সমস্ত কর্ম যাঁর ফুরিয়ার ওজন এসি0 সার্কিটগুলির সাথে গণনা করা ছোট আকারের সেটগুলিতে কেন্দ্রীভূত হয়?

Question

যে সমস্ত ফাংশনগুলির ওজন ছোট আকারের সেটগুলিতে (বা নিম্ন ডিগ্রি সহ শর্তাবলী) সার্কিট দ্বারা গণনা করা হয় সেগুলি কি সমস্ত কার্যকরী হয় ?$\mathsf{AC}^0$

Comments

এই প্রশ্নটি আকর্ষণীয় মনে হচ্ছে, যদিও আমার কাছে ফুরিয়ার বিশ্লেষণে কিছু পটভূমি নেই of আমি সম্পর্কিত সাহিত্যের উল্লেখ প্রশংসা করব।

— মার্কাস

@ মারকাস: রায়ান ওডনেলের এই বই ২.০ একটি দুর্দান্ত রেফারেন্স: অবদান.আরড্রু.ক.এম.ইডু

— আলেসান্দ্রো

লিনিয়াল, মনসুর, নিসান ১৯৯৩-এ প্রায় কথোপকথন ? অ্যারোনসনের ফলাফল, লিনিয়াল-নিসানকে জেনারেলাইজডের কাছাকাছি বলে মনে হচ্ছে কাছাকাছি? তবে

— imho

এসি ^ 0 এর পরিবর্তে অন্য অনুরূপ ধারণা, অস্বীকার করা শক্ত, গভীরতা সীমাহীন তবে কিছু "ছোট" ফাংশন দ্বারা আবদ্ধ মোট গেট সীমিত সার্কিটগুলি বলতে বহুবচন ইত্যাদি বলা যায় ...? এছাড়াও আফিক একঘেয়ে সার্কিট এবং ফুরিয়ার সহগগুলির মধ্যে সম্পর্ক এতটা সুপরিচিত নয় ...?

— vzn

আরও দেখুন পলিউগারিদমিক স্বাধীনতা ব্রেভারম্যান দ্বারা এসি ^ 0 সার্কিটকে বোকা বানায়

— ভিজএন

Answer 1

নং নিম্নলিখিত ফাংশন বিবেচনা করুন : চ ( এক্স ) = এক্স 0 ∧ ⋯ ∧ এক্স এন - $\{0,1\}^n$ স্পষ্টত এই ফাংশনটি এসি^{0 এর}পক্ষে শক্ত। অন্যদিকে, ফাংশনটি প্রায় ধ্রুবক, সুতরাং এর প্রায় সমস্ত ফুরিয়ার বর্ণালী প্রথম স্তরে রয়েছে।

$$f(x) = x_0 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1}).$$

আপনি যদি একটি সুষম counterexample চান, বিবেচনা এই ফাংশনটি প্রায় সর্বদাx0 এরসমান, সুতরাং এর প্রায় সমস্ত ফুরিয়ার বর্ণালী প্রথম দুটি স্তরে থাকে।

$$g(x) = x_0 \oplus \left[x_1 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1})\right].$$ $x_0$

Comments

আপনার কাছে এমন কোনও দৃ examples় উদাহরণ রয়েছে যেখানে AC0 এ কার্যটি প্রায় অনুমান করা যায় না?

— এমসিএইচ

প্রথম স্তরগুলিতে কেন্দ্রীভূত একটি ফাংশন সর্বদা ও ( 1 ) ইনপুটগুলির উপর নির্ভর করে কোনও ফাংশনের নিকটে থাকে, সুতরাং আমরা যদি কেবল ও ( 1 ) স্তরগুলিতে আগ্রহী হন , তবে এর দৃ rob় উদাহরণ নেই। $O(1)$$O(1)$$O(1)$

— যুবাল ফিল্মাস

@ ইউভালফিল্মাস ফুরিয়ার স্পেকট্রাম স্তরটির অর্থ কী? এই ফাংশনটি জন্য কেন কঠোর ? $AC^0$

@ আরুল একটি ফুরিয়ার স্তর প্রদত্ত আকারের সেটগুলির সাথে সম্পর্কিত সমস্ত ফুরিয়ার সহগ নিয়ে গঠিত। আকারের ক্রম বাড়ানোর আদেশ হিসাবে আমরা সেগুলি সম্পর্কে ভাবি think কেন এই ফাংশনটি AC0 এর পক্ষে শক্ত, এটি একটি অনুশীলন। ইঙ্গিত: সমতা AC0 এর পক্ষে শক্ত।

— যুবাল ফিল্মাস

Answer 2

"ছোট আকার" এবং "মনোনিবেশ" এর সঠিক অর্থ অনুসারে প্রশ্নটি বোঝার বিভিন্ন উপায় রয়েছে।

1) আপনি বুলিয়ান ফাংশন বিবেচনা যদি তাই হয় যে তাদের ঠ-2 আদর্শ ছোট আকারের উপর ঘনীভূত হয়েছে এস তারপর উত্তর নেই - সংখ্যাগুরু ফাংশন একটি উদাহরণ যেমন যে হয় 1 - ণ ( 1 ) ঠ এর -2 আদর্শ বাউন্ডেড সেটগুলিতে থাকে এবং এ সি 0 তে থাকে না$1-o(1)$$S$$1-o(1)$${\rm AC^0}$ ।

২) বোরগেইনের একটি উপপাদ্য রয়েছে যে ঘনত্ব যদি সংখ্যাগরিষ্ঠ ফাংশনের তুলনায় ভাল হয় তবে ফাংশনটি আনুমানিক একটি জান্তা এবং এটি ও (1) ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করে।

$\hat f^2(S)$$AC^0$${\rm polylog} (n)$ । যদি মোট প্রভাব ও (1) হয় তবে ফাংশনটি একটি জান্তার নিকটবর্তী, যিনি ও (1) ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করে।

$O(\log n)$$AC^0$ ।

$O(polylog (n))$$n^{polylog (n)}$