubt such circuits can be converted to depth $d$ in general. Think about the polynomial fan-in ANDs and ORs as quantifiers. You can express $(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\psi(x_1,\dots,x_d))$ as a prenex formula with $d$ quantifier blocks, but you need $d+1$ blocks to express...

— Emil Jeřábek supports Monica

... the formula $(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\exists x_1\forall x_2\dots \overline Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))$.

— Emil Jeřábek supports Monica

For an explicit counterexample to the general principle, let $f_n(x_1,\dots,x_n)$ be a family of functions computable by $AC^0_d$ circuits with OR on the top requiring super-polynomial depth $d$ circuits with AND on the top (e.g., Sipser functions). Then $x_0\oplus f_n$ do not have $AC^0_d$ circuits. Assume for contradiction that $C_n(x_0,\dots,x_n)$ are such circuits, and that $C_n$ has OR on the top (the other case is symmetric). By setting $x_0=1$, we obtain $AC^0_d$ circuits for $\neg f_n$ with OR on the top, hence $AC^0_d$ circuits for $f_n$ with AND on the top, a contradiction.

— Emil Jeřábek supports Monica