গ্রুপ অ্যাকশনের বিচারে গাউসিয়ান নির্মূল

Question

গাউসীয় নির্মূলকরণ ম্যাট্রিক্স বহু-সময় গণনার জন্য নির্ধারক করে। নির্ধারণকারীকে কম্পিউটিংয়ে জটিলতা হ্রাস করা, যা অন্যথায় ঘাতক পদগুলির যোগফল, বিকল্প নেতিবাচক চিহ্নগুলির উপস্থিতির কারণে (যার অভাবে কম্পিউটারিং স্থায়ী করে তোলে ie অর্থাত্ শক্ত then তারপর সমস্যা)। এটি নির্ধারকগুলিতে কিছু ধরণের প্রতিসাম্য বাড়ে, যেমন এক জোড়া সারি বা কলামের বিনিময় কেবল লক্ষণগুলিকে বিপরীত করে। আমি কোথাও পড়েছি, সম্ভবত ভ্যালিয়েন্টের দ্বারা প্রবর্তিত হলোগ্রাফিক আলগোরিদিমগুলির সংযোগে, যে গাউসিয়ান নির্মূলকরণকে গ্রুপ অ্যাকশন হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে এবং এর ফলে জটিলতা হ্রাসের জেনেরিক কৌশল বাড়ে।এন পি -$\#P\mbox{-}hard$$NP\mbox{-}C$

এছাড়াও, আমি অনুভব করি যে কোনও গণ্য সমস্যার জন্য জটিলতা হ্রাসের প্রায় সমস্ত উত্স হ'ল এক প্রকারের প্রতিসাম্যতা। এটা সত্যি? গ্রুপ তত্ত্বের ক্ষেত্রে আমরা কি কঠোরভাবে এটি আনুষ্ঠানিক করতে পারি?

সম্পাদন করা

আমি রেফারেন্স পেয়েছি । (পৃষ্ঠা 2, দ্বিতীয় অনুচ্ছেদের শেষ লাইন)। আমি কাগজটি সঠিকভাবে বুঝতে পারি নি, যদি আমার প্রশ্নটি কাগজের ভুল বোঝার ভিত্তিতে হয় তবে দয়া করে আমাকে সংশোধন করুন।

Comments

আমার ব্যক্তিগত দ্বিতীয় অনুচ্ছেদে গ্রহণ: বিস্তৃত আগ্রহের সমস্যাগুলির প্রায়শই প্রতিসাম্যতা থাকে, তাদের দক্ষ অ্যালগরিদম আছে কি না। তবে তা ছাড়া, আমি আপনার অনুভূতিতে সত্যটি দেখতে পাচ্ছি না যে "যে কোনও গণনীয় সমস্যার জন্য জটিলতা হ্রাসের প্রায় সমস্ত উত্সই এক প্রকারের প্রতিসাম্যিক উপস্থিতি।" উদাহরণস্বরূপ, আমি ক্রসকলের অ্যালগরিদম প্রতিসাম্য ব্যবহার করে তা দেখতে ব্যর্থ হয়েছি। তদ্ব্যতীত, সমস্যাগুলির প্রতিসাম্য থেকে দক্ষ অ্যালগরিদমগুলি যে দৃষ্টিভঙ্গিতে উত্থাপিত হয়েছিল তা স্থিরতার প্রতিসাম্য কেন দৃশ্যত এটি দক্ষতার সাথে গণনা করতে সহায়তা করে না তা ব্যাখ্যা করে বলে মনে হচ্ছে না।

— Tsuyoshi Ito

না, প্রতিসাম্যতা সবসময় জটিলতা হ্রাস করে না। গ্রুপ সম্পর্কে প্রতিটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন অনস্বীকার্য। বাছাই হয় না।

— জেফি

এই দিকটির নিকটতম আনুষ্ঠানিক বিবৃতিটি যা মনে আসে তা হ'ল বীজগণিত দ্বিধাত্ত্বিক অনুমান, যা (এটি খুব অস্পষ্টভাবে বলতে গেলে) বলে যে একটি সিএসপি পিতে থাকলে এবং কেবলমাত্র দুটি সমাধানকে যথাযথভাবে পৃথক তৃতীয় সমাধানের সাথে একত্রিত করার জন্য অনানুষ্ঠানিক উপায় থাকলে । একটি উদাহরণ লিনিয়ার সিস্টেম মোড 2 সমাধান করছে যা গাউসিয়ান নির্মূলকরণের দ্বারা সমাধানযোগ্য এবং যেখানে দুটি পৃথক সমাধান সমাধানের একটি অ্যাফাইন উপসর্গ নির্ধারণ করে

— সাশো নিকোলভ

আহ তাই আপনি আসলে জিটিটি সম্পর্কে যা কথা বলছেন তা হ'ল ধারণাটি থেকে শুরু করে যে স্থায়ী বনাম নির্ধারক সমস্যাটি বোঝা যায় (প্রায়) যে দুটি প্রতিসাম্যগুলির অধীনে এই প্রতিসামগ্রী রয়েছে সেগুলি বিবেচনা করে।

— সাশো নিকোলভ

কোনও সমস্যা একটি দক্ষ অ্যালগরিদমকে স্বীকৃতি দেওয়ার অনেক কারণ রয়েছে। জঞ্জালতা, উপ-পরিমিতি ইত্যাদি ইত্যাদি প্রতিসারণগুলি কিছু সংশ্লেষগত সমস্যার ক্ষেত্রে বিস্ফোরণ ঘটায় এবং কখনও কখনও অদক্ষতার উত্স হিসাবে দেখা হয়।

— বিজয় ডি

Answer 1

নির্ধারকের ক্ষেত্রে, গাউসিয়ান নির্মূলকে সত্যই ধারণাটির সমতুল্য দেখা যায় যে নির্ধারকটির একটি বৃহত প্রতিসাম্য গ্রুপ রয়েছে (একটি নির্দিষ্ট ফর্মের) এবং সেই প্রতিসামগ্রী গোষ্ঠী দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে (যার অর্থ অন্য কোনও সমজাতীয় ডিগ্রি বহুবর্ষীয় এই প্রতিসাম্যগুলির সাথে ভেরিয়েবলগুলি অবশ্যই নির্ধারকের স্কেলার একাধিক হতে হবে)। (এবং @ স্যুওশি ইতো এর বক্তব্য হিসাবে যে স্থায়ী প্রতিসাম্যগুলি এটি দক্ষতার সাথে গণনা করতে সহায়তা করে না: যদিও স্থায়ী এছাড়াও এর প্রতিসাম্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তবে এর প্রতিসাম্য গ্রুপ নির্ধারকের চেয়ে অনেক ছোট is)n $n$$n^2$

আপনি এর একটি লেখার সন্ধান করতে পারেন - যেখানে নির্ধারকের প্রতিসাম্যগুলি গাউসিয়ান নির্মূল করতে ব্যবহৃত হয়, যেখানে প্রমাণ করা যায় যে নির্ধারকটি তার প্রতিসাম্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে - আমার থিসিসের প্রস্তাবনা ৩.৪.৩ এ (নির্লজ্জ স্ব-প্লাগ - তবে এছাড়াও, আমি এর আগে এটিকে পুরোপুরি এইভাবে দেখেনি এবং সম্পূর্ণ বিশদভাবে লিখিত ছিল না, যেমন ওপি চাইছিল, যদিও আমি নিশ্চিত যে এটি হয়ে গেছে; আমি যদি কারও অন্য উল্লেখ থাকি তবে আমি খুশি হতাম)।

মতামত হিসাবে যে প্রতিসাম্য সবসময় জটিলতা হ্রাস বাড়ে (বা না), ইতিমধ্যে মন্তব্যে থাকা জিনিসগুলি ছাড়াও, এই প্রশ্ন এবং এর উত্তরগুলি দেখুন।

একটি মজার বিষয় হ'ল ভ্যালেন্টের প্রথম কাগজপত্রগুলিতে যা বর্তমানে বুলিয়েন্টের বীজগণিত জটিলতা তত্ত্বের সংস্করণ হিসাবে পরিচিত, তিনি এই বিন্দুটি তৈরি করার চেষ্টা করছিলেন যে একটি কারণ নির্ণায়ক গুরুত্বপূর্ণ কারণ এটি প্রায় সমস্ত (তত্কালীন) দক্ষ দক্ষ আলগোরিদিম হতে পারে রৈখিক বীজগণিত এবং সেখান থেকে নির্ধারকের গণনাতে হ্রাস, উদাহরণস্বরূপ প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে ম্যাচিং গণনা করার জন্য এফকেটি অ্যালগরিদম। এটি অবশ্যই একটি অতিরঞ্জিত, তবে হলোগ্রাফিক অ্যালগরিদমগুলি নিয়ে গবেষণা করে বহন করা অব্যাহত রয়েছে, যা প্রায়শই ফাফফিয়ান (নির্ধারকের নিকটাত্মীয়) গণনা করতে হ্রাস করে। অবশ্যই ভ্যালিয়েন্ট জানতেন যে এটি অতিরঞ্জিত, তবে এখানে সঠিক উক্তিটি নিশ্চিত করেই বলা হচ্ছে যে আমি ভুল উপস্থাপনা করছি না ( এল। ভ্যালেন্ট। বীজগণিতের সম্পূর্ণতা ক্লাস। এসিএম স্টক 1979 ):

আমাদের মূল সিদ্ধান্তগুলি মোটামুটি নিম্নরূপে সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে:

(ক) লিনিয়ার বীজগণিতগুলি মাঝারি ডিগ্রির মাল্টিভারিয়েট বহুপদী গণনা করার জন্য একমাত্র দ্রুত প্রযুক্তি সরবরাহ করে

(খ) ...

Answer 2

এমন কেস রয়েছে যেখানে কোনও সমস্যার প্রতিসাম্য (মনে হয়) এর জটিলতা চিহ্নিত করে। একটি খুব আকর্ষণীয় উদাহরণ হ'ল সীমাবদ্ধতা সন্তুষ্টি সমস্যা (সিএসপি)।

সিএসপি সংজ্ঞা

একজন সিএসপি একটি ডোমেইন দেওয়া হয় , এবং একটি বাধ্যতা ভাষা ( থেকে -ary ফাংশন করার )। একটি সীমাবদ্ধ সন্তুষ্টি দৃষ্টান্তটি ভেরিয়েবলের একটি সেট এবং থেকে প্রতিবন্ধকতা দ্বারা দেওয়া হয় । দৃষ্টান্তটির সমাধান হ'ল একটি অ্যাসাইনমেন্ট যেমন সমস্ত প্রতিবন্ধকতা সন্তুষ্ট।Γ ক ইউ কে { 0 , 1 } ভি Γ ϕ : ভ → $U$$\Gamma$$k$$U^k$$\{0, 1\}$$V$$\Gamma$$\phi:V \rightarrow U$

উদাহরণস্বরূপ, এই ভাষাতে 3-স্যাট দেওয়া হয় যা 3 লিটারেল সব disjunctions সেট করা হয়, সহজভাবে হয় । অন্য উদাহরণস্বরূপ, রৈখিক সমীকরণ সিস্টেমের mod 2 একটি দ্বারা দেওয়া হয় যা সব রৈখিক সমীকরণ সহ 2 mod ভেরিয়েবল, এবং আবার ।ইউ { 0 , 1 } Γ ট ইউ { 0 , 1 $\Gamma$$U$$\{0, 1\}$$\Gamma$$k$$U$$\{0, 1\}$

বহুরুপতা

একটি ধারণা রয়েছে যার মধ্যে সিএসপি-এর কঠোরতা এর প্রতিসাম্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। প্রশ্নে প্রতিসাম্যগুলিকে পলিমারফিজম বলা হয়। একটি পলিমারফিজম হল স্থানীয়ভাবে একটি নতুন সমাধান পাওয়ার জন্য সিএসপি-র বিভিন্ন সমাধানকে একত্রিত করার উপায় । স্থানীয়ভাবে এখানে অর্থ একটি ফাংশন যা প্রতিটি ভেরিয়েবলের জন্য পৃথকভাবে প্রয়োগ করা হয়। আরো সঠিকভাবে, আপনাকে অনেকগুলি সমাধান (বরাদ্দকরণ পরিতৃপ্ত) আছে যদি , একটি পলিমরফিজম একটি ফাংশন প্রতিটি পরিবর্তনশীল একটি নতুন সমাধান পেতে প্রয়োগ করা যেতে পারে : । জন্য একটি পলিমরফিজম হতে এটা সব tuples মানচিত্র উচিত f : U t → U ϕ ϕ ( v ) = f ( ϕ 1 ( v ) , … , ϕ t ( v ) ) f $\phi_1, \ldots, \phi_t$$f:U^t \rightarrow U$$\phi$$\phi(v) = f(\phi_1(v), \ldots, \phi_t(v))$$f$$t$ একই উদাহরণের সন্তোষজনক কার্যভারের কোনও ক্ষেত্রে সন্তুষ্টিজনক কার্যভার।

উদাহরণস্বরূপ রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলির জন্য একটি বহুপদীতা হল । লক্ষ্য করুন যে । একটি মাফিক এই সম্পত্তি একটি Maltsev অপারেশন হিসাবে পরিচিত হয়। মাল্টসেভ পলিমারফিজম রয়েছে এমন সিএসপিগুলিকে গাউসিয়ান নির্মূলের মাধ্যমে সমাধানযোগ্য।$f(x, y, z) = x + y + z \pmod 2$$f(x, x, y) = f(y, x, x) = y$$f$

অন্যদিকে, 3 টি আক্ষরিকের বিভাজনে কেবল পলিমারফিজম হিসাবে স্বৈরশাসক থাকে, যেমন টাইপের ফাংশন ।$f(x, y) = x$

বহুবিজ্ঞান এবং জটিলতা (দ্বৈতত্ত্ব অনুমান)

আসলে বহুরুপতা গণনীয় প্রভাব আছে: যদি কোন সিএসপি সব বহুরুপতা স্বীকার , তারপর করার বহুপদী টাইম রূপান্তরযোগ্য হয় । এটি আনুষ্ঠানিকভাবে বলার উপায় যে কোনও সিএসপি যা অন্য সিএসপি- তুলনায় "কম প্রতিসামান্য" প্রকৃতপক্ষে শক্ত।$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_2$$\Gamma_1$

জটিলতা তত্ত্বের একটি প্রধান উন্মুক্ত সমস্যা হ'ল সিএসপিগুলির কঠোরতা চিহ্নিত করা। ফেডার এবং ভার্ডির দ্বৈতত্ত্ব অনুমানে বলা হয়েছে যে কোনও সিএসপি হয় হয় পি বা এনপি-সম্পূর্ণ। অনুমানটি বহুবর্ষ সম্পর্কে একটি বিবৃতিতে হ্রাস করা যেতে পারে: একটি সিএসপি হ'ল এনপি-হার্ড এবং কেবল যদি এটি স্বীকৃত একাধিক পলিওরফিজম হয় "স্বৈরশাসক" (অন্যথায় এটি পিতে থাকে)। যেমন একটি সিএসপি কেবল তখনই শক্ত যদি পুরানো সমাধানগুলি থেকে আসল নতুন সমাধান গঠনের স্থানীয় কোনও উপায় না থাকে। যদি পার্ট (কঠোরতা) জানা থাকে তবে অংশটি (পলটাইম অ্যালগরিদম ডিজাইনিং) কেবল তখনই খোলা থাকে।

তবে, একটি গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্রে যেখানে আমাদের দ্বৈতত্ত্ব রয়েছে সেগুলি হ'ল বুলিয়ান সিএসপি (যেখানে )। স্কেফেরের উপপাদ্য অনুসারে , একটি বুলিয়ান সিএসপি পিতে রয়েছে যদি এটি 6 টির মধ্যে একটির বহুবিজ্ঞান স্বীকার করে, অন্যথায় এটি এনপি-সম্পূর্ণ। ছয়টি বহুবিজ্ঞান মূলত গাউসিয়ান নির্মূলকরণ দ্বারা বা বংশবিস্তার দ্বারা (যেমন আপনি হর্ন-সিটের সাথে উদাহরণস্বরূপ করেন) সমস্যাটি সমাধান করার প্রয়োজন হয় বা একটি তুচ্ছ কার্য দ্বারা এটি সমাধান করার জন্য।$U = \{0, 1\}$

পলিমারফিজম, সার্বজনীন বীজগণিত এবং দ্বিধাত্ত্বিক অনুমান সম্পর্কে আরও পড়ার জন্য, আপনি বুলাটোভের সমীক্ষায় দেখতে পারেন ।

বহুবিজ্ঞান এবং আনুমানিকতা x

আমি প্রসাদ রাঘভেন্দ্রের একটি আইএএস বক্তৃতারও প্রস্তাব দিই যেখানে তিনি তার ফলাফল রাখেনঅনুরূপ ফ্রেমওয়ার্কে অনন্য গেমস অনুমানকে ধরে নিলে যে কোনও সিএসপির অনুকূল নৈমিত্তিকতা দেওয়া। উচ্চ স্তরে, যদি কোনও সিএসপি-র সমস্ত বহুত্ববাদগুলি (এটি আনুমানিক সমস্যাগুলি পরিচালনা করতে সাধারণীকরণ করা প্রয়োজন) স্বৈরশাসকের কাছাকাছি থাকে তবে কোনও ফাংশন স্বৈরশাসক হলে সিএসপি ব্যবহার করে এটি পরীক্ষা করার উপায় ডিজাইন করতে পারে, এবং এটি পরিণত হয় অনন্য গেমগুলি থেকে আনুমানিক হ্রাসের কঠোরতা দেওয়ার জন্য আপনার যা দরকার তা হ'ল। এটি তার ফলাফলের কঠোরতার দিক দেয়; অ্যালগরিদমিক দিকটি হ'ল যখন কোনও সিএসপিতে পলিমারফিজম থাকে যা স্বৈরশাসকের কাছ থেকে দূরে থাকে, তখন কোনও ব্যক্তি একটি এনভেরিয়েন্স নীতি (কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতা উপকরণগুলির জেনারালাইজেশন) ব্যবহার করতে পারে যে কোনও এসডিপি বৃত্তাকার অ্যালগরিদম একটি ভাল অনুমান দেয়। অ্যালগরিদমিক অংশের জন্য সত্যই স্কেচী অন্তর্দৃষ্টি: একটি পলিমারফিজম যা স্বৈরশাসকের থেকে দূরে থাকে না ' এটি যদি আর্গুমেন্ট হিসাবে দেওয়া হয় (একটি বিতরণ ওভার) ভেরিয়েবল অ্যাসাইনমেন্ট বা গাউসিয়ান এলোমেলো ভেরিয়েবল যা স্থানীয়ভাবে ভেরিয়েবল অ্যাসাইনমেন্টের উপর একটি বিতরণকে প্রায় অনুমান করে। এটি একটি একই উপায়ে যা কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতা উপপাদ্য দ্বারা ছোট বৈকল্পিক বা গাউসিয়ান আরভি'র সাথে একই বৈকল্পিকের সাথে পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি দেওয়া হয় তবে কোনও যোগফল "যত্ন করে না"। আমাদের প্রয়োজন গাউসিয়ান র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি সিএসপি সমস্যার একটি এসডিপি শিথিলকরণ থেকে গণনা করা যেতে পারে। সুতরাং আমরা এমন একটি পলিমারফিজম খুঁজে পাই যা স্বৈরশাসকের থেকে দূরে থাকে, এটিকে গাওসির নমুনাগুলি খাওয়ান, এবং একটি ভাল সমাধান ফিরে পান। যদি এটি কেন্দ্রীয় সীমার উপপাদ্য দ্বারা ছোট বৈকল্পিক বা গাউসিয়ান আরভি'র সাথে একই ভিন্নতার সাথে স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি দেওয়া হয়। আমাদের প্রয়োজন গাউসিয়ান র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি সিএসপি সমস্যার একটি এসডিপি শিথিলকরণ থেকে গণনা করা যেতে পারে। সুতরাং আমরা এমন একটি পলিমারফিজম খুঁজে পাই যা স্বৈরশাসকের থেকে দূরে থাকে, এটিকে গাওসির নমুনাগুলি খাওয়ান, এবং একটি ভাল সমাধান ফিরে পান। যদি এটি কেন্দ্রীয় সীমার উপপাদ্য দ্বারা ছোট বৈকল্পিক বা গাউসিয়ান আরভি'র সাথে একই ভিন্নতার সাথে স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি দেওয়া হয়। আমাদের প্রয়োজন গাউসিয়ান র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি সিএসপি সমস্যার একটি এসডিপি শিথিলকরণ থেকে গণনা করা যেতে পারে। সুতরাং আমরা এমন একটি পলিমারফিজম খুঁজে পাই যা স্বৈরশাসকের থেকে দূরে থাকে, এটিকে গাওসির নমুনাগুলি খাওয়ান, এবং একটি ভাল সমাধান ফিরে পান।

Comments

Bulatov এছাড়াও একটি আমন্ত্রিত দিলেন আলাপ সিএসআর 2011 এ তার জরিপ সম্পর্কে

— টাইসন উইলিয়ামস