লিনিয়াল-মনসুর-নিসান উপপাদ্য এবং

ফলাফল 1: লিনিয়াল-মনসুর-নিসান উপপাদ্য বলেছেন যে সার্কিটগুলির দ্বারা গণনা করা ফাংশনের ফুরিয়ার ওজন উচ্চ সম্ভাবনার সাথে ছোট আকারের সাবসেটগুলিতে কেন্দ্রীভূত হয়। $\mathsf{AC}^0$

ফলাফল 2: এর ফুরিয়ার ওজন ডিগ্রি এর সহ-দক্ষতার উপর কেন্দ্রীভূত হয়েছে । $\mathsf{PARITY}$ $n$

প্রশ্ন: প্রমাণ করার কোন উপায় আছে (যদি প্রমাণযোগ্য হয়) ফলাফল 1 এবং 2 এর মাধ্যমে / ব্যবহার করে সার্কিট দ্বারা গণনাযোগ্য নয় ? $\mathsf{PARITY}$ $\mathsf{AC}^0$

— Stattrav
সূত্র

এটি লিনিয়াল-মনসুর-নিসান উপপাদ্যটির কোনও সুস্পষ্ট প্রয়োগ নয়? এলএমএন উপপাদ্যটি কীভাবে প্রমাণিত হয় (বিশেষত, এটি সম্ভাব্য যুক্তির দ্বারা প্রমাণিত হয় কি না) অপ্রাসঙ্গিক।

— Tsuyoshi Ito

একই সময়ে, লিনিয়াল-মনসুর-নিসান উপপাদ্যটি হস্তাদ উপপাদ্য ধরে ধরে প্রমাণিত হয় না? এটি আমার কাছে দেখতে একটি কুকুরের মতো নিজের লেজ তাড়া করছে ...

— এলেসান্দ্রো কোসেন্টিনো

এভাবেই একটি এসি সার্কিটের আনুমানিক সমতলের আকারের নীচের অংশটি রায়ান ও'ডনেলের নোটগুলিতে উত্পন্ন হয় । আনুষঙ্গিক 32 দেখুন

— সাশো নিকোলভ

আমি মনে করি আপনার মন্তব্যে আরও আকর্ষণীয় প্রশ্নটি রয়েছে: প্রতিটি ফাংশন যাঁর ফুওরি স্পেকট্রামটি ছোট-আকারের এসি0 সার্কিটগুলি দ্বারা গণনযোগ্য নিম্ন-স্তরের সহগগুলিতে কেন্দ্রীভূত হয়।

— সাশো নিকোলভ

@ স্ট্রাটভ তারপরে আপনি এই প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করতে পারেন।

— টাইসন উইলিয়ামস

LMN উপপাদ্য শো যে যদি চ একটি বুলিয়ান ফাংশন দ্বারা একটি গণনীয় আকারের বর্তনী এম, $(f:\{-1,1\}^n \rightarrow \{-1,1\})$ $\text{AC}^0$

\sum_{S : | S | > k} \hat{f} (S)^{2} \leq 2^{- Ω (k / (\log M)^{d - 1})}

$\sum_{S:|S|> k} \hat f(S)^{2} \leq 2^{-\Omega(k/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow \hat f([n])^{2} \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

প্যারিটি ফাংশন সাথে চ এর পারস্পরিক সম্পর্ক ছাড়া আর কিছুই নয়। যাক ইনপুট ভগ্নাংশ হতে যেখানে থেকে পৃথক । $|\hat f([n])|$ $(\prod_{i = 1}^{n}x_i)$ $\delta$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} 1 - 2 δ \leq | 1 - 2 δ | & = | \hat{f} ([n]) | \leq 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow δ & \geq 1 - 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} 1 -2 \delta \leq |1 - 2\delta| &= |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow \delta &\geq 1 - 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})} \end{align}$

So, if M is $poly(n)$ , for $f$ to be equal to $PARITY$ ,

\begin{aligned} δ & \leq \frac{1}{2^{n}} \\ \Rightarrow 2^{n} & \geq 2^{(c n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow (\log M)^{d - 1} & \geq (c - 1) n \\ \Rightarrow M & \geq 2^{Ω (n^{1 / d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} \delta &\leq \frac{1}{2^n}\\ \Rightarrow 2^n &\geq 2^{(cn/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow (\log M)^{d-1} &\geq (c-1)n \\ \Rightarrow M &\geq 2^{\Omega (n^{1/d-1})} \end{align}$

So, LMN theorem not only proves that $PARITY$ cannot be computed by $AC^{0}$ circuits, it also shows that $PARITY$ has low correlation with $AC^{0}$ circuits.

— Tulasi
সূত্র